修正的曼耐尔假设及其在机械零件等效载荷计算中的应用

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1988.02.029 北京钢铁学院学报 第10卷第2期 Journal of Beijing University Vol,10 No.2 1988年4月 of Iron and Steel Technology APr.1988 修正的曼耐尔假设及其在机械零件 等效载荷计算中的应用 孙业胜 朱孝录 (机械设计教研室) 摘 要 本文首先提出了修正的曼耐尔假设，从而克服了曼尔假设的一个明显的缺 陷。进而以此为基础，推导了机城爹件所承受的咯种变我荷的等效载荷计算公式，并 对其正确使用提出了必要的要求。文还进行了等效载荷的实例计算和试验余证。 然果表明；本文提出的公式有一定精确度，可以在实际中使用。 关键词：机械零作，曼尔假设，等效我荷 The Corrected Miner Hypothesis and Its Application in Calculating the Equivalent Load of Machine Elements Sun Yesheng Zhu Xiaolu Abstract A corrected Miner hypothesis has been developed to overcome an 1987-03-30收璃 190

第 卷 第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 了 。 。 。 修正的曼耐尔假设及其在机械零件 等效载荷计算 中的应用 孙业胜 朱孝录 〔 机械设计教研室 摘 要 本文首先提 出了修正的曼耐尔假设 ， 从而克服了曼耐尔假设 的一个明 显 的 缺 陷 进而以此 为基础 ，推导 了 机诫零件所承受的各种变载荷的 等效载荷计算公式 ， 并 对 其正确使用 提出了必 要的要求 文 中还进行 了等效载荷的实例 计算和试脸验证 结 果表明 木文提 出的公式有一定精确度 ， 可 以在实际 中使用 关键 词 机诫零件 ， 曼耐尔假设 ， 等效 载社 、 犷 几 口 人，‘ 尤 入 、 厂 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．02．029

obvious defect in Miner hypothesis.The authors,based on this,give out the calculating formulas of the equivalent loads for machine ele- ments which bear different kind of variable loads and put forward some requirements to use it correctly.A practical example of equivalent load is calculated and its result is examined by test,It shows that the formu- las are possessed of certain accuracy and may be used in practical en- gineering. Key words:machine elements,Miner hypothesis,cquivalent load 前 言 机械零件的可靠性设计计算通常都是已知其载荷（或应力，下同）和强度概率分 布，根据载荷一强度分布干涉理论来进行的。可是，实际中很多零件的强度分布往往是 未知的，仅知道具有一定可靠度的强度值。如SO的齿轮强度可靠度是99%，铀承额定 动载荷的可靠度是90%，轴的材料强度的可靠度通常是50%。而实际上，很多机械零件所 受载荷是各种变化载荷，如阶梯载荷和随机载荷，它们都不能和具有一定可靠度的强度 值直接进行比较。因此，计算其等效载荷，以便直接和具有-一定可靠度的强度值进行比 较，达到进行可靠性设计计算的目的，是十分必要的。 自从帕尔姆格伦(Palmgren)和曼耐尔(Miner)提出疲劳损伤累积线性假设简称 曼耐尔假设以来，人们就经常使用它和零件一定可靠度的疲劳曲线来估算机械零件的等 效载荷。进而用它计算机械零件的疲劳强度。文献〔2,3)分别根据曼耐尔假设推导出阶梯 变化载荷的等效载荷计算公式（原文是计算等效应力，但两者的计算方法完全相同）和 随机载荷的等效载荷计算公式。但是，这些公式还存在两个问题。一是在计算等效载荷 中，它们均未强调所用到的疲劳曲线的可靠度应该和零件的强度可靠度相一致，使得零件 的强度计算的可靠度不明确；一是曼耐尔假设有缺附。曼耐尔假设认为：机械零件在承 受工作载荷的过程中，其内部损伤是逐渐积累的，积累到一定程度产生疲劳失效。一种 零件的各个试件这里的试件是指属于总体的个体，零件是指无限多个体所组成的整体， 一种零件的全部试件，其材料、加工方法，热处理和几何形状相同)按任意载荷谱各自 运转直到失效，其累积损伤值都是相等的。其基本公式是： 三nN:=1 (1) 式中，N:是试件在承受载荷F:时，按零件某一疲劳曲线确定的循环次数；，是试件在 承受载荷F:时，实际运转的循环次数；是载荷级数。然而，大量试验证明，从一种零 件中抽取的各个试件，在它工作到失效时，其累积损伤值并不是相等的，而是一个离散 性很大的随机变量。从而导致三，：/N值也是一个离散性很大的随机变量。作者 191

