第一章矢量分析 -5 7(R+R)·T=0 或 VR·T=VR2·(-T) 由于 R-是=（单位矢 7见-是=（单位矢面 所以 R·T=cosa,7R·(-T)=cosa 该题的物理解释是：由椭國的一个焦点发出的光线、电磁波或声波，会被椭圆反射后 经过另一个焦点。乌=马表明，入射角等于反射角。 例1-7已知矢量场A=(axz+x)e.+(y十xy)e,十（红-之+czx-2xyx)e. 试确定a、b、c,使得A成为一无源场。 解：要使矢量场A无源，则必要求divA=0,即 div A=.A=ax +2x+b+2zy+1-2x+cz2zy =(a-2)x+(2+c)x十b+1=0 要使上式成立，必须有 a-2=0,2十c=0,b+1=0 故 a=2,b=-1,c=-2 此时 A=(2+e+(yy)e,+(-2-2yz)e. 例1-8如图1-2所示，设S为由柱面x十y=及平面x一0和x=围成的 封闭曲面，求矢径r穿出S的柱面部分的通量. 解：设S,和S,为闭曲面S的顶部与底部的圆面，则所求的通量可用穿出闭曲面S的总 通量减去穿出S,和S,面的通量求得，即 业-as-,.ds 7·w-hddy+.dz dy -3dv-xatho =3d2h-元a'h =2a2h 图1~2
6、 《电磁畅与电磁被学习指导 例1-9已知p=3zy,A=xye,+3xyg,求r0t(4)。 解： rot (A)-V x (A)-9V X 4+9x A e.ey e. 又XA= a证 =(6xy-'y)e,-3y'e,+3x'yze, 0 x'yx 3xy! e.e,e. 7p×A=6xy3x20=9xye.-18x2y'e,+6x'y2e. 0 x'yz 3zy 所以 VX(4)=3xy[(9z-x'e,-9ye,+5x2e] 例1-10证明矢量场 A=(y2+2xx)e,+(2xy一)e,+(2x2z-y+2x)e. 证明：若A为有势场，则其源应是发散的，而非祸旋源，即 rotA=XA=0 由于 V XA= 品 y2+2x22xy-x2x2x-y+22 =(-1+1)e,-(4x2-4xz)e,+(2y-2y)e,=0 所以A为有势场。 由了×(79)三0可知，A可表示成势函数P的梯度，即 A=-7P 由此可得如下三个方程： 器=-A=-y2+2 影-A,=-22y =-A=-2r2+2x- 由第一个方程对x积分得 =-zy+c(y.z) (1)
第一章矢量分析 7- 其中c(y,)暂时是任意的。为了确定它，将上式对y求导得 家=-2y+2 与第二个方程比较可得 c,(y,z)=z,c(y.z)=yz+c(2) 代回(1)式可得 =-xy!+yz+c(z) (2) 为确定c(2),将(2)式对之求导，并与第三个方程比较可得 G(z)=-2x,c(z)=￡2+c 故所求势函数为 =-xy-+yz-+c 并且 A=一7P 例1-11试证明A=ye,十xxe,十xe,为调和场，并求出场的势函数以(P也称为调 和函数)。 证明：若矢量场A中恒有又·A=0与7×A=0,则该矢量场A称为调和场。也就 是说，调和场是指既无源又无旋的矢量场。 由又×（了》三0可知，调和场存在势函数P满足 A=-7 又由于7·A三0，即 7(刚-7-++=0 (1) 可知，势函数？还满足方程(1)，而方程(1)称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的势函 数g也叫调和函数。而 =g?-a=品+影+是 称为拉普拉斯算子。 对于题目中给出的矢量A,由于 e.e e. =(x-x)e-(y-y)e,+(e-x)e, g这xy =0 又·A=0 所以，矢量场A为调和场，由于A=一了9，即
8 《电磁场与电藏波学习指导 器=-，》-如，翌-列 解之有 P=一xyz十c 又由于 空-，0 影-，3-0 密-y,爱-0 即 V'p=0 所以中=一xy十c即为所求调和西数. 三、习题及参考答案 1-1失径r=十地，十，与各坐标轴正向的夹角为a、月、Y。请用坐标（红，y,z) 来表示、月、Y,并证明： cos'a cos'8 cos'y=1 解：由于 “V++2g“++w cosa = 。y √公+少+正 所以 aa+m明+a7+y+2 x+y+父 =1 1-2已知A=-9%,-,B=202-4,+30.,求： (1)A+B (2)A-B (3)A·B (4)AX B (1)A+B=30.-13e,+2a (2)A一B=-5%,一4e。 (3)A·B=2+36-3=35
第一章失意分析 一9二 e.e,e. (4)A×B=1-9-1=-31,-5e,+14e, 2-43 1-3已知A=e,十be,+ce,B=-e,+3e,+8能，若使A1B及A∥B,则b和 c各应为多少？ 解： (1)若使A⊥B,则要求A·B=0,即 -1+3b+8c=0 3h+8x-1=-0 满足该方程的全部6、c即为所求。 (2)若使A∥B,则要求A×B=0,即 84 AXB=1bc=(8b-3c)a-(8+c)0,+(3+6)%.=0 -138 解之有 b=-3,c=-8 1-4已知A=12a。十9%，十0，B=。十be,若B⊥A及B的模为1，试确定a、b。 解：由于B1A,1B|=1,即 A·B=12a+96=0,a+b=1 解之有 a=士号，6=干号 也就是 a=号a=-寻 6-专6=号 1-5求函激甲=列+2-x在点1,1,2)处沿方向角a=子、-至、7-子 的方向的方向导数。 解：由于 割-w-1 引.=2y-lam=0 引.-a-2ylan-3 om=含cm明=号，ow7-言