定理3：LnxP∥→LnnP∥(P与P夹角为n基转角的一半)： 逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln,其基转角为P夹角的两倍， 并导出其他n个包含Ln的P(定理3与定理2对应) 定理4：Lin x P∥=Lin xL2⊥→Linn2L2⊥n2P∥（n为偶数) →Linn L.2⊥nP∥(n为奇数) 五、32个对称型（点群）及其推导 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型《(clss of symmetry)或点群(Pointe Group)。根据晶体中可能存在的对 称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）仅有 32个. A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1)对称轴Ln单独存在，可能的对称型为1；L2;3;L4;L6。 2)对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑n与垂直它的2的 组合。根据上节所述对称要素组合规律LxL2→LnnL2,可能的对称 型为：(L1L2=L2)；L22L2=32;33L2；L44L2;L662 3)对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合规律Ln偶次) ×PL→Ln(偶次)PC,则可能的对称型为：(L1P=P);L2PC; L3P=Li6);L4PC;L6PC
11 定理 3：Ln P// →LnnP//（P 与 P 夹角为 Ln 基转角的一半）； 逆定理：两个 P 相交，其交线必为一 Ln，其基转角为 P 夹角的两倍， 并导出其他 n 个包含 Ln 的 P。（定理 3 与定理 2 对应） 定理 4：Lin P// =Lin L2 ⊥ →Linn/2 L2 ⊥ n/2 P// （n 为偶数） →Linn L2 ⊥ nP//（n 为奇数） 五、32 个对称型（点群）及其推导 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型(class of symmetry) 或 点群(Pointe Group)。根据晶体中可能存在的对 称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）仅有 32 个。 A 类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴 Ln 单独存在，可能的对称型为 L1；L2；L3；L4；L6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑 Ln 与垂直它的 L2 的 组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2，可能的对称 型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 3）对称轴 Ln 与垂直它的对称面 P 的组合。考虑到组合规律 Ln(偶次) P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为：（L1P=P ）；L2PC； （L3P=Li6）；L4PC；L6PC
4)对称轴n与包含它的对称面的组合。根据组合规律n×P∥一 LnnP,可能的对称型为：(L1P-P)L22P;L33P;L44P;L66P. 5)对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直 Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2,即Ln×PL×P ∥=Ln×PL×PW=LnnL2(n+1)P(C)(C只在有偶次轴垂直P的 情况下产生)，可能的对称型为：(L122P=22P); L22L23PC=3L23PC;(L33L24P=Li3L23P）;L44L25P℃； L66L27PC 6旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：L1=C;L2-P;3=L3C; Li6=L3P。 7)旋转反伸轴Ln与垂直它的2（或包含它的P)的组合。根据组 合规律当n为奇数时LinnL2nP,可能的对称型为(Li1L2P=L2P℃)： Li33L23P-L33L23PC;当n为偶数时Lim(n/2)L2(n/2)P,可能的 对称型为：(L2L2P-L22P);L42L22P:Li3L23P-L3324P. 这样推导出来的对称型共有27个。 还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导 六、晶体的对称分类 晶族(crystal category)、晶系(crystal system)、晶类(crystal class) 的划分（表3-4）：Triclinic,monoclinic,orthorhombic, Tetragonal,trigonal,hexagonal,cubic. 3
12 4）对称轴 Ln 与包含它的对称面的组合。根据组合规律 Ln P∥→ LnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 5）对称轴 Ln 与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直 Ln 的 P 与包含 Ln 的 P 的交线必为垂直 Ln 的 L2，即 Ln P⊥ P ∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)P（C）（C 只在有偶次轴垂直 P 的 情 况 下 产 生 ）， 可 能 的 对 称 型 为 ： (L1L22P=L22P ）； L22L23PC=3L23PC ；（ L33L24P=Li63L23P ）； L44L25PC ； L66L27PC。 6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；； Li6=L3P。 7）旋转反伸轴 Lin 与垂直它的 L2（或包含它的 P）的组合。根据组 合规律，当n 为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）； Li33L23P=L33L23PC；当 n 为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的 对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。 这样推导出来的对称型共有 27 个。 还有 5 个是 B 类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。 六、晶体的对称分类 晶族(crystal category)、晶系(crystal system)、晶类(crystal class) 的划分（表 3-4 ）： Triclinic, monoclinic, orthorhombic, Tetragonal, trigonal, hexagonal, cubic