， ， 五 筑 住 。 ， ， 毛 山 ‘ 月 言 机械零件 的可靠性设计计 算通常都 是 已 知 其载荷 或应 力 ， 下 同 和 强度 概 率 分 布 ， 根据载荷一强 度分布干涉理论来进行 的 。 可是 ， 实 际 中很 多零件的强度 分布往 往是 未知 的 ， 仅知道具有一定 可靠度 的强度值 。 如 的齿轮强度可靠度是 ， 轴 承额 定 动载荷的可靠度是 ， 轴 的材料强 度 的可靠度通常是 。 而实际上 ， 很 多机械零件所 受载荷是各种 变化载荷 ， 如阶梯载荷和随机载荷 ， 它们都不能和具有一定可靠 度 的强度 值直接进行 比较 。 因此 ， 计算其等效载荷 ， 以便直接和具有一定可靠度的强度值进行 比 较 ， 达到进行可靠性设计计算的 目的 ， 是 十分必要的 。 自从帕尔姆格伦 和曼耐尔 提 出疲劳 损伤累积线 性假设 简 称 曼耐尔假设 以 来 ， 人们就经 常使用它和 零件一定可靠度 的疲劳 曲线 来估算机械零件 的等 效载荷 。 进而用它 计算机械零件 的疲 劳强 度 。 文献〔 ， 〕 分别 根据曼耐尔假设推导 出阶梯 变化载荷的等效载荷计算公式 原文是计算等效应 力 ， 但两者 的计算方法完 全相 同 和 随机载荷 的等效载荷计算公 式 。 但是 ， 这些公 式还存在两个问题 。 一是 在计算等效载荷 中 ，它们 均未强调 所用 到 的疲劳 曲线 的可靠 度应该和零件的强 度 可靠 度相一 致 ，使得零件 的强 度计算的可靠度不 明确 一 是 曼耐 尔假设有 缺陷 。 曼耐 尔假设认 为 机械零 件在承 受工作载荷的 过程 中 ， 其内部损伤是逐 渐积 累的 ， 积 累到 一定程度产生 疲劳失 效 。 一种 零件的各个试 件这里 的试 件是 指属于总 体的个体 ， 零件是 指无限 多个体所组成 的整体 ， 一种零件的全部试件 ， 其材料 、 加工方 法 ， 热处理和几何形 状相 同 按任意载荷谱 各 自 运转直到失效 ， 其累积损伤值都 是相 等 的 。 其基本公式 是 名 一 式 中 ， 是试 件在承受载荷 时 ， 按零件某一 疲劳 曲线确 定的循 环次 数 。 是试件 在 承受载荷 时 ， 实际运 转的循 环次数 ， 是 载荷级数 。 然而 ， 大量试验证 明 ， 从一种零 件中抽取的各个试 件 ， 在它 工作到失 效时 ， 其累积损伤值并不是相 等的 ， 而是 一个离散 性很大 的随机变量 。 从而导 致 乏 ， ” ， ，值也 是 一 个离 散性很 大 的 随机变量 。 作者

