8．欧拉在材料力学上的成就27形状。欧拉在这方面的主要成果可从上迹“曲较的变分法”31-书中看到。他从变分学的观点研究这个周题，他已将这方面的主题列人该书内。在介超此法时，欧拉观察到“由于宇宙的构造是最完美的，…”，字宙間任何事物从亲没有不出现极大和极小的一些关系。因此对不用怀疑宇宙間所有的效应都能借助于极大与极小法从最整原因加以充分韶明，正象由一些有效原因（现实原因）本身所得出的一样因此，摆在我例面前有两种研究白然界效应的方法：其一是根据有效原因，郎通常所称的直接法，另一是根据最原因人們应兹待别努力于了解这两种求解调题的門經的共通性；这样，不独一种解答会被另一种解答铪以有力的证实，面且，更重要的是由于两种解的秸果一致后，我佣会得到最大的满足”。欧拉提出一个悬键發的开题来解释这两种方4B法。如果有一条键挂在A及B两点上（图25），我佣可用直接法”得出平衡rr.Wds曲接。然后我們考察曲餐上某一微分元素m处所作用的力，并写下这些图25力的平衡方程。从这些方程中得出所求悬键的微分方程。但为了同一目的，我們也可用“最原因法”（methodoffinaloauses）考察重力的位能来解决这个周题。从所有那些儿何学上可能表示的計多曲中凡能給出位能为最小值的便是所求的一根曲，换句话説，平衡曲也就是键的重心处于最低位置的那条曲綫。这样，間题便搏到求积分wgyds的极大值，其中曲接长度：为已知，w为单位长度的重量。应用变分法刚，即得出与上这样的微分方程。就一根弹性杆来設，欧拉指出建立弹性曲方程的“直接法"(directmethod)已翘被雅可普·伯诺里用过了（参看第6节）。至于应用“最煞原因法”，欧拉需要一个表示应变能的式子，这里他朵用了丹尼尔·伯诺里尚他所提出的建證。他説：“研究自然最精湛、最显著、最聪明的丹尼尔·伯諾里，食向我指出他能用一个筋单的公式表出一根弯曲的弹性板条里面所储有的全部的力，这个力他称之为位力（potentialforce），这个表示式在弹性曲接中一定是个最小”，他还说（根据伯诺里的说法）：“如果这根板条是等截面和富于弹性，而且能够拉直到原来位置时，曲糖的特征将是这样的，部在这种情况下,会式子将为一般对极小值”。 欧粒应[汀这本书的谢录，包括有弹性曲的研究，其英辉本是由爽尔得化则（W.A，Oldfather），艾望斯(C.4，Ellis）和布期（D，M.Brown）课出的。见Isia，2签，1贷，1983，布治（Brugea）重印本。并爱德葬本，“东方的翘典”（Ostwald'Klagsiker）175真
28第二章强性曲规用他的变分法，得出图23所示情况的弹性曲接的雅可普·伯诺里微分方程为-og"(a)-P(1+g/)由于欧拉并没有将他的讨局限于只考虑小挑度方面，在分母中的项是不能将它略去不計的，因此这个方程式是一个复杂的方程。欧拉用极数来积分，并指出如.1果梵度f很小（参看图23），公式（a）将輪出C=P(21-3f)(b)6f如果我略去分子中3F这一项，便可得出悬臂梁自由端携度的一般公式，即f=Pra.(c)30由于搅曲的关系，长度！总是较该杆的原长略微小些，基于这一事实，略去3f这一项是可以容群的。1欧拉没有过逾到常数C的物理意义，此常数他称之为“韬对强性”（absoluteelasticity），仅設明它与材料的弹性有关，以及在矩形梁的情况下，它与梁寰成正比1并与梁高h的方成正比。我们看到欧拉的鳍认在于假定α与成正比，而不是与成正比。他建通过实验来决定α值时必须朵用公式（b)，这个建護骨为萨多实验家所信奉街7欧拉考察了图264中所示的各种弯曲情况，根据力P的作用方向与载荷作用点的切稳之阳的夹角大小，将相应的强性曲羧分为儿种类型。当此角极小时，就1能得出柱在轴向压力作用F压届的重要情况。欧拉指出（参看图26中的柱AB）在这种情况下很容易解出弹性曲方程，而且在发生压屈时的教荀也可由下迹公式1求得：POa2(d)473他説"“因此,除非戴荷P大于C元，翘对用不着担心湾曲发生；反之，如果P的重--量大于此值，柱子就不能抵抗弯曲。当柱子的弹性保持不变且其厚度也同样保持不变时，它能安全承裁的重量P将与柱子高度的车方成反比；而柱子商度增加一倍时却只能担负载荷的四分之一”。从这里我們看到，两百年以前欧拉已經建立了柱的压屈公式，这个公式在目前分析工程秸构物的弹性稳定上得到了广泛的应用。[]训，見吉拉德（P.S.Girazrd）著“圆体抗力分析”（TraitAnalytiquedelaresigtaneedeaSolidea)，1798,巴蒙。[2]此图由欧拉原精中抗来
