第五章 测量误差的基本知识 1教学目标： 知识目标： >掌握测量的误差来源以及粗差、系统误差偶然误差的特点及其处理原则： >掌握偶然误差的统计规律，以及中误差、比例误差和极限误差在测量中 的应用： >掌握误差传播定律 >掌握不等精度观测以及最小二乘平差的基本原理 能力目标： >培养学生将测量中的具体问题和己有的数学知识（如线性代数中的线性 相关与独立、概率论中的参数和方差估计、高数中的泰勒级数)相联系的能 力。 素质目标： >培养学生理论和实际问题相联系，以及综合各种基础理论理解具体问题 的素质。 2.教学内容 >§5.1测量误差概述 >§5.2偶然误差的统计特征 >§5.3观测值的最或然值及改正数。 >§5.4观测值的精度评定 >§5.5误差传播定律 >§5.6加权平均值及其中误差 >§5.7最小二乘原理与测量平差 3重点难点 >测量中的中误差和方差的区别和联系 -1-
- 1 - 第五章 测量误差的基本知识 1 教学目标： 知识目标: 掌握测量的误差来源以及粗差、系统误差偶然误差的特点及其处理原则； 掌握偶然误差的统计规律，以及中误差、比例误差和极限误差在测量中 的应用； 掌握误差传播定律 掌握不等精度观测以及最小二乘平差的基本原理 能力目标： 培养学生将测量中的具体问题和已有的数学知识（如线性代数中的线性 相关与独立、概率论中的参数和方差估计、高数中的泰勒级数）相联系的能 力。素质目标： 培养学生理论和实际问题相联系，以及综合各种基础理论理解具体问题 的素质。 2. 教学内容 § 5.1 测量误差概述 § 5.2 偶然误差的统计特征 § 5.3 观测值的最或然值及改正数。 § 5.4 观测值的精度评定 § 5.5 误差传播定律 § 5.6 加权平均值及其中误差 § 5.7 最小二乘原理与测量平差 3 重点难点 测量中的中误差和方差的区别和联系
>误差传播率 >观测值的相关与独立 >不等精度问题 4教学方法 >案例法：简单的测量实例并将其和概率统计理论和数据处理方法联系起 来； >归纳综合法：将测量数据处理问题与概率论中的正态分布、最大然估计， 以及线性代数中的线性独立和相关等联系起来 >问题法：什么是参数估计，什么是方差估计？它和经典代数中的解方程 有何区别？ >类比法，将测量与随机试验类比，测量误差与概率论中的方差类比，将 不等精度观测的加权平均与求学积分类比 5教学效果评价 >能否理解测量中的几个基本误差并将其用于具体问题 >能否掌握误差传播定律并应用 >能否独立完成课后作业 >能否建立观测量是随机变量的概念，能否将测量中的加权平均值与概率 论中的期望和方差联系起来 §5.1测量误差概述 1测量误差的概念 在测量工作中，对某量（如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等） 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每 次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即： 测量真误差=真值-观测值 -2-
- 2 - 误差传播率 观测值的相关与独立 不等精度问题 4 教学方法 案例法：简单的测量实例并将其和概率统计理论和数据处理方法联系起 来； 归纳综合法：将测量数据处理问题与概率论中的正态分布、最大然估计， 以及线性代数中的线性独立和相关等联系起来 问题法：什么是参数估计，什么是方差估计？它和经典代数中的解方程 有何区别？ 类比法，将测量与随机试验类比，测量误差与概率论中的方差类比，将 不等精度观测的加权平均与求学积分类比 5 教学效果评价 能否理解测量中的几个基本误差并将其用于具体问题 能否掌握误差传播定律并应用 能否独立完成课后作业 能否建立观测量是随机变量的概念，能否将测量中的加权平均值与概率 论中的期望和方差联系起来 § 5.1 测量误差概述 1 测量误差的概念 在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等) 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每 次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即: 测量真误差=真值-观测值
2误差产生的原因： (1)观测者 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数 等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的 质量有直接影响。 (2)测量仪器 每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的 限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如 钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。 (3)外界条件 观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果 产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。 上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起 来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。 3测量误差分类： (1)系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小 保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。这种误差往往随着观 测次数的增加而逐渐积累。如某钢尺的注记长度为30m,经鉴定后，它的实际长 度为30.016m,即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m,也就是每量一整尺段 就有+0.016m的系统误差。这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离 成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5×(+0.016)=+0.080m。若用此钢 尺丈量结果为167.213m,则实际长度为： 167.213+167,213×0.0016=167.213+0.089=167,302(m) 30 系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到 最小程度，其常用的处理方法有： >检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 >加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用 盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。 (2)偶然误差 在相同观测条件下，对某量作一系列的观测，若观测误差的大小及符号变化 -3-