所做的试验〔6)和文献(1提供的试验数据就说明了这一点。 zn:/N:值大致在0.b~ 2.5之间变化，个别可小到0.03，大到22.8。可见曼耐尔假设与实际情况差异很大。那 么，在曼耐尔假设基础上计算等效载荷必然也有很大误差。为此，本文首先对曼耐尔假 设进行修正。然后以此为基础，推导出机械零件等效载荷的计算公式，明确其使用条 件，并进行实例计算和试验验证。 1 修正的曼耐尔假设 为了克服曼耐尔假设的缺陷，现提出下列修正的曼耐尔假设： (1)机械零件的可靠度一载荷一寿命即R一F一N疲劳曲线是客观存在的一组连 续变化曲线。每个试件对应其中的一条疲劳曲线，且可靠度为R的疲劳曲线方程可近似 用下式表达 FmRN=CR(F≥F1imR) (2) 式中，mR、Cr是待定常数；F,imR是可靠度为R的极限载荷。 (2)某种零件的任一试件在承受高于其疲劳极限载荷的过程中，其内部损伤是 逐渐积累的，积累到一定程度发生疲劳失效。且到疲劳失效时，该试件的累积损伤值， 不论载荷谱如何，都是相等的。 本假设中提出的零件R-F-N疲劳曲线 IgF 族是一种理想情况。它不能通过试验精确确 R 定，通常都是根据成组试验法C45)试验，将 E 其结果进行统计处理求得近似的R-F-N疲 芳曲线族。 F 根据上述修正的曼耐尔假设，可以推导 出它的数学表达式。 设某零件中的某一试件失效时累积损伤 NRI NH2 NRIn IgN 值为，该试件的理想疲劳曲线方程为式 图1试件的疲劳曲线 (2),其曲线如图1所示，其中R为可靠 Fig.1 The fatigue curve of tested piece 度。设想该试件在载荷水平F;下寿命是VR: (i=1,2,…,m),则每次循环的损伤值为 a1=W/NR:(i=1,2,,m) (3) 再设想该试件在载荷F1下运转1次，在载荷F2下运转n2次·，在载荷F:下运转n:次， 直到破坏为止。这样，按修正的曼耐尔假设，导致该试件破坏的累积损伤值仍为W。若 试件破坏共承受了n级载荷，则得 高u,=盒n,WN:=形 192

所做的试验〔 ，和 文献〔喂供的试验数据就说明 了这一点 。 三 ” ‘ ‘ 值大致在” · 。 。 之 间变 化 ， 个别可小到 ， 大到 。 。 可 见曼耐尔假设与实际 情况差异很大 。 那 么 ， 在曼耐尔假设基础上计算等效载荷必然也有很大误差 。 为此 ， 本文首先对曼耐尔假 设进行修正 。 然后 以此为基础 ， 推导 出机械零件等效载荷的计算公式 ， 明确 其 使 用 条 件 ， 并进行实例计 算和试验验证 。 修正 的曼耐 尔假设 为 了克 服曼耐尔假设 的缺陷 ， 现提 出下列修正的曼耐尔假设 机械零件 的可靠度一载荷一寿命 即 一 一 疲劳 曲线 是客观存在 的一组 连 续 变化 曲线 。 每 个 试件对应 其 中的 一 条疲劳 曲线 ， 且可靠度 为 的疲 劳 曲线 方程可近似 用 下式表达 二 》 二 式 中 ， 。 、 是待定常数 是可靠度为 的极限载荷 。 某种零件的任一试件在承受高于其疲劳 极限载 荷的过程 中 ， 其内部损伤是 且到 疲劳失 效时 ， 该试件 的累积损伤值 ， 盯 匕一 几凡儿 逐 渐积 累的 ， 积 累到 一定程度 发生疲劳失效 。 不 论载 荷谱如何 ， 都 是相 等的 。 本假设 中提 出的零件 一 一 疲劳 曲线 族 是一种理想 情况 。 它 不能通 过试验精确确 定 ， 通 常都是 根括成组试验法 〔 一 〕 试验 ， 将 其结果进行统计 处理求得近似 的 一 一 疲 劳 曲线 族 。 根据上述修 正 的曼耐尔假设 ， 可以推导 出它的 数学表达式 。 设某零 件 中的某一试件失 效时 累积损伤 值为 不 ， 该试件的理 想疲劳 曲线 方 程 为 式 ， 其 曲线 如 图 所示 ， 其 中 为 可 靠 全万。 。 ，、 图 试件的疲劳 曲线 度 。 设想 该 试 件在载 荷水平 下寿 命 是 ‘ ， ， … ， ， 则 每次循 环 的 损伤值为 不厂 ， ， … ， 再 设想 该试件在载 荷 下运 转， 次 ， 在载荷 下运 转 次 … … ， 在载荷 下运 转 次 ， 直到 破 坏为止 。 这 样 ， 按修正的曼耐 尔假设 ， 导致该 试 件破 坏 的 累积 损伤值仍为 研 。 若 试 件破坏 共承受 了 级载 荷 ， 则 得 艺 。 ” 二 艺 不少 了厂 一

