③凑微分法就在凑微分上,其基本思想就是对被积 表达式进行变形,主要考虑如何变化f(x)dx 凑微分法的基本思路: 与基本积分公式相比较,将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同 步骤:凑微分;换元求出积分;回代原变量 例1求sin2xk 解(一)Jsn2x=,Jsm2xl(2x) cos 2x +C:
③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 f (x)dx 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 例1 求 sin2 . xdx 解（一） sin2xdx = sin2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C
解(二)「sin2x=2 Tsin xcos xdx 2 sin xd(sin x)=(sin x )+C; 解(三)「sin2x=2| sin x cos xo -2 cos xd(cos x)=-(cos x)+C 例2求d 3+2x 解 3+2x 4(xz+!).z+E 3+2x2J3+2x (3+2x)dx
解（二） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C 例2 求 . 3 2 1 dx x + 解 (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1 + + = + x x x dx x 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + =
d=lnu+C、 ln(3+2x)+C 2 般地∫f(ax+b)tx=(a)hl u=ax+b 例3求 x(1+2Inx) 解 dh x(1+2nx) d(nx) 1+2Inx d(1+2Inx 2J1+2Inx u=1+2lnx 2 -du =Inu+C=In(1+2In x)+C. 2
du u = 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C f (ax + b)dx = u du u=ax+b f a [ ( ) ] 1 一般地 例3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x + 解 dx x x (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = u = 1+ 2ln x = du u 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(1 2ln ) . 2 1 = + x + C
例4求 (1+x)' x+1-1 解 (1+x) a=∫ 1+x) (1+x)2(1+x)3 jd (l+x) 1+x +C1+2(1+1y2×C 1+x"2(1+x)2
例4 求 . (1 ) 3 dx x x + 解 dx x x + 3 (1 ) dx x x + + − = 3 (1 ) 1 1 ] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + = 1 2 2 2(1 ) 1 1 1 C x C x + + + + + = − . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −
例5 dx(a>0) a -x 解 dx d x 、,d( a -x =arcsin -+C 例6求22tx. a+x 解 d x a+x 1+ arctan -+C 1
例5 − ( 0) 1 2 2 dx a a x 解 − = − dx a x a dx a x 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 2 a x d a x − = C a x = arcsin + 例6 求 . 1 2 2 dx a x + 解 dx a x + 2 2 1 dx a a x + = 2 2 2 1 1 1 + = a x d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = +