单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积 (1)*S()=6()*x()=x( (2.105) 证明:x(1)*δ(t)=6()*x(t) δ()x(t-z)dz x(t) 推广可得 x()*6(t-10)=06(t-t0)*x(1)=x(t-10)(2.106 x(2) 5(2)今 x(t-1) t1 +te 图241xt1)与6(tt)的卷积
⚫ 单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积 证明： 推广可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t d x t t t x t = = − = − x(t) (t) = (t) x(t) = x(t) (2.105) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x t t − t = t − t x t = x t − t (2.106) 图2.41 x(t-t1 )与δ(t-t0 )的卷积
2余弦函数 欧拉公式 joof +e j@of cosO 2.109) 余弦函数的频谱:c4zb(o-o1)+b(0+0](2.10) 正弦函数的频谱:so4izo+o)-0-0(211) cos wor AAA Xiju) q丌) ff 图242正、余弦函数及其频谱
2.余弦函数 欧拉公式： 余弦函数的频谱： 正弦函数的频谱： 图2.42 正、余弦函数及其频谱 sin ( ) ( ) 0 0 0 t j + − − (2.111) cos ( ) ( ) 0 0 0 t − + + (2.110) 2 cos 0 0 0 j t j t e e t − + = (2.109)
3.周期函数 周期函数x(t)的傅里叶级数形式: x()=∑C,em 式中 x(te o dt ⅹ(t)的傅立叶变换为 X(O)=F[x() Jn@ol =∑CnF[em01 =2n∑C6(O-nO0) 令一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位 于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成
3.周期函数 周期函数x(t) 的傅里叶级数形式： 式中 x(t)的傅立叶变换为： ❖一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位 于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。 =− = n jn t n x t C e 0 ( ) − − = x t e dt T C jn t T n T 0 ( ) 1 2 2 =− =− =− = − = = = n n n j n t n n j n t n C n C F e F C e X F x t 2 ( ) [ ] [ ] ( ) [ ( )] 0 0 0 (2.117)
例12单位脉冲序列)=∑8(t-k7 (2118) n=-00 求它的傅里叶变换 解:将x(t)表达为傅里叶级数的形式 x()=∑C Jn@ot T]-o r(oe-jinool dt 28(te noo dt 于是有x()=1∑em 2.119) n=-0 对式(2.119)两边作傅里叶变换得 X(O)=FI 根据式(2.117)可得 X(m)=2∑o( 0-n0 T 亦即 ∑(-kD)4O0∑8(0-mo) 2.120)
例12 单位脉冲序列 求它的傅里叶变换。 解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式 于是有 对式（2.119）两边作傅里叶变换得 根据式（2.117）可得 亦即 − = jn t n x t C e 0 ( ) = = = − − − − T t e dt T x t e dt T C j n t T T j n t n 1 ( ) 1 ( ) 1 0 2 0 2 ] 1 ( ) [ 0 =− = n j n t e T X F =− = − = n T n T X 2 ( ), 2 ( ) 0 0 =− = − n x(t) (t k T) (2.118) =− = n jn t e T x t 0 1 ( ) (2.119) =− =− − − n n (t k T) ( n ) 0 0 (2.120)
r(o 2兀 3T-2T-7 t 2 3t 300-200-000 o0 2a0 3000 图247周期脉冲序列函数及其频谱 冷一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频 域中的)一个周期脉冲序列。单个脉冲的强 度为ωo=2π/T,且各脉冲分别位于各谐波 频率n0=n2T/T上,n=0,±1,±2
❖ 一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为（在频 域中的）一个周期脉冲序列。单个脉冲的强 度为ω0=2π/T，且各脉冲分别位于各谐波 频率nω0=n2π/T上，n=0, ±1, ±2, …。 图2.47 周期脉冲序列函数及其频谱