所以 点N=1 (4) 可见，修正的曼耐尔假设的公式和曼耐尔假设公式形式基本相同，但含义已发生了根本 的变化。下面运用修正的曼耐尔假设进行机械零件的等效载荷计算。 2 零件等效载荷的计算公式推导 2.1零件等效载荷的计算通式推导 (1)工作载荷是有限个阶梯的工作载荷 设n个阶梯的工作载荷为F:(=1,2,n),则由式(4)得 〔n:F:mR/(NRiF:a)〕=1 izl 1 所以F.mR= niFimB/NR. (5) i= 其中，F:≥F1imR(i=1,2,,n)。式中，FR…是零件可靠度为R的等效载荷 Nx,是在FR,作用下可靠度为R的等效寿命。 (2)工作载荷是连续变化的随机载荷 对于一个随机载荷，通常我们，总是认 f(F 为它是一个各态历经的平稳随机过程〔1)。 f(E+△F:) 这样，只要利用一定长的反映载荷主要变 f(Fi) 化状态的载荷记录，就可以用幅度对均值 f(r)△F: 计数法或雨流法〔1)计数，进而就可确定随 机载荷的概率分布，由此进行等效载荷的 FiFi+AF 计算。 图？随机载荷的概率密度曲线 设随机载荷的概率分布密度函数为 Fig.2 The probabilistic density curve of f(F),其概率密度函数曲线如图2所 random losd 示，若零件在此工作载荷下寿命为N。, 则由式(4)可得 三1：/N1 ∑〔N,f(F:)△F:F,mR/(NR:F:mR)) i 〔N,f(F)△F:F:mR/(（VR.FR。mR)〕=1 i=1 令 NR,=N。 则两边取极限得 i93

所以 名 可见 ， 修正的曼耐尔假设的公式和曼耐尔假设公式形式基本相 同 ， 但含义已发生 了根本 的变化 。 下面运用修正的曼耐尔假设进行机械零件的等效载荷计算 。 零件等效载荷的计算公式推导 零件等效载荷的计算通式 推导 工作 载荷是有限个阶梯的工作载荷 设 个阶梯 的工作载荷为 、 ， … ， ， ， 则 由式 得 乙 花 〔 八 ， 〕 二 所以 二 ， 。 皿 名 其 中 ， ， 二 ， ， … ， 。 式 中 ， 二 是零件可靠度为 的等效载荷多 是在 二 作用 下 可靠度 为 的等效寿命 。 工作载荷是连 续变 化的随机载荷 对于一个随机载荷 ， 通常我们 总是认 为它 是 一 个各 态历经 的平稳 随机过 程山 。 这样 ， 只要利用 一定长 的反映载 荷主要变 化状态的载荷记录 ， 就可 以用 幅度对均 值 计数法或雨流法 〔 〕 计数 ， 进而就可确 定随 机载荷 的概率分布 ， 由此进行等 效载 荷 的 计算 。 设随机载 荷 的概率分 布密 度 函 数 为 ， 其概率密度函数 曲线 如 图 所 示 ， 若零件在此工作载荷下寿命为 。 ， 则 由式 可得 、 么 么 广 △ ‘ 图 随机载荷的概率密度曲线 卜 口 汪 ， 二 一 〔 。 △ ， 八 “ 〕 会 〔 △ 八 〕 令 。 则两边取极限 得 几