晶族 晶系对称特点 对称型 晶体实例 对称要素总和 国际符号 无L2和P 1 高岭石 *C 1 钙长石 低 L2和P均 2 镁铅矾 不多于 所有的对称要素 P 斜晶石 必定相互垂直或 **L2PC 2/m 石膏 次L2和P的 平等 3L2 222 泻利盐 总数不少 L22P mm2 异极矿 于三个 **3L23PC mmm 重晶石 3 细硫砷铅矿 白云石 唯一的高 *L33L2 之 a-石英 方 次轴为三 L33p 3m 电气石 次轴 **133123PC 3m 方解石 必 L4 4 彩钼铅矿 四 Ly 4 砷硼钙石 方 有 除高次轴外如有 *札4pC 4/m 白镥矿 且 唯一的高 其他对称要素存 L44L2 422 镍矾 次轴为四 在时，它们必定 4mm 羟铜铅
13 晶族 晶系 对 称 特 点 对 称 型 晶体实例 对称要素总和 国际符号 低 级 三 斜 无 高 次 轴 无 L 2和 P 所有的对称要素 必定相互垂直或 平等 L 1 1 高岭石 **C 1 钙长石 单 斜 L 2和 P 均 不多于一 个 L 2 2 镁铅矾 P m 斜晶石 **L2PC 2/m 石膏 正 交 斜 方 L 2和 P 的 总数不少 于三个 3L2 222 泻利盐 L 22P mm2 异极矿 **3L23PC mmm 重晶石 中 三 方 必 定 有 且 只 唯一的高 次轴为三 次轴 除高次轴外如有 其他对称要素存 在时，它们必定 L3 3 细硫砷铅矿 *L3C 3 白云石 *L33L2 32 а-石英 L 33P 3m 电气石 **L33L23PC 3m 方解石 四 方 （ 正 唯一的高 次轴为四 L 4 4 彩钼铅矿 L 4 i 4 砷硼钙石 *L4PC 4/m 白镥矿 L 44L2 422 镍矾 L 44P 4mm 羟铜铅矿
方 有 次轴 与唯一的高次轴 L42L22P 42m 黄铜矿 垂直或平等 **L44L25PC 4/mmm 锆石 个 爱石 +L5 6 磷酸氢二银 次 6/m 磷灰石 轴 唯一的高 L66L2 622 B-石英 次轴为六 L66P 6mm 红锌矿 次轴 6m2 蓝锥矿 **L66L27PC 6/mmm 绿柱石 高次轴多于一 必定有四 除4L3外，必定 3243 香花石 个 还有三个相互垂 *3L24L33PC m3 黄铁矿 直的一次轴或四 3L43L36L2 432 赤铜矿(？) 级 立 次轴 它们与每 *3L4L36P 43m 黝铜矿 个L3均以等角 *3L44L36L29P m3m 方铅矿 度相交 C
14 级 方 ） 有 一 个 高 次 轴 次轴 与唯一的高次轴 垂直或平等 L 4 i2L22P 42m 黄铜矿 **L44L25PC 4/mmm 锆石 六 方 唯一的高 次轴为六 次轴 L 6 6 霞石 +L6 I 6 磷酸氢二银 *L6PC 6/m 磷灰石 L 66L2 622 β-石英 L 66P 6mm 红锌矿 L 6 i3L23P 6m2 蓝锥矿 **L66L27PC 6/mmm 绿柱石 高 级 等 轴 立 方 高 次 轴 多 于 一 个 必定有四 个 L 3 除 4L3外，必定 还有三个相互垂 直的二次轴或四 次轴，它们与每 一个L 3均以等角 度相交 3L24L3 23 香花石 *3L24L33PC m3 黄铁矿 3L43L36L2 432 赤铜矿(？) *3L44L36P 43m 黝铜矿 **3L44L36L29P C m3m 方铅矿
第四章晶体的定向与结晶符号 一、晶体定向(orientation)的方法 以晶体中心为原点建立一个坐标系，由X,Y,Z三轴组成（或X,Y,U,Z 四轴组成，对三方晶系与六方晶系) 那么，如何建立坐标系，即怎么选出这些晶轴？ 选轴原则： 1)与晶体的对称特点相符合（既般选对称要素作晶轴，要么对称轴 要么对称面法线)。 2)在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度。 3)平行于主要晶棱。 每个晶系的对称特点不同，因此每个晶系的选择晶轴的具体方法也不 同，见表4-1。 晶系 选轴原则 晶体常数特点 等轴晶系 以互相垂直的L或L4为X、Y、Z轴 a=b=c 四方晶系 L或L‘为Z轴，以垂直Z轴，并互相垂直 a=b≠c 三方晶 以L或L5或L,6为Z轴，以垂直Z轴并 a=b≠c 系及六方晶 彼此交角120的或P法线为X.Y.U y=B=90° 斜方晶系 以互相垂直的或P的法线为X、Y、Z a≠b≠c 单斜晶系 以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 a≠b≠c 三斜晶系 以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴 a≠b≠c
15 第四章 晶体的定向与结晶符号 一、 晶体定向(orientation)的方法 以晶体中心为原点建立一个坐标系,由 X,Y,Z 三轴组成（或, X,Y,U,Z 四轴组成，对三方晶系与六方晶系)。 那么,如何建立坐标系， 即怎么选出这些晶轴? 选轴原则: 1）与晶体的对称特点相符合(既一般选对称要素作晶轴，要么对称轴， 要么对称面法线)。 2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为 90 度。 3) 平行于主要晶棱。 每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法也不 同,见表 4-1。 晶系 选轴原则 晶体常数特点 等轴晶系 以互相垂直的L 4或Li 4为X、Y、Z轴 a = b = c 四方晶系 = = = L 4或Li 4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂直 的L 2或P的法线为X、Y轴 a = b ≠ c = = = 三 方 晶 系及 六方 晶 系 以L 3或 L 6 或Li 6 为Z轴，以垂直Z轴并 彼此交角120°的L 2或P法线为X、Y、U a = b ≠ c = = = 斜方晶系 以互相垂直的L 2或P的法线为X、Y、Z 轴 a ≠ b ≠ c 单斜晶系 以 = = = L 2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴 a ≠ b ≠ c = = 三斜晶系 以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴 a ≠ b ≠ c