偏导数微分切平面梯度方向导数高阶偏导数向量值函数9.3.2方向导数与梯度平面上的单位向量=（，）（u?+=1）称为一个方向若极限f(co+tu,yo+tu)-f(co,yo)limtt→0存在，则称f(a,y）在（aco,yo）沿方向e=（u,u）的方向导数存在，这个极限就称为在这点的方向导数，记为af(o,yo).Deaf显然，是沿方向（1,0）的方向导数，是沿方向（0,1）是的方向导数du前面已证明了，若f在一点可微，则它在这点的偏导数存在，也就是在坐标轴方向的方向导数存在，事实上，有更强的结果返回全屏关闭退出6/19
ê © ²¡ ê FÝ p ê þ¼ê 9.3.2 êFÝ ²¡þü þ ~e = (u, v) (u 2 + v 2 = 1) ¡. e4 lim t→0 f(x0 + tu, y0 + tv) − f(x0, y0) t 3, K¡ f(x, y) 3 (x0, y0) ÷ ~e = (u, v) ê3, ù4 Ò¡3ù:ê, P ∂f ∂~e (x0, y0). w, ∂f ∂x ´÷ (1, 0) ê, ∂f ∂y ´÷ (0, 1) ´ê. c¡®y² , e f 3:, K§3ù: ê3, Ò´3 I¶ê3. ¯¢þ, kr(J. 6/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
微分梯度偏导数切平面方向导数高阶偏导数向量值函数定理2如果函数f(c,y）在一点（ao,yo）可微，则它在这一点沿任意方向e=(u,)的方向导数存在，且%(a0 0) = u%(a0 ) + %(20, y0),.(9.4)证明因为f(a,）在（ao,yo）可微，所以(9.3）成立，即f(ac, y) - f(co, yo) = A(α - co) + B(y - yo) +o(p),其中p=α-ao)2+(y-yo)2.在此式中令=ao+tu,y=yo+tu可得f(o +tu, yo +to) -f(ao, yo) =t ((ao, yo) + v%(a0, yo) + o(t).两边除以t在令t→0即得所证注意（9.4）可以表示为((ao, yo), f(ao, yo) .e.(ao, yo) = (返回全屏关闭退出7/19
ê © ²¡ ê FÝ p ê þ¼ê ½n 2 XJ¼ê f(x, y) 3: (x0, y0) , K§3ù:÷?¿ ~e = (u, v) ê3, ∂f ∂~e (x0, y0) = u ∂f ∂x(x0, y0) + v ∂f ∂y(x0, y0). (9.4) y² Ï f(x, y) 3 (x0, y0) , ¤± (9.3) ¤á, = f(x, y) − f(x0, y0) = A(x − x0) + B(y − y0) + o(ρ), Ù¥ ρ = p (x − x0) 2 + (y − y0) 2 . 3dª¥- x = x0 + tu, y = y0 + tv f(x0 + tu, y0 + tv) − f(x0, y0) = t u ∂f ∂x(x0, y0) + v ∂f ∂y(x0, y0) + o(t). ü>ر t 3- t → 0 =¤y. 5¿ (9.4) ±L« ∂f ∂~e (x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0) · ~e. 7/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