第二章彈性曲綫6.数学家伯諾里（Bernoulli)m)伯诺里的家族原先住在安特韦普（Antwerp，原属荷兰现属比利时—泽者注），因受阿尔巴（Alba）公的宗教迫害，他偶才离开荷兰，在十六世记末叶搬到巴赛尔（Basol，瑞士地名，临近德、法两国。一一爵者注）安家立业。从十七世記末叶起将近一百年中这一族出过一些出色的数学家。1699年，法国科学院选举了雅可普·伯器里（JacobBernouli）和豹愉·伯諾里(JohnBernoui）两兄弟为外籍会员，直到1790年，这个粗截里面总有他这一族的典型人物套加。十七世记的最后二十五年到十八世记的开初，微积分学开始迅速地发展。最初是由欧洲大陆的莱布尼兹（Leibnitz，1646～1716)2开始的，而主要的发展还是雅可普·伯諾里和豹翰·伯諾里两兄弟的功精。为了扩展此种新数学的应用范围，他俩讨过萨多力学和物理学图23雅可音·价诺里上的例题。有一个例题是由雅可·伯诺里（1654～1705）提出来的“即关于弹性杆挑度曲毅的形状，从此他开了性体力学中章要的一章。其实，加利略和照[1关于健的黛配，可客被得·凌盟安（PeterMerian）著：“数学家伯踏肥”（DieMathematikerPernoull）1860.比美尔。[2]在英国牛頭预立跑发展了积分原理，但在段洲大随上蔡布尼选的表示方法皮其记改法在这门数学的迅速成长中己被采用。[3］轻过1691年出版的策布尼焱所著“刺誉赛学者的功籁”（4etabruditorumLiplae）一书对站商题作出一些韧步确之后，绝将他对总同题的最后儿解刊入“巴黎科学院史”（HistoiredePAeademiedee 4elencosdeParia)，1705。茅推可普·伯籍思的(CllecteuWorkf J，Feraoulli)2餐，976真，1744，日内瓦
286.数学家伯端里里沃特不过研究了梁的强度，而雅可普·伯器里却作出了梁的揽度計算；他没有对我們真献关于材料物理性能方面的知識。根据马里沃特对中性轴位置的假定，他在凹面的一边作一条切綫到截面边界上并使与外力作用面相垂直。他考察了一端固定、他端负一载荷P的矩形梁，箱出梁的揽度曲，如图23所示。设ABFD为梁的一个元素，其轴危长度D为ds。在弯曲时，如果载面AB相对于载面FDA轴而旋特，削两相邻截面間籽難的伸长与去4轴的距离成正比。殿依据虎克定律，并以4ds表示凸面一边最外层轩維的伸长量，郎美可求出在截面AB上所有轩難的拉力#的合力为to1 m4ds bh(a)图232ds其中6h为截面积，而m为一常数，視材科的性而定。此台力对A轴的力短必与所加外力对同一轴的力矩Pa相等，因此我們得出方程式1m4ds2h-Pabh.(b)2ds3Adsh可知d.srC=Pa(c)将公式(b)写成rCmbhs式中30由于雅可普·伯諾里对截面AB的旋转轴作出了鳍ｌ的假定，我們君出他所假定的常数C的值是不正确的。不过公式（e）的一般形式明了携度曲载上每～点的曲率与各眩点处的弯矩成比例是正确的，而且后期的数学家（主要是欧拉)都用它来研究弹性曲羧。翰·伯器里（1667~1748）是雅可普·伯诺里的弟弟，被认为是当时最偉大的数学家。由于受他教育的籍果，馬斯·德荷比脱（Marquisde1'Hopital)在1696年写出了最早的一本积分学。豹龄·伯诺翌在微分方面的原稿却到1922年才由巴塞尔科学研究学会（NaturforschendeGesellschaftofBasel)刊印出来，正好
