二0 《电磁场与电磁波学习指导 第二章静电场 CC0KXCE00000000000000000000000066 一、基本内容与公式 1.在均匀介质中点电荷及分市电荷的电场和电位。 点电荷： )-品= w)）-4e是T 体电荷： B)av )=aw 面电荷： g0)=点ag2,as 0-a2 线电荷： 0-a2如 -a 2.真空中静电场的基本方。 积分形式： ∮，Eads-号 $E,山=0 发分形式： E=号 ·口XE=0 3.静电场是有势场，可以用电位甲的负梯度表示，即E=一7仰。 电位单的撒分方程为
第二章静电扬 7g=- 7g=0 4.用极化强度P猫述介质的极化程度。 电位移关量定义为 D=6E+P 对于各向同性介质： D=ee,E=eE 介质中，高斯定理为 中D,ds=g 与其和应的微分形式为 7·D=p 5在不同介质界面上，边界条件为 Dn-D.=As发D.=D。(A=0) 边界条件用电位表示为 -5买+5絮=4我6”=6密(g=0) 6。在线性介质中，多平体来统之问存在电位来数、电容来数和部分电容，这些重只与 导体的形状、大小、相对位置及介质特性有关，与导体所带电重和导体的电位无关 7。静电场的能量存在于场中： w,=jDBw-人wdv 8。带电体受到的电场力可以用座位移法计算， F=-7w.l。 F-vW.I, 二、例题示范 例2-1求均匀带电的无限大带电平面产生的电场。 解：计算给定电荷的电场强度一般通过以下几种方法：一是应用叠加原理求解；二是 当电荷对称分布时，用高斯定理求电场强度；三是在电位分布已知的情况下，用￡一一了g 计算。 (1)用叠加原理计算。 10
一22一 《电磁场与电磁波学习指导 选取带电平面与x0y面重合，考虑到电荷分布的对称性，将场点选在z轴上。 场点 r=ze; 源点 r=I'e,+ye,=r'coss e,+r'sing ey ds'='dds ,=g产5 -会g如ar 上式积分以后，只有z分量，即 E=士完， 式中，z>0处取“+”，x<0处取“一”。 (2)用高斯定理计算。 由电荷分布的对称性可以知道，电场强度仅仅有 x分量，而且关于导体板上下对称。取图2-1所示的 柱面为高斯面，在高斯面上，利用高斯定理 ∮。D.d=628s=g,9=5p, 所以，E=会：电场强度的方向，在等体板上方向上， 在导体板下方向下。 图2-1 例2-2均匀带电导体球的半径为，电量为g,求球内、外的电场 解：用高斯定理计算。由对称性可以知道，在距球心为r的球面上，电场强度的大小相 等，方向沿半径方向。 对球外，取半径为r的球面作为高撕面，利用高斯定理计算： $05-4=9瓦- 对球内，也取球面作为高新面，同样利用高斯定理计算： $Dds=6B4m2=0,E,=0 例2-3求上题的电位分布， 解：求电位分布一般可以由分布电荷电位的公式通过积分得出，也可以先计算电场强 度，再由电场强度的线积分求出，或者解电位所满足的泊松方程求电位。该例求解用图见 图2-2
第二章静电场 -23 (1)使用电场强度的线积分计算。球内、外的 电场强度用高斯定理在上题中已经得到，当观察点 位于球面以外时，即r>a时，有 )-h-品 当观黎点位于球面上或球面以内时，即r≤口时，因 为球内的电场强度为零，球内是等位区，故 w=动=品=品 图2-2 (2)使用分布电荷的电位公式计算。面电荷产生的电位为 -as 由于电荷分布对称，故而将观察点选为 r=(0,0,) 源点 r=(a sind cost,a sind sind,a cose) Ir-=ai sin+(z-a cos)=-2az cos8+a! ds'=a'sing dodo 将其代入电位表达式，并先对中积分，有 -点-安E, sine do e+ +2「+- -d(cos6) du 品2+-2am,-a-k+a0 ，±≥a 1 2 利用这个积分结果，并注意到一一品，最后得出电位为 品≥a 9= r≤a
-24 《电张场与电磁波学习指导 (3)使用解电位方程的方法计算。由于电荷对称分布，因而电位仅仅是坐标r的函数， 球外电位满足方程 =子乐3=0 其解为 g-9+c 当r→∞时，P→0，由此确定出C。二0。常数C由球面上的边界条件确定。在球面 r=a上，有 A=品=6B-6架=69 从而有 C- 所以，球外电位P一4·至于球内电位，因为其为一个常数，所以可较容易地得出其为 e. 例2-4已知空气填充的平板电容器内的电位分布为p-ax2+b,求与其相应的电 场及其电荷分布。 解：由电位分布求解电场强度和电荷分布，一般用关系式E=一了，P=口·(e,E), 可得到 E=-7(ax2+b)=-2ae p=7·(eE)=-2a, 例2-5已知在半径为a的球形体积内、外的电场强度为 3+A, r≤a E=e+Aar,r之A 式中的A为常数，求产生此电场的电荷密度。设球内、外的介质均为空气， 解：由公式P=又·(e,E)及其球坐标散度运算公式，得到 球内： p=63r2E,)=56w2+4,a 球外： p=子是E)=0 例2-6总量为q的电荷均匀分布在半径为，介电常数为的球体内，球外为空气， 求静电能量。 解：用高斯定理可以计算出球内、外的电场为 B,==,B,=4e