关键：将测量工作和测量中的误差理论和随机试验、数量统计、概率论联系 起来，并要求学生将实际问题和数学知识相结合，使学生明白以下问题： >一次测量就是一次随机试验： >统计是分析过去，大量的随机试验结果可以得出规律，从而得到典型的 正态分布： >概率是预测未来，根据概率论，可以预测某个测量结果未来发生的可能 性（即概率）： >真值和估计的区别，真值是理论值，是一种数学上的假设，测量真值是 测量次数无穷多次的算术平均值，实际问题中测量不可能有无穷多次，因而也得 不到真值，因而只能得到估计值。既然值“估计”那肯定不准，就是有误差。 拓展：实际工作中的误差也并非严格服从正态分布，因为误差不可能无穷 大，应该是“截尾正态分布”，但问题是，这个“尾”哪里截？截尾势必使问题 变得更复杂，所以一般还是认为测量的偶然误差服从正态分布。 2评定观测值精度的标准 研究误差其中的一个目的，是评定观测值的精度。要判断观测误差对观测结 果的影响，必须建立衡量观测值精度的标准，其中最常用的有以下几种： (1)中误差： 用真误差来确定中误差：当已知观测值的真值时求中误差的方法 在等精度观测条件下，对真值为X的某一量进行次观测，其观测值为L1、 L2、…、Ln,相应的真误差为△1、…、△。取各真误差平方和的平均值的平方根， 称为该量各观测值的中误差： m 1 △，=X-L (5-2) 用改正数来确定中：误差当已知观测值的真值时求中误差的方法 在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法求得，所以常用最 或是误差即改正数来确定中误差。 Vi=X-Li (5-3) 理解关键： >中误差与方差的区别：一个是数学概念（测量次数趋于无穷），一个是 工程概念（有限测量次数），在理论上既要区分也要联系。 -6-
- 6 - 关键：将测量工作和测量中的误差理论和随机试验、数量统计、概率论联系 起来，并要求学生将实际问题和数学知识相结合，使学生明白以下问题： 一次测量就是一次随机试验； 统计是分析过去，大量的随机试验结果可以得出规律，从而得到典型的 正态分布； 概率是预测未来，根据概率论，可以预测某个测量结果未来发生的可能 性（即概率）； 真值和估计的区别，真值是理论值，是一种数学上的假设，测量真值是 测量次数无穷多次的算术平均值，实际问题中测量不可能有无穷多次，因而也得 不到真值，因而只能得到估计值。既然值“估计”那肯定不准，就是有误差。 拓展：实际工作中的误差也并非严格服从正态分布，因为误差不可能无穷 大，应该是“截尾正态分布”，但问题是，这个“尾”哪里截？截尾势必使问题 变得更复杂，所以一般还是认为测量的偶然误差服从正态分布。 2 评定观测值精度的标准 研究误差其中的一个目的，是评定观测值的精度。要判断观测误差对观测结 果的影响，必须建立衡量观测值精度的标准，其中最常用的有以下几种： （1）中误差： 用真误差来确定中误差：当已知观测值的真值时求中误差的方法 在等精度观测条件下，对真值为 X 的某一量进行 n 次观测，其观测值为 L1、 L2、…、Ln，相应的真误差为Δ1、…、Δn。取各真误差平方和的平均值的平方根， 称为该量各观测值的中误差： n m i n i 1 2 i X Li (5-2) 用改正数来确定中：误差当已知观测值的真值时求中误差的方法 在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法求得，所以常用最 或是误差即改正数来确定中误差。 1 n i 1 2 n V m i ，Vi=X-Li (5-3) 理解关键： 中误差与方差的区别：一个是数学概念（测量次数 n 趋于无穷），一个是 工程概念（有限测量次数），在理论上既要区分也要联系