24第二章弹性曲楼那年就是伯諾里一族获得巴塞尔公民身分的三百周年。約翰·伯诺里写过信告新范理囊（Varignon）n設他已立出虚位移原理的公式。最然他研究过材料的强性，但他在这方面的真献却不大。实际七在材料力学上有重大意献的人还是豹·伯诺里的儿子丹尼尔·伯诺里（DanielBernoulli），还有他的学生欧拉（L.Euler）。丹尼尔·伯诺里（17001782）因其名著“流体动力学”（Hydrorfynarnica）雨极为出名，但他在弹性曲羧的理论上也是有贡献的。他合羟向欧拉建護，必须用变最积分来推导彈性曲的方程式，在他写給欧拉的一封信里写道：“因为没有劳人能比得上你这么精通等周法（isoperimetricrethod）（即变量积分），你一定能轻松「的极小值"“"。我們现在知道，这个积分代表了不地解答下刻間胆：怎样求出[会部常数项的一根曲杆的应变能。欧拉根据这一建曦果然得到成功，关于这点将在下面再加讨（参看第8节）。丹尼尔·伯诺里是第一个导出棱柱杆侧向振动微分方程的人，他应用此式研究了这种振动的特殊型式。这个方程的积分經欧拉解出，以后再会到（参君第8节），但丹尼尔·伯諾里却作出一系刻的实验，他将所得秸果写信豁欧拉設：“这些都是自由报动，我已求出各种不同的情况，并且对于各节点的位最和普調进行过計多精确的实酸，它們都和理密切符合”。因此，丹尼尔·伯諾里不仅是一个数学家而且也是一个实验家、他的某些实验替欧拉提供了群多新的数学周题，7.欧拉（1707~1783,里奥纳德·欧拉出生于巴塞尔附近。他的父亲是雷中（Riechen，端十地名一泽省图24黑奥柄德·改拉注）邻寸的牧师，1720年，欧拉进了巴塞尔大学。这个大学自从豹翰·伯諾里的耕踝吸引了欧洲各地寺年数学家之后，已成51]兄范星获酱：“新力学”(NonvolleMacaniqne)，2套，J74真，1725，巴黎。12]在的输·伯谐塑著“运动傅迹现”(Discourssurles loixdelaCommunicationduMouvemeat，1727.巴象）的前葡三率对弹性理论有群翻的讨龄。[3'见伏斯(P.H.Fas)所著："数理通R”(Corespondance Mathfmatique et physique)卷2，第26封信，1843，圣筱得堡。[4，见上注，叁2，第30封信。3）几爽托斯混司(OttoSpie编）著“单奥纳德，欧择”，莱比锅。并参看康朵需特：（CondoTret）的效，刊在“区拉达偷美尼女王的信"LettrcsdelFulerannePrincosseD'Alemagni，1842.巴
7.欧拉26为当时数学研究的一个很重要的中心。这位年轻学生的数学天才不久就引人注意，的翰，伯里在正规讲操以外，每周还替他上私裸。欧拉在十六畏上就得到了确七学位，而在二十岁以前就参加过法国科学院悬奖的国际竞赛，并且发表了他的第一篇科学文。国科学院是1725年在圣彼得堡成立的。翰·伯诺里的两个儿子，尼古拉：斯·伯諾里（NicholasBernonlli）和丹尼尔·伯諾里（DanielBernoulli）都被聘为这个新学院的会。他們到俄国以后，替欧拉在那儿找到一个准会贯的工作。1727年夏天，欧拉也搬来圣彼得堡，由于脱离了任何其他职务，他就能将全部精力投入数学研究。1730年他成为該院物理部的一一个会曼，而在1733年，当丹尼尔·伯諾里因其兄去世（1726年）离开圣彼得堡而返回巴赛尔之后，欧拉接替了他的职位充任数学部主任。“欧拉在圣彼得堡俄国科学院工作期内写成了力学方面的名著1，他在該书里，介貂了分析法来代替牛顿及其学生們所用的几何法。他就明怎样推导一个质点的运动微分方程，以及怎样将这些徽分方程加以积分来求出物体的运动。这种方法使間题求解得到簡化，因此該书在力学的往后发展上起了很大的作用。拉格期日([agrange）在他所薯：“力学分析”（Mécaniqueanalytique）（1788年出版）一书中設过欧拉的著作是力学中将积分应用到运动物体这用学科上的第一篇瀚文。大概在他的著作发表的同时，欧拉热心于弹性曲载的研究。而且，从欧拉与丹尼尔·伯諾里的通信中可以看到丹尼尔·伯諾里智鼓励欧拉去解决弹性杆横向振动的周題，以及进行相关的微分方程的研究。1740年腓特烈二世（Frederickthe Great）做了普鲁士国王。