lim (j(F)AF Fm/Fnm)=1 i=l △F:→0 n+>oc 所以 仕Fmaf(F)dF F=JFimR (6) 显然，若已知f(F)和m,总可以由式(6)用解析法精确计算出或数值积分近似计 算出等效载荷FRo 由式(5)和式(6)可以看出，等效载荷是通过一定可靠度的疲劳曲线计算出来 的，因此，它是和一定的可靠度相联系的，这是它和普通载荷的差别。同时，在机械零 件的疲劳强度计算中，使用等效载荷和零件的极限载荷进行比较时，应该要求极限载荷 (它也是一个随机变量)和等效载荷可靠度相同。只有这样，两者才有可比性，从而保 证强度计算是可靠的、正确的。反之则不然。因此，在疲劳强度计算时，若存在F·≤ FimR,则可保证零件的可靠度大于或等于R,这和用干涉理论计算安全系数在本质上 是一致的。 2.2几种常见分布的随机械载荷的等效载荷近似计算 我们知道，当工作载荷小于疲劳极限载荷时，试件不产生损伤，或损伤很小而略去 不计。这时，按式(6)计算等效载荷，必须计算积分。可是，对于常见的儿种分布 (均匀分布除外)，式(6)无解析解，计算起来很不方便。为了简化计算，现假设 一切工作载荷都会使试件产生损伤。则式(6)可化为 (F)d (7) 显然，式(7)将得到一个偏于安金的结果。若为整数，则式(T)右边是F的mR 阶原点矩，可以利用F的各阶矩按式（8)近似计算F.门；或者根据其概率分布的特 征函数按式(0)近似计算FR。 (8) ∑C品avm-i i=0 式中，是F的均值；vm-i是F的：Ri阶中心矩； Caa=!（ma-i)! MIR! F=j-m p(mR)(0) (9) 式中，j=√二1；其中特征函数为 9(t)=∫eif(F)d 下面只给出：是整数时，儿种常见分布的随机载荷的等效载荷计算公式。若π不是整数， 对计算精确度要求不高时，可取最接近m又大于的整数代替实际的m计算。这时， 191

△ 三 △ 、 。 月卜 义二 所 以 。 井下户 · ‘ 尸 ， 尸 显然 ， 若 已知 了 和。 。 ， 总可 以 由式 用 解析法精确计 算出或数值积分近似 计 算 出等效载荷 。 。 由式 和 式 可 以看 出 ， 等效载荷 是通 过一 定可 靠度 的疲 劳 曲线 计算 出来 的 ， 因 此 ， 它 是和 一定 的可 靠度相 联 系的 ， 这 是 它和普通 载荷 的差别 。 同时 ， 在机械零 件的疲劳强度 计算 中 ， 使用 等效载 荷和 零件的 极限载 荷进行 比较昧 应 该要求 极限载 荷 它 也是 一 个随机变量 和等效载 荷可靠度相 同 。 只有这 样 ， 两者才 有可 比性 ， 从而保 证强度计 算是 可靠 的 、 正确 的 。 反 之则不然 。 因此 ， 在疲 劳强 度计算时 ， 若 存在 《 ， 二 ， 则 可保证 零件的 可靠度大于或等 于 ， 这 和用 干涉理 论计算安全系数在本质上 是 一致的 。 几种 常见分 布的 随机械载荷 的等效载荷近似计算 我 ’ 知道 ， 当工作载荷小 于疲 劳 极限载荷时 ， 试 件不产生 损 伤 ， 或损伤很小 而略去 不计 。 这 时 ， 按式 计算等 效载 荷 ， 必须 计 算积 分 。 可 是 ， 对于常见 的 儿 种 分 布 均 匀 分 布除外 ， 式 无解析解 ， 计 算起来 很不方便 。 为 了简化计 算 ， 现 假 设 一 切工作 载荷都 会 使试 件产生 损伤 。 则式 可化为 沈 “ 显然 ， 式 将 得 到 一 个偏于安 全 的结 果 。 若。 。 为 整 数 ， 则式 右边 是 的。 阶原 点 矩 ， 可 以利 用 的 各阶矩 按式 近似计算 。 自 〕 或 者 根 据其概率分布的特 征 函数按式 ， 近似计算 。 。 · 一 、三 。 氏 “ ， 式 中 ， 件是 的均 值 、 。 一 是 的。 。 一 阶 中心矩 以 一 ’ 一 打‘ 阴 一 才 兴 一 ， 甲 式 中 ， 侧 二一 其 中特 征 函数为 十 甲 不 ’ 一 二 ’ ’ 厂 下 面 只 给 出二 是 整数 时 ， 种 常 见分 布 的 随机载 荷 的等效载 荷计 算公 式 。 若 不 是 整数 ， 对计算精确度 要求 不 高时 ， 可 取最接 近。 又大 于 ，、 的整数代 替实 际 的的二 计 算 。 这 时 ， 土