高中物理c选修3 于是有 (at2+q)-(at1+q)=2 由此解出 把(1)式代入,得 可见,(2)式中的o是一个与频率成正比的量,叫做简谐运动的“圆频率”。它也表示 简谐运动的快慢。 哪个量代表简谐运动的相位? 数学课中我们已经学过,当(ot+q)确定时,sin(t+q)的值也就确定了。所以(ot+q) 代表了做简谐运动的质点此时正处于一个运动周期中的哪个状态,可见(ot+q)代表简谐运 动的相位。q是t=0时的相位,称做初相位,或初相。 实际上经常用到的,是两个具有相同频率的简谐运动的相位差( phase difference), 如果两个简谐运动的频率相等,其初相分别是q1和q2,当q2>q时,它们的相位差是 A=(ot+2)-(ot+1)=2-9 此时我们常说2的相位比1超前△q,或者说1的相位比2落后△q 综上所述,做简谐运动的质点在任意时刻t的位移是 相位 初相 =A I t 据幅 周期 考与讨论 从表达式o+q看,相位的单位应该是怎样的? 科学步 乐音和音阶 在音乐理论中,把一组音按音调高低的次序排列起来就成为音阶,也就是大家都知道的do,re mi, fa. sol,lasi,do(简谱记做“1、“2、"3"、“4"、“5、“6"、“7、"1)。下表列出了某乐律C 词音阶中各音的频率① ①表中所列各唱名的频率组成了“自然音阶”。研究乐理时还常用到“等程音阶”,其中各唱名的频率与表中数值 路有差异,人耳很难分辨。 8
唱名 d do(高) 第 该唱名的频率与11 9:8 5:4 43 32 5:3 15:8 2:1 do的频率之比 f/Hz(C调) 396 528 有趣的是,高音do的频率正好是中音do频率的2倍,而且音阶中各音的频率与dou的频率之 章机械振动 比都是整数之比。 还有更有趣的事情。喜欢音乐的同学都知道,有些音一起演奏时听起来好听,有些音一起演奏 时听起来不好听:前者叫做谐和音,后者叫做不谐和音。著名的大三和弦do、mi、sol的频率比是 456而小三和弦re、fa,la的频率比是10:12:15.大三和弦听起来更为和谐,那是因为三个音的频 率比是更小的整数之比。随便拼凑在一起的三个音听起来不和谐,有兴趣的同学可以算一算它们的 频率比,一定是三个大得惊人的整数。 从这个例子可以看到艺术后面的科学道理,但是,艺术远比1+1=2复杂。从上表中看出,频 率增加一倍,音程高出8度。实际上这只对于中等音高是正确的。人的感觉十分复杂,对于高音段 来说,频率要增加一倍多,听起来音高才高出一个8度。如果一个书呆子调琴师按照“频率翻倍 的办法调钢琴,那就要砸饭碗了。 尽管如此,科学家们还是可以通过音乐家的实际测听,确定音高与频率的对应关系,并且据此 设计出优美动听的电子乐器。 做一咸 用计算机观察声音的波形 绝大多数计算机的操作系统都有录音、放 音的功能,并能在放音时显示声振动的图象。 用计算机的录音功能录制两个乐音,例如 笛声,一个是do.另一个是sol.把它们保存起 来。用球体播发件复这个声音并把水下NH 软件界面中“条形与波浪”的选项设为“波形” 这样可以从电脑屏幕上看到播放声音时的振动 图象。按下“暂停”键得到静止图象。 把do和so这两个声音的振动图象复制到 图1124比较两个声音的频率
高中物理c选修3 同一张空白幻灯片上,并把图象以外多余的区域剪裁掉,就得到图1124所示的图形。在屏幕上作 出矩形框。调节框的宽度,使框内包含“do”的10个周期。在屏基上观察,多少个“sol”的周期 与“do”的10个周期的时间相等?由此可以得到“sol和“do”的频率之比。 采用这种方法可以比两个声音的频率之比,如果已知其中一个声音的频率,还可以推知另 个声音的频率 问题与练习 1.有两个简谐运动:x1=3asin(4rb+ 和x=9asin(8mb+y),它们的振幅之 比是多少?它们的频率各是多少?t=0时 它们的相位是多少? 2.图1125是两个简谐运动的搛动图象,它 图1125求两个简谐运动的相位差 们的相位差是多少? 3.有甲、乙两个同谐运动:甲的振幅为2cm,0cm 乙的振幅为3cm,它们的周期都是4s,当 =0时甲的位移为2cm,乙的相位比甲落 后,请在同一坐标系中作出这两个简谐 运动的位移一时间图象。 