继对于科学和哲学都很重祝，希婴普鲁士科学院能够拥有最优秀的科学家。那时，欧拉被公献为最出色的数学家，于是新主聘他为柏林科学院的会。因为那时截国的敢局不稳，欧拉便接受了这一聘豹，在1741年夏天搬到柏林。但他仍与裁国科学院保持联系，并赖在彼得堡科学院部论（OMMeRTapARaTeEHOTpOOTETaHMa）2上发表計多研究报告。在柏林，欧拉作他的数学研究，而您的文也秘常在善誉士和俄国科学院的年刊上发表出来。1744年出版了他的“曲發的变分法”（Methodus inveniendi lineascurvas...）。[1]“力学或科学分析力法爆段”(Mechanica ive motus gcientia analyrice exposita）两餐第，1736，圣筱得堡；其后由沃尔伏斯(J.P.Woifera)翼成微文，分别于1848及1BG0年在格莱斯瓦德（Groig-ward)出版。[3]战国科学院的研究报皆
epe26第二章性曲镜这是变分学中的第一本书，书中也包括了弹性曲方面第一灰具有系就性的翰文。这将留在后面再作衬论。欧拉在柏林期鼠写出了他的“微积分导论（IntroductiontoOalculas）（1748年），“微分学”（DifferentialCalculus)（两卷集，1755年）以及“积分学”（Integral：Calculus)（三卷集）等书。“积分学”是在圣彼得堡出版的(1768～1770年)。以.h这些书在数学界起过多年的指导作用，可以税，所有生活在十八世记未叶和十九世杞初期的一些著名的数学家全是欧拉的学生3。自从毛薇求斯(Maupertuis)去世(1759年）之后，欧拉就主持兹科学院，因此，他担任了舒多行政工作。在七年战争（1756～1763年普假战争一一译者注）的一段困难时期内，做四处筹款来支持这个科学院。1760年，柏林为俄軍侵占，欧拉的住宅遭到拾劫。但当俄軍司今塔特列本（ToTXeoeH）将軍知道了这件事以后，立即向欧拉致款，并负责赔偿他的损失。俄皇伊丽沙白（Elizebeth）也另外致送了比所赔偿数字更大的一笔款子給这位数学家。1762年，迦塞林二世（CatherineII）做了機国皇帝。她也重魂研究和发展科学，希望将俄国科学院加以改进。不久她和欧拉商量要他仍回圣彼得堡。迦塞林二世较之辨特烈二世更善于拉摧人才，因此在1766年当欧拉在柏林工作了二十五年以后仍回到圣彼得堡。在皇宫里他受到热烈的接待，而且迦塞林二世还媽给他一所宅。他再一次不愁經济困难了，因此又全心全意进行科学研究。那时他已年近六十，觀力很差。他从1785年起，一只眼请已經失明，而另一只又开始生霸，后来他已接近于全瞻的地步了。但这并没有阻碍他的积极性，在他晚年中每年所写的翁文反较以前更多。欧拉有一些助手他完成翁文工作，他把新周题的全部资料以及所用到的解法提示助手。有了这些资料，助手們就能进行工作，再趣过和欧拉深入之后，将讨论喆果写成龄交，铪欧拉最后校正。四百多篇文就这样由这位老人在他的晚年(1766～1783年）中附写出，他死了四十多年之后，俄国科学院的年刊上还一直在刊载他的论交。8.欧拉在材料力学上的成就4作为一个数学家的欧拉，他对于彈性曲的儿何形状最有兴趣。他毫无异護地/接受了雅可普·伯諾里的理论：即一一根弹性梁上任一点的曲率与兹点处的弯矩成正比。根据这个假定，他研究了一根翻长的彈性杆在不同载荷情况下所得曲获的[1]集案需特(Condorcet)在他的頭潮中龄过：“月前所有成名的数学家都是他的学生；他的成就不是完全由龄文影式反映出来的”(Tous leg mathematicions c61ebre9 qd exigtent aujourdhui Bont Ben16leyes: il nen est aucun qui ne se boit forn.i par la lecture de nee ouyrage..)。11