录 第一章矢量分析： 一、装本内容与公式.1 二、例题示范. .2 三、习题及参考答素.8 第二章静电场. 一、装本内容与公式. 20 二、例题示范 21 三、习题及来考答聚 第三章恒定电流的电场和磁场 35 一、基本内容与公式.35 二、例示范.37 三、习题及来考答案 42 第四章静衣场的解.56 一、基本内容与公式 56 二、例题示范. 56 三、习题及参考答茶 .61 第五章时变电磁场.75 一，基本内容与公式 二、例题示范. 77 三、习题及参考答袋 .83 第六章平面电磁波. .98 一、基本内容与公式 98 二、例示花. 99 三、习题及参考答策.107 第七章电础波的辐射. 122 一、基本内容与公式. 122 二、例题示范. 123 三、习题及来考答. 125 第八章寻行电磁波· 131 一、基本内容与公式. 131 二、例题示范. 132 三、习意及套考答紫 .]45
第一章矢重分折 1二 第一章关量分析 一、基本内容与公式 工，我们讨论的物理量若只有大小，则它是一个标量函数，该标重函数在莱一空问区拔 内确定了该物理重的一个场，接场称为标量场。若我们讨论的物理量既有大小又有方向， 则它是一个夫性面数，该夫性面数在某一空问区城内确定了该物理量的一个场，该场称为 关量场。关量运算应满足关量运算法则， 2.标重函数和在莱点沿！方向的变化率，称为标童场4沿该方向的方向导数。标量场 4在该点的梯度gmdk=了私与方向导数的关来为 丧=741 标量场“的梯度是一个夫量，它的大小和方向就是填点量大变化率的大小和方向。 在标量场和中，具有加周“值的点构成一等值面。在等值面的法线方向上，u值变化最 快。因此，谦度的方向也就是等值面的法线方向。 .夫量A字过曲函S的道量为”=J4:的，夫量A在来点的散度定义为 更4d dyA=了·A=肥，av 它是一标量，表示从孩点散发的道量体密度，描述了该点的通童源强度。其散度定理为 厂又·Aw=$A:ds 4.夫士A沿闲合曲线c的线积分∮A:山，称为夫量A沿该曲统的环亚。夫量4在来 底的晚度定义为 「SA] 4=7×A=a西 它是一夫重，其大小和方向是该点最大环量面密度的大小和此时的面元方向，它描述旋涡 源强度。其斯托克斯定理为 J,P×A0ds=fAd山
-2- 《电凿场与电密波》学习指导 5.哈密顿微分算子7是一个装有夫董和城分运算作用的夫童运算符号。了·A可看作 两个夫量的标量积，口×A可看作两个夫量的夫量积。计某时，先按失量运算法则展开， 然后再徽微分运算。口私可看作夫量与标量相乘。在直角坐标亲中，其口算子可表示为 在图柱坐标来中，其又算于可表示为 口=品+日影+是 在球面坐标桌中，了算子可表示为 口=是，+，+，品 6,亥博霍兹定理总结了夫量场共同的性质：失量场可由失量场的散度和旋度惟一地 确定：失量场的散度和荧度各对应夫量场中的一种源。所以分析失量场时，应从研究它的 散度和旋度入手，旋度方粗和散度方雅构成了失量场的基本方雅。 二、例题示范 例1-1求数量场P-ln(x2+y2十)通过点M(1,2,3)的等值面方程。 解：函数在点M(1,2,3)处的值为 p=h(1+4+9)=ln14 故通过点M(1,2,3)的等值面为 In(x+)=In14 即 x2+3y2+x2=14 例1-2设 a=ae,+ae,+ase,r=ze,+ye,+ze. 求矢量场b=aXr的矢量线。 解：由矢量积的运算规则可得 e.e,e. b=a d a(axt-ay)e.(ae,+(ay-agt)e. x y z 则矢量线所满足的微分方程为 dy dz 4-4=42a24y=a 将上式视为等比，设比值为K,并对分子分母分别乘上4、4、4及云八名，可得 d(a,x） d(ay) d(a,) (1)
第一章失意分析 一3二 xdr (a-dny)yarr s)ay d)K (2) 由(1)、(2)式可得 d(a,x)=K(aa2-aay)】 d(ay)=K(aar-a,az） (3) d(a2)=K(aay-aax) rdr =K(azz-a,zy) ydy=K(ayry-ayz) (4) adz =K(dyz-a:x)) 对(3)、(4)式分别作和式，可得 d(ax)+d(ay)+d(a,z)=0,xdx+ydy zdz=0 即 d(ayz+ary+ayz)0,d(x+y=0 故所求矢量线方程为 az+ay+az=C++=C: C、C:为任意常数。 例1-3求函数p=3zy-y'x在点M(1,-2,一1)处沿失量a=y,+x,+ xy,方向的方向导数。 解：矢量a在M点处的值为 aw=2e.-g,-2e, 其方向余弦为 co8e-导，cosf=-子，cos7=-号 引.=6yw-12 3=8x2-3lw=3-2-9 到-2y-16 于是所求方向导数为 =器oa+器sB+装os,-12×号+9×}+16×号=号 例1-4求函数p=3xy一y2在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1朝x增大一方的 方向导数。 解：函数？在某点处沿某曲线的某一方向的方向导数等于函数平在该点处沿同方向的 切线方向的方向导数，而曲线y二女一1在点M处沿所取方向的切线斜率为 yly=2lm=4
二4 《电藏场与电磁波学习指导 即 tana=4 其方向余弦 1一 cour tan'a 方=希 而 .=6gy1an-36 .=3r-2yla=6 于是所求的方向导数为 .=密+多l.=朗×元+6×后-是 锅1-5求效重场甲=上在过点方·方·方的等值面上过该点的切平面 方程。 解：数量场P一的等值面方程为=c,即 2+y+=是 而适过友从方·方·方的等值面则为单位球面， x2+y+x2=1 由于过点M的切平面的法线矢量m垂直于等值面，也就是该数量场在M点处的梯度，即 ==-引=-方+方+方到 所以，所求的切平面方程为 -房方方方方=0 即 x+y+z=√/3 例1-6如图1-1所示，设P为焦点在A、B 处的某一椭圆上的任一点。试证明，直线AP、BP 与椭圆在P点的切线所成之夹角相等。 证明：令R=AP,R,=BP分别代表由焦点A、 B至P点的向量，T为椭圆在P点的单位切向量。R, 与T的夹角为a,R,与一T的夹角为%. 根据椭圆的性质可知，该椭圆方程为R十R, =C(C为一常数)，则该椭圆的法向量为 n=又(R十R) -1 显然n·T=0,郎