(2)哪些时刻物体的速度与0.4s时刻的 X/cm 第 速度相同? ③)哪些时刻的动能与0.4s时刻的动能 相同? (4)哪些时间的加速度在减小? (5)哪些时间的势能在增大? 图1136某物体做简谐运动的图象 章机械振动 单摆 生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动,我们用细线悬挂着的小球来研 究摆动的规律 如图1141,如果细线的质量与 研究单摆时还有一个条 小球相比可以忽略;球的直径与线的 件:与小球受到的里力及绳 的扣力相比,空气等对它的 长度相比也可以忽略,这样的装置就 阻力可以忽略 叫做单撂( simple pendulum)。单摆 为了更好地满足这个条 是实际摆的理想化模型。显然,单摆 件,买验时我们总要尽量选 摆动时摆球在做振动,但它是不是在 择量大、体积小的球和尽 做简谐运动? 图11,4-1单摆 量细的线 如图11.4-2,细线下悬挂一个除去了柱塞的注射 器,注射器向下喷出一细東墨水活着与摆动方向垂直的 方向匀速拖动一张白纸,白纸上的墨迹便画出派动图象 (x图象) 注射器的摆动是不是简谐运动? 图1142画出振动图象 单摆的回复力我们在一股条件下研究单摆是不是做简谐运动,最简单的方法是看它的 回复力是否满足F=-kx的条件。 13
高中物理c选修3 摆球静止在O点时,悬线竖直下垂,摆球受到的重力G 与悬线的拉力F平衡。小球受的合力为零,可以保持静止, 所以O点是单摆的平衡位置。拉开摆球,使它偏离平衡位 置,放手后摆球所受的重力G与拉力F不再平衡。在这两 个力的合力的作用下,摆球沿着以平衡位置O为中心的一 段圆弧A做往复运动,这就是单摆的振动。 因为摆球沿圆弧运动,因此可以不考虑沿悬线方向的 力,只考虑沿圆弧方向的力。当摆球运动到某点P时(图 11.4-3),摆球在圆弧方向上受到的只是重力在这个方向的 图1.4-3单摆的回复力 分力F= mosin 6,这就是它的回复力。 在偏角很小时,摆球对于O点的位移x的大小,与θ角 当角e很小时,用弧度 表示时与它的正弦snO近 所对的弧长、角所对的弦都近似相等,因而sin6x 似相号,O所对的弦长与它 所以单摆的回复力为 所对的弧长也近似相号,这 两个关系的严格证明要用到 高等数学,本书不做讨论 其中l为摆长,x为摆球偏离平衡位置 的位移,负号表示回复力F与位移x的方向 相反。由于m、g、l都有确定的数值,可 以用一个常数k表示,于是上式写成 F=-kx 可见,在偏角很小的情况下,摆球所受的 回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方 向总是指向平衡位置,因此单摆做简谐运动。傅科摆。1851年,傳科(, Foucault).在巴黎万神殷用长 67m的单摆澳示了地球自转的效应,摆的同期超过165 单撂的周期一条短绳系一个小球,它的振动周期很短,天文馆里巨大的傅科摆,周期 很长。单摆的周期与什么因素有关? 单摆的派幅、质量、摆长对周期各有什么影响? 如图1144,在铁架台的横梁上固定两个单摆,按照 以下几种情况,把它们拉起一定角度后同时释放,观察 两摆的振动周期。 1.两摆的振幅不同(都在小偏角下) 2两摆的质量不同 3.两摆的摆长不同 图1144单摆探动的周期与 什么因素有关? 比较三种情况下两摆的周期,可以得出什么结论? 14
实验表明:单摆振动的周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关,但与摆长有关, 摆长越长,周期也越长。 第 单摆周期与摆长之间有什么定量的关系? 探究单摆周期与摆长的关系 章机械振动 如图114-5,细线的上端國定在铁架台上,下 端系一个小钢球,于是做成了一个单摆。测量摆长 和摆的周期,得到一组数据;改变摆长,再得到几 组数据。从中可以找出周期与摆长的关系 实验过程中要注意以下几点 1摆的振幅不要大大 前面的分析中利用了一些近似条件,这些近似图1145测量不同摆长的单 只有当摆的派幅不大时才能成主,否则摆的派动不 摆的周期 是崗谐运动,周期与摆长的关系将会十分复, 2摆线和摆球的选择 摆线要尽量选择细些的、伸缩性小些的, 并且要尽可能长一些。摆球要尽量选择质量大些 的、体积小些的 为什么这样做? 