V·(En×V×En-En×V×E)=(k2-k2)E,·E 在体积V内积分 ∬7·(E。×V×E,-E。×7×Ed=(k-k)川E。·Em 由高斯 公式 ∬五·(E。×V×E,-E。×V×E。)s(k-k号)∬En·Edw S+S ×E。=k开。 a(kE。×A。kE,×,)dsk-k)川E·Edr S+S 在S面上E与E的外法线单位矢量n是平行的， →龙×i。上五，i。×E。上万 ∬五·(kE。×H。-kEn×F)ds=0 在S面上丑、丑平行于五， 八+小 → 与E。×i。、E,×月垂直∬五·(k,E。×月，kEn×用。)ds=0 → (k-k川E。·Er=0
在体积V内积分 （ 2 2 - ）=( ) m n n m m n n m E E E E - E E k k （ 2 2 - ） =( ) m n n m m n n m V V E E E E - E E dv k k dv 在S E E n 面上 m n 与 的外法线单位矢量 是平行的， E H n,H E n m n m n 在S H H n 面上 m n 、 平行于 ， n E H E H 与 m n n m 、 垂直 （ 2 2） =0 m n n m V k k dv - E E （ 2 2 - ) =( ) n m n m n m m n n m S S V n E H E H - E E k k ds k k dv （ 2 2 - ） =( ) m n n m m n n m S S V n E E E E - E E ds k k dv （ - ) =0 n m n m n m S n E H E H k k ds （ - ) =0 n m n m n m S n E H E H k k ds = S S S S 由高斯 公式 m m m E = H k
(k-k川En·Edr=0 → 若E与E不简并，≠，则有 ∬E。·Edw=0 n丰m E与龙正交 若E与E简并，则用它们的线性组合构成两个新的简并的正交模， 上面的正交特性仍成立。 同理可证 n≠m
正交 同理可证 （ 2 2） =0 m n n m V k k dv - E E 若E E m n m n 与 不简并，k k 2 2 ，则有 =0 n m V E E dv n m E E m n 与 若E E m n 与 简并，则用它们的线性组合构成两个新的简并的正交模， 上面的正交特性仍成立。 =0 n m V H H dv n m
V·(En×V×E)=V×E·V×E-E·V×V×E k2(i·i。-E。·E) 在V内积分∬方·(E×V×E)s=k(庄·庄-E。·E,)r S+S 利用边界条件，上式左边的面积分为“0”，故有 川。·E=川i,·五v=常数 令这个常数为“1”，进行归一化处理，有： I瓦，m-8 n≠ m n=m 成…月你=日 n丰m n=
在V内积分 利用边界条件，上式左边的面积分为“0” ，故有 令这个常数为“1” ，进行归一化处理，有： 2 （ ）= - （ ） m m m m m m m m m m m k E E E E E E H H E E （ ） 2 （ ) m m m m m m m S S V n E E E H H E E ds = k dv m m m m 常数 V V E E H H dv dv 0 1 0 1 m n V m n V n m dv n m n m dv n m E E H H
F,、中的正交性 根据矢量恒等式，有 7●（φ，Vφn)=Vφn。7φn+φnV·Vφ 7·（中70)=Vφn·Vφn-kpnp。 同样，有 又·（pV少，)=7n·7pn-kpnp。 两式相减， →7·(，V0。功7，)=(k后-k)(, 在V内积分，可得
根据矢量恒等式，有 同样，有 两式相减， 在V内积分，可得 F n n 、 的正交性 （ ）= n m n m n m （ ） 2 = m n n m n n m k （ 2 2 n m m n n m n m - ）=（k k ） （ ） 2 = n m n m m n m k
方(，。，74)ds=(k好-k的们，d S+S )(-小 S+S On 因为在S上中，=中n=0 在s吐d4-边-0 on on 故上面左边的面积分为0，故有 j川p,pdr=0 m≠n
（ 2 2 n m m n m n m n m - ） （ ） S S V n ds = k k dv 因为在 上 = =0 n m S 故上面左边的面积分为0，故有 =0 n m V dv m n 2 2 n m n m n m m n - ） （ ） S S V ds = k k dv n n 在 上 = =0 n m S n n