4图1126为A,B两个简谐运动的位移一时05 间图皋。请根掘图象写出这两个简谐运动 图1126两个简谐运动的据动图象 的位移隨时间变化的美系式。 简谐运动的回复力和能量 我们已经学过,物体做匀变速运动时,所受的合力大小 用两节只研究遨简谐运 方向都不变;物体做匀速圆周运动时,所受的合力大小不变 动的质点的运动的特点,不 方向与速度方向垂直并指向圆心。那么,物体做简谐运动时,涉及它所受的刀,是从运动 所受的合力有什么特点? 学的角度研究的,本节要讨 论它所受的力,是从动力学 简谐运动的回复力如图1131,在弹簧振子的例子中,的度研究的 10
小球所受的力F与弹簧的伸长量成正比。由于坐标原点就是 平衡位置,弹簧的伸长量与小球位移x的大小相等,因此有 414424444444 第 式中k是弹簧的劲度系数。因为当x在原点的左侧,即图1131弹簧对小球的力的大 x取负值时,力F沿坐标轴的正方向;而x在原点右侧,取 小与弹簧的伸长量成正比,方向机 总是指向平衡位置 正值时,力F沿坐标轴的负方向,所以式中有负号。 章机械振动 理论上可以证明,如果质点所受的力具有(1)式的形式, 也就是说:如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小 成正比.并且总是指向平衡位置.质点的运动就是简谐运 势能为零,动能最大 动。由于力的方向总是指向平衡位置,它的作用总是要把物 班O 体拉回到平衡位置,所以通常把这个力称为回复力 ( restoring force)。 简谐运动的能量弹簧振子的速度在不断变化,因而它 的动能在不断变化;弹簧的伸长量或压缩量在不断变化,因 图1132弹簧振子的运动和它的 而它的势能也在不断变化。它们的变化具有什么规律? 能量 考与讨论 作为一个振动系统,弹黃振子的势能与弹黃的伸长量有关,动能与小球的度有关。请在下 表中填出图11.3-2中的弹簧振子在各位置的能量。某量取最大值、最小值用文字表示,某量为零 用数字0表示,增加和减少分别用向上的箭头和針向下的箭头表示, 位置 A A→O 0→B B 位移的大小 速度的大小 动能 势能 总能 理论上可以证明,如果摩擦等阻力遣成的损耗可以忽略,在弹簧振子运动的任意位置, 系统的动能与势能之和都是一定的,这与机械能守恒定律相一致。 11
高中物理c选修3 实际的运动都有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种理想化的模型。 做一 弹簧下面悬挂的钢球,它所受的力与位移之间的关系也具有(1)式的形式吗?由于平衡时弹 簧已经有了一个静伸长量h,问题稍稍麻烦一点。这时仍要选择钢球静止时的位置为坐标原点,而 小球所受的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力 请你试着导出小球所受的合力与它的位移的关系。 问题与练习 1.一个振动、如粟回复力与偏离平衡位置的位移成正比且方向与位移相反,就能判定 它是简谐运动。请你掘此证明:把图1133中倾角为θ的光滑斜西上的小球沿斜面 拉下一段距离、然后松开,小球的运动是简谐运动。 2.。某人想判定以下振动是不是简谵运动,请你陈述求证的思路(可以不做定量讧明): 1)均匀的一条木筷、下端绕几圈铁丝,竖直淳在较大的綺中(图11.3-4).把 木筷往上提起一段距离后放手,木筷就在水中上下振动; (2)光滑圆弧面上有一个小球,把它从最低点移开一小段距离,放手后、小球以最 低点为平衡位置左右振动(图113-5) 图1133斜国上小球一 图1134均匀木筷在图1135圆弧面上小球 簧动系统 水中的上下振动 的左右据动 3.做简谐运动的物休经过A点时,加逵度的大小是2m3,方向指向B点;当它经过 B点时,加速度的大小是3m/s2,方向指向A点。若AB之间的距离是10cm,请 确定它的平衡位置 4.图1136为某物休傚简谐运动的图象,在所画曲线的范国内回答下列问题 (1)哪些时刻物体的回复力与0.4s时刻的回复力相同? 12