>中误差的两种计算方法如何区分？已知真值和真值未知 >什么是先验和验后：测量中给定的标称精度称为先验误差，而在测量一 定的次数后根据测量结果计算出来的中误差叫验后。 (2)极限误差 前面已经证明，观测值的偶然误差服从正态分布，根据概率论的基本知识， 得到： 42 p(Al<km）=Jm2元m (5-4) 取k=1、2、3分别计算得到如下的概率： P(4≤m)=0.6826=68.3% P(4l≤2m)=0.9545=95.4% (5-5) P(△≤3m)=0.9973=99.7% 上式说明两倍中误差的个数占总数的5%，大于三倍中误差的个数占总 数的0.3%，因此测量上常取2倍或3倍中误差为误差的限值，称为容许误 差，容许误差主要用来界定测量中的错误与误差。 理解关键：为什么3m可以作为区分错误和测量误差的指标？ 对于某次测量，落在±3m中的概率为99.7%，也就是说1000次中有997次 出现在±3m之内，因此某次测量出现在±3m范围之外属于小概率事件，属于不 太可能的事件，如果真出现了，我们认为是错误而非偶然误差。 (3)相对误差 衡量测量成果的精度，有时用中误差还不能完全表达观测结果的优劣。例如 用钢尺分别丈量两段距离，其结果为100m和200m,中误差均为2cm。显然， 后者的精度比前者要高。也就是说观测值的精度与观测值本身的大小有关。相对 误差是中误差的绝对值与观测值的比值。通常以分子为1的分数形式来表示，即： K=四 1 or K=- LAm (5-6) L 如上达前者的相对损差K=©吧0，后者的相对误差K=020。一】 100500 20010000 说明后者比前者精度高。相对误差是个无名数，而真误差、中误差、容许误差是 带有测量单位的数值。 注意事项： >相对误差用来衡量距离测量值的精度： >相对误差必须用分子为1的形式来表示，而且分母的后两位通常为零， 即一般为1/*00的形式，不能是小数形式。 -7-
- 7 - 中误差的两种计算方法如何区分？已知真值和真值未知 什么是先验和验后：测量中给定的标称精度称为先验误差，而在测量一 定的次数后根据测量结果计算出来的中误差叫验后。 （2）极限误差 前面已经证明，观测值的偶然误差服从正态分布，根据概率论的基本知识， 得到： km km m e d m p km 2 2 2 2 1 ( ) (5-4) 取 k=1、2、3 分别计算得到如下的概率： ( 3 ) 0.9973 99.7% ( 2 ) 0.9545 95.4% ( ) 0.6826 68.3% P m P m P m (5-5) 上式说明两倍中误差的个数占总数的 5%，大于三倍中误差的个数占总 数的 0.3%，因此测量上常取 2 倍或 3 倍中误差为误差的限值，称为容许误 差，容许误差主要用来界定测量中的错误与误差。 理解关键：为什么 3m 可以作为区分错误和测量误差的指标？ 对于某次测量，落在±3m 中的概率为 99.7%，也就是说 1000 次中有 997 次 出现在±3m 之内，因此某次测量出现在±3m 范围之外属于小概率事件，属于不 太可能的事件，如果真出现了，我们认为是错误而非偶然误差。 （3）相对误差 衡量测量成果的精度，有时用中误差还不能完全表达观测结果的优劣。例如 用钢尺分别丈量两段距离，其结果为 100m 和 200m，中误差均为 2cm。显然， 后者的精度比前者要高。也就是说观测值的精度与观测值本身的大小有关。相对 误差是中误差的绝对值与观测值的比值。通常以分子为 1 的分数形式来表示，即： L m K or L m K / 1 (5-6) 如上述前者的相对误差 K1= 500 1 100 0.020 ，后者的相对误差 K2= 10000 1 200 0.020 说明后者比前者精度高。相对误差是个无名数，而真误差、中误差、容许误差是 带有测量单位的数值。 注意事项： 相对误差用来衡量距离测量值的精度； 相对误差必须用分子为 1 的形式来表示，而且分母的后两位通常为零， 即一般为 1/**00 的形式，不能是小数形式