8.欧拉在材料力学上的成就图26欧拉研究的挑度曲耗欧拉也研究过变截面杆，例如，他讨险过悬臂染的携度（图26），其期度是与距离成正比。欧拉更研究了具有初曲率一的曲杆的弯曲，并設明在这种情况下，公式（a）应改写为P(e)即：对于原来弯曲的杆子，任一点处的曲率变化是与弯矩成正比的。他明如果沿杆长的初曲豌是常数的时候，公式（e）可象上迹的直杆一样按同样方式来处理。Ro他也过论过下面一个有趣的周題：如果一个载荷作用在悬臂梁的自由端，而能使悬臂梁成为綫，那么这根梁的原始形状是怎样的？当梁上作用着均布截荷，例如梁的自重或作用着某一一流体静压力时，欧拉证明
130第二章弹性曲缓1:弹性曲载的微分方程将是一个四方程。他成功地解出在水静压力情况下的这个方程，并且得出用一个代数式表示的挑度曲粒。-在欧拉的著作中，我們更可看到他对于杆的横向振动的研究。在限于讨小作为梁被携曲后的曲率、照瑰用曲覆方程式一样挠度的情下，他説，他能取1的形式写出曲接的微分方程。为了消除重力的影响，他般定振动杆AB是垂直地嵌入于A端（图27a），然后考察具有重量wda的微分元案mm的运动。他观測到这种运动和筋单等时摆（图276）的运动完全相VNLyA同，而且使此元案拉向轴的力也一定和摆相同,即在极小握动之下,它将等于 例率。既拉解释其理由是：“如果对板条的单独元素mm，IX在对立的方向（在9轴方向上）加上相等的力Wydx学,到在 AmB 位量处的极条会保持不餐(a)(b)1状态。因此，此板条在振动时的曲率可为与Wdx图27該板条处于静止时在各个元素mm上作用着1些所具有的曲率相同”。 这样，欧拉得出的粘论正和我们现在用达方向的力wy期伯(D'Alembert)原理所得的相同“。知道了分布鼓荷后，欧拉将 C1一-M微dr分两次便得出所求的运动微分方程，并观察到M的二灰导数和横向载荷的集度是相等的，即cyy(f)-dasL于是欧拉得出粘论：“因此，利用这个方程就可以把曲綫AmmB的特征表示出来，而且，若所給的条件为已知时，由它就可决定长度L（当量摆的长度）。如果摆长为Eo已知，期其本身的振动也可以将它决定出来”。接着他将公式（f)积分，并利用板条端部的假设条件求得频率方程式，从频率方程式便能計算一迹串报动方式的频率。欧拉不但分析了悬臂梁，他也讨论到下面一些杆件的横向运动：（1)两端簡支的，（2）两端固定的，以及（3）两端完至自由的。对于所有各种情况，他建立了計算1频率于的公式w*0g1(g)f=mw14[1]送期伯著"动力学著善”(Traitde Dynamique)，1743，但当既拉写出他的书“变分法”（Metho-1dus inyeniendi..）的附录“弹性曲瘦”(De Curyis Elaaticis)时还没有覆到这本书
819.拉格期日式中m为一常数，視杆端搁置情况以及扳动方式而定。在籍论中，欧拉说明了公式（）不仅能应用它来校核他的理翁，而且也可实地用来决定此板条的“超对强性的值，1757年，欧拉再出版了关于柱压屈聞题的书“，在书中他利用經过防化的微分方程 C =-Py 簡单地导出了临界载荷的公式。 他在这里更详翻而正确地daa过了①的数值，拜且断定它必镇是力的因次乘以长度的举方。在以后的瀚文中，欧拉将他的分析推广到变截面柱，而且也研究了具有沿长度分布的辅向载荷的压杆周题，不过他对于这些较复杂間题并没有得出正确的解式。雅斯奎士·伯诺里（JacquesBernouli，1759~1789)3提到过欧拉的瀚文“关于作用在--块平板表面上个集中荷重的压力”（VondemDruckeeinesmiteinem(iewichte beschworten Tiaches auf eineFlaeche)，其中第一灰提到超静定的間題，这是根据板的顶面保持平面的假定解出来的。欧拉也阐迹了完全柔性膜的曲与振动的理。献为膜是两粗互相直交的案子所翘成的，他导出偏徽分方程13a a 03 +ba g:ataaay这个概念以后为雅斯奎士·伯诺里所引用，当他研究一块矩形板的弯曲和摄动时，合献定板为两个梁系所粗成的格构而得出下面的方程：他用这个方程来説明施拉德尼（E.F.F.Chladni）对于板振动的实龄黏果（参看第29节）。9.拉格期日（Lagrange，1736~1813)拉格朗日出生于都灵（Turin，意大利西北地名薛者注）。他的父亲原是个富翁，在儿次投机生意失敢之后，财产损失追尽。青年的拉格期日后来认为[3]见相林科学晓研究报告“关于柱的承载力"(Sur la foree dee Colonnee，Mem.Acad，Berlin，13磐，1759。E2）丹尼尔·伯潜里的任儿。他澜死在尼瓦河（NevaRiver)事。F见被得黛科学院会报（Novicmm，Acad.Petrop.）10鲁，248页，1767。欧拉架用这一靓念来研究给的损动（老看间一著作，261真）。[4]见“新翰”（Novaaxta)餐5，1789，圣筱得堡。[5]见达南布雷（J.B.J.Delamhre)尊拉格期日的体配，“拉格期日的成就”（OeliyresdeLagrange)卷1,1807，巴聚