3细线上墙的悬挂方式 图1146细线上端的两种悬挂方式 图1146甲、乙两图画出了细线上端的两种 不同的悬接方式。哪种较好?为什么? 选择摆线长度和测量摆的 4摆长的测量 周期时,都要客虑到测量的绝 可以用刻度尺测量细线的长度,用游标卡 对误差和相对误差,建议想习 尺测量小球的直径,算出它的半径,两者之和《修1》面“学生实验中的 作为摆长的测量值 相关知识 5周期测量的要点 按下停表开始计时,再按下停表计时终 止。为了测量周期,摆球到达哪个位置的时刻 作为计时开始与停止的时刻比较好?图1147给 出了两个选择。你选择哪个?说出道理 甲小球到达最高点时乙小球经过平衡位置时 可以测量单摆做一次全振动的时间作为它 图114-7哪个位置作为计时的开始 与终止更好些? 15
高中物理c选修3 的周期的测量值;也可以测量单摆做多次全派动(例如几十次)的时间,然后通 过计算求出它的周期的测量值。哪个方法比较好?为什么? 6数据分析 先通过数据分析,对周期T与摆长l的定量关系 建议在计算机上用 做出猜测,例如可能是T∝1、T∝12,或者T∝√7 数表软件处理数据,这 样节省时间、效果又好 然后按照猜测来确定纵坐标轴和横坐标 轴。例如,通过估算我们认为可能是T∝12,那么可以用纵坐标表示T,横坐标 表示12,作出图象。如果这样作出的图象确实是一条直线,说明的确有T∝1的 关系,否则再做其他尝试。 设计表袼时要注意,表中一定要有原始记录。例如,摆长是由细线长度与小 球平径相加得到的,表中不能只出现长,一定有细线长度和球的直径的测量 值的记栽。 荷兰物理学家惠更斯曾经详尽地研究过单摆的振动,发现单 摆做简谐运动的周期T与摆长的二次方根成正比,与重力加速 度g的二次方根成反比,而与振幅、摆球质量无关。惠更斯确 定了计算单摆周期的公式 T= 2T 用单摆测定重力加速废由单摆周期公式可得g=4,如 果测出单摆的摆长l、周期T,就可以求出当地的重力加速度。 我们在图1145的实验中已经获得了摆长和周期的实验数更斯( Christiaan Huge 1629-1695),荷兰物理学家 据,可以从中选择几组,分别计算重力加速度,然后取平均值。天文学家、数学家 除了计算平均值外,还可以分别以l和T2为纵坐标和横坐 标,作出函数=72的图象,它应该是一条直线。根据这条 直线的倾斜程度求出,进而求出重力加速度g ①利用高等数学研究单摆的运动就会看到,该式是个近似公式,由它算出的周期与精确值之间的差别随看偏角的增 加而增加。当偏角为5·时两者相差001%,7”时相差0.1%,15时相差05%,23·时相差1%。 16
问题与练习 第 一个理想的单摆,已知其周期为T。如果由于某种原因(如转移到其他星球)自由 落休加速度变为原来的,振幅变为原来的,摆长变为原来的,摆球盾量变为 原来的5,它的周期变为多少? 2.周期是2s的单摆叫做秒摆、秒摆的摆长是多少?把一个地球上的摆拿到月球上 去,已知月球上的自由落体加速度为1.6m/s,它在月球上做50次全振动要用多少 章机械振动 时间? 3.图1148是两个单摆的振动图象 (1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少? (2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向,从1=0起,乙第一次 到选右方最大位移时、甲振动到了什么位置?向什么方向运动? 4.一条细线下面挂一个小球,让它自由摆动,作出它的振动图象如图114-9.问: (1)你能根据图中的数据算出它的摆长吗? (2)你能根据图中的数据估算它摆动的最大偏角吗? van 图11.4-8两个单摆的据动图象 图11.4-9一个单摆的振动图象 外力作用下的振动 做简谐运动的物体受到的回复力,是振动系统内部的相互作 用力。如果振动系统不受外力的作用,此时的振动叫做固有振 动,其振动频率称为固有频率( natural frequency)。倘若振动 系统受到外力作用,它将如何运动? 阻尼振动振动系统最常见的外力是摩擦力或其他阻力。当 系统受到阻力的作用时,我们说振动受到了阻尼。系统克服阻尼 的作用要做功,消耗机械能,因而振幅减小,最后停下来。这种151限动的图象 振幅逐渐减小的振动,叫做阻尼振动( damped vibration)。图