$5.3单观测值的最或然值及其改正数 导入：测量得不到真值，只能得到估计值或最或然值，那么什么是最或然值？就 是在一定的观测条件下，出现的可能性最大的值，英文The most probability value.。 测量数据处理的有两个目的，其一就是要找到这个最或然值，其二还要评定最或 然值的精度（即中误差）。用概率论术语来类比的话，求最或然值的工作叫参数 估计，求中误差的工作叫方差估计。 1等精度观测值的最或然值 1.1近似推导 在等精度观测条件下对某量观测了n次，其观测结果为L1,L2,…Ln。设该 量的真值为X,观测值的真误差为41，h…,△，即 △1=X-L1 A2=X-L2 00”400 An=X-Ln 将上列各式求和得： 44 SL L 上式两端各除以n得： =Y-i=l 令： i=l =6, =x,代入 上式移项后得： X=x+6 δ为n个观测值真误差的平均值，根据偶然误差的第四个性质，当n→oo时，δ→0， 则有： 6=lim n n- 这时算术平均值就是某量的真值。即： -8-
- 8 - §5.3 单观测值的最或然值及其改正数 导入：测量得不到真值，只能得到估计值或最或然值，那么什么是最或然值？就 是在一定的观测条件下，出现的可能性最大的值，英文 The most probability value。 测量数据处理的有两个目的，其一就是要找到这个最或然值，其二还要评定最或 然值的精度（即中误差）。用概率论术语来类比的话，求最或然值的工作叫参数 估计，求中误差的工作叫方差估计。 1 等精度观测值的最或然值 1.1 近似推导 在等精度观测条件下对某量观测了 n 次，其观测结果为 L1，L2，…Ln。设该 量的真值为 X，观测值的真误差为1，2…，n，即 1 =X - L1 2 = X -L2 …… …… n= X -Ln 将上列各式求和得： n i 1 =nX- n i 1 L 上式两端各除以 n 得： n L X n n i 1 n i 1 ，令： n n i 1 ， x n L n i 1 ，代入 上式移项后得： X = x +δ δ为n个观测值真误差的平均值，根据偶然误差的第四个性质，当n→∞时，δ→0， 则有： 0 n i 1 n lim n 这时算术平均值就是某量的真值。即：
=i=l n 在实际工作中，观测次数总是有限的，也就是只能采用有限次数的观测值来 求得算术平均值，即： 4,0 n x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。 1.2根据最大似然估计原理证明（补充） 在已知观测值服从正态分布的前提下，按最大似然原理证明，等精度观测值 的最或然值就是其算术平均值。 设X1,,Xn为取自总体N(4,o2)的样本，求参数4，σ2的极大似然估 计。首先构造最大似然函数： uo)-1/xk- 2a2 (5-7) 得到： -乃s- L(4,σ2)= 1 e 22 (5-8) (2π)5o" 将(5-8)两端分别取对数： Int(uo)=-2In(27)-aIg 2 2σ2 然后分别对未知参数求导，并令其等于零： ln4.o)=-x-川=0 ou 7nL4,o）=-n+只（ --0 8o2 2o4 得到： (5-9) n i=l -9-
- 9 - n L x n i 1 在实际工作中，观测次数总是有限的，也就是只能采用有限次数的观测值来 求得算术平均值，即： n L x n i 1 x 是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。 1.2 根据最大似然估计原理证明（补充） 在已知观测值服从正态分布的前提下，按最大似然原理证明，等精度观测值 的最或然值就是其算术平均值。 设 X1， … ， Xn 为取自总体 ( , ) 2 N 的样本，求参数 2 , 的极大似然估 计。 首先构造最大似然函数： n i x n i i i e L f x 1 2 2 1 2 2 ( , ) ( ; , ) 2 2 (5-7) 得到： 2 2 1 2 2 2 2 1 ( , ) i n i x n n L e (5-8) 将(5-8)两端分别取对数： 2 2 2 2 1 ln ( , ) ln(2 ) ln 2 2 2 n i i n n x L 然后分别对未知参数求导，并令其等于零： 2 2 1 2 2 2 2 4 1 ln ( , ) 1 ( ) 0 ln ( , ) 0 2 2 n i i n i i L x L n x 得到： 2 1 2 1 ( ) 1 , 1 n i i n i i x x n x x n (5-9) 2 ,