- 3 - 2 误差产生的原因: （1）观测者 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数 等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的 质量有直接影响。 （2）测量仪器 每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的 限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如 钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。 （3）外界条件 观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果 产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。 上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起 来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。 3 测量误差分类： （1）系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小 保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。这种误差往往随着观 测次数的增加而逐渐积累。如某钢尺的注记长度为 30m，经鉴定后，它的实际长 度为 30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小 0.016m，也就是每量一整尺段 就有+0.016m 的系统误差。这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离 成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。若用此钢 尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为： 167.213＋ 30 167.213 ×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ) 系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到 最小程度，其常用的处理方法有： 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用 盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。 （2）偶然误差 在相同观测条件下，对某量作一系列的观测，若观测误差的大小及符号变化
没有任何规律性，这种误差称为偶然误差，如估读误差，照准误差等。 从大量的测量实践中发现，虽然偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是 在相同的观测条件下，当观测次数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计 规律。 >在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值： >绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多： >绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等： >偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 ∑A l=0 limn (5-1) n- 式中：△表示偶然误差、n表示观测次数。 (4)粗差或错误 错误是因粗心错读正确的测量结果，或者在不允许的环境条件下和不合格 的测量仪器使用导致错误的测量结果，有时也叫粗差，错误的结果是不允许参与 平差的，平差前应先检查测量结果的正确性，即在不在误差允许范围之内，不在 的视为粗差或错误予以剔除。 4测量误差的处理原则 >对于系统误差，采用不含系统误差的仪器（需要严格检验和校准）或数 学模型改正的方法 >对于偶然误差，采用多次测量取平均值的方法 >另外为防止错误和提高观测精度，均需要进行多余必要观测数的“多余 观测”。 简单小结： >测量误差不可避免 >测量误差有规律可循 >各种误差区别对待 §5.2偶然误差的统计特征 课程导入： -4-
- 4 - 没有任何规律性，这种误差称为偶然误差，如估读误差，照准误差等。 从大量的测量实践中发现，虽然偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是 在相同的观测条件下，当观测次数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计 规律。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； 绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等； 偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 0 n i 1 n lim n (5-1) 式中：表示偶然误差、n 表示观测次数。 （4）粗差或错误 错误是因粗心错读正确的测量结果，或者在不允许的环境条件下和不合格 的测量仪器使用导致错误的测量结果，有时也叫粗差，错误的结果是不允许参与 平差的，平差前应先检查测量结果的正确性，即在不在误差允许范围之内，不在 的视为粗差或错误予以剔除。 4 测量误差的处理原则 对于系统误差，采用不含系统误差的仪器（需要严格检验和校准）或数 学模型改正的方法 对于偶然误差，采用多次测量取平均值的方法 另外为防止错误和提高观测精度，均需要进行多余必要观测数的“多余 观测”。 简单小结： 测量误差不可避免 测量误差有规律可循 各种误差区别对待 §5.2 偶然误差的统计特征 课程导入：
问题：什么是系统误差和偶然误差？为什么只研究偶然误差？ 系统误差来源五花八门，与测量设备、测量方法密切相关，只能具体问题具 体分析，而偶然误差具有普遍性和随机性的特点，因而主要研究偶然误差。 拓展：大地测量数据处理理论中，只考虑偶然误差的数据处理问题称为“经典测 量平差问题”，考虑粗差和模型误差的问题称为“现代测量平差或广义测量平差”。 1.偶然误差的分布 偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是在相同的观测条件下，当观测次 数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计规律。 >在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 >绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 >绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。 >偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 n d 将级婴进击的 f(x)明在的武真的 来财 -21-15 +3+9+15+21 X=△ -24-18 -12 6 +6 +12+18+24 图5-1偶然误差的频率直方图 偶然误差的统计特性： 正态分布的概率密度函数： e 42 (A) 其数学期望：E(△)=0 方差：o2=lim +△3++A=lim n→0 n 标准差：c=±lim 5-
- 5 - 问题：什么是系统误差和偶然误差？为什么只研究偶然误差？ 系统误差来源五花八门，与测量设备、测量方法密切相关，只能具体问题具 体分析，而偶然误差具有普遍性和随机性的特点，因而主要研究偶然误差。 拓展：大地测量数据处理理论中，只考虑偶然误差的数据处理问题称为“经典测 量平差问题”，考虑粗差和模型误差的问题称为“现代测量平差或广义测量平差”。 1. 偶然误差的分布 偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是在相同的观测条件下，当观测次 数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计规律。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。 偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 图 5-1 偶然误差的频率直方图 偶然误差的统计特性： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) 2 0 lim lim lim n n n n f e E n n n 正态分布的概率密度函数： 其数学期望：（ ） 方差： ＝ 标准差： ＝