《大学物理实验》课程教学资源（教材讲义）三线摆法测刚体的转动惯量.pdf

:46:大学物理实验I-moSRrTs,(3-1-19)4元2H。式中，m。为下盘的质量，r，R分别为上下盘悬点离各自圆盘中心的距离，H。为平衡时上下盘间的垂直距离，T。为下盘做简谐运动的周期，g为重力加速度将质量为m1的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与OO轴重合，测出此时三线摆运动周期T。和上下圆盘间的垂直距离H.同理可求得待测物体和下圆盘对中心转轴O轴的总转动惯量为Io - (mo tm)gRr Ta.(3-1-20)4元H如不计因重量变化而引起悬线伸长，则有H～H。.那么，待测物体绕中心轴的转动惯量为I, = lo I。=-gRE-[(mo+ m) Te moTa].(3-1-21)4元2H。因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕中心轴的转动惯量2.验证平行轴定理用三线摆法还可以验证平行轴定理，若质量为m的物体0以通过其质心为轴的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离r时（图3-1-5），则此物体对新轴O°的转动惯量理论值为Ioy =le+mr,这一结论称为转动惯量的平行轴定理.0实验中将质量均为m2、半径为r2、形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两图3-1-5平行轴定理示意图个小孔）.按前面所述方法，测出两小圆柱体和下圆盘绕中心轴OO°的转动周期T？则可求出单个小圆柱体对中心转轴OO°的转动惯量1[(mo+ 2m2)gRr T - I。Iz-(3-1-22)24元H1因为圆柱体通过其轴心的转动惯量Icm2r，所以，如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之2间的距离工以及小圆柱体的半径r2，则由平行轴定理可求得小圆柱体转动惯量的理论值I'=le+m22=1n(3-1-23)mr+m2r22比较I，与I，的大小，若两数值接近，可验证平行轴定理【实验仪器】1.FB210型（双支架）三线摆转动惯量实验仪2.FB213A型数显计时计数毫秒仪（使用说明见附录3）3.米尺、游标卡尺，【实验内容】1.调整三线摆装置（1）观察上圆盘上的水准器，调节底板上三个调节螺钉，使上圆盘处于水平状态，（2）观察下圆盘上的水准器，调节上圆盘上三个悬线长度调节螺钉，把下圆盘调到水平状态，此时三悬线必然等长，固定紧固螺钉

I0 = m0gRr 4毿2H0 T2 0, (3灢1灢19) 式中,m0 为下盘的质量,r,R 分别为上下盘悬点离各自圆盘中心的距离,H0 为平衡时上下盘间的垂直距离,T0 为下盘做简谐运动的周期,g为重力加速度. 将质量为m1 的待测物体放在下盘上,并使待测刚体的转轴与 OO曚轴重合.测出此时三线摆运动周期T01 和上下圆盘间的垂直距离 H.同理可求得待测物体和下圆盘对中心转轴 OO曚轴的总转动惯量为 I01 = (m0 +m1)gRr 4毿2H0 T2 01. (3灢1灢20) 如不计因重量变化而引起悬线伸长,则有 H 曋 H0.那么,待测物体绕中心轴的转动惯量为 I1 =I01 -I0 = gRr 4毿2H0 [(m0 +m1)T2 01 -m0T2 0]. (3灢1灢21) 因此,通过长度、质量和时间的测量,便可求出刚体绕中心轴的转动惯量. 2.验证平行轴定理图3灢1灢5 平行轴定理示意图用三线摆法还可以验证平行轴定理.若质量为 m 的物体以通过其质心为轴的转动惯量为IC,当转轴平行移动距离x 时(图3灢1灢5),则此物体对新轴 OO曚的转动惯量理论值为 IOO曚 =IC +mx2, 这一结论称为转动惯量的平行轴定理. 实验中将质量均为m2、半径为r2、形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上(下盘有对称的两个小孔).按前面所述方法,测出两小圆柱体和下圆盘绕中心轴 OO曚的转动周期T02,则可求出单个小圆柱体对中心转轴 OO曚的转动惯量 I2 = 1 2 (m0 +2m2)gRr 4毿H0 T2 02 -I é ë êê ù û ú 0ú . (3灢1灢22) 因为圆柱体通过其轴心的转动惯量IC = 1 2 m2r2 2,所以,如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x 以及小圆柱体的半径r2,则由平行轴定理可求得小圆柱体转动惯量的理论值 I曚2=IC +m2x2 = 1 2 m2r2 2 +m2x2. (3灢1灢23) 比较I曚2与I2 的大小,若两数值接近,可验证平行轴定理. 暰实验仪器暱 1.FB210型(双支架)三线摆转动惯量实验仪. 2.FB213A 型数显计时计数毫秒仪(使用说明见附录3). 3.米尺、游标卡尺. 暰实验内容暱 1.调整三线摆装置 (1)观察上圆盘上的水准器,调节底板上三个调节螺钉,使上圆盘处于水平状态. (2)观察下圆盘上的水准器,调节上圆盘上三个悬线长度调节螺钉,把下圆盘调到水平状态,此时三悬线必然等长,固定紧固螺钉. ·46· 大学物理实验

第3章基础实验.47（3）适当调整光电传感器安装位置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门2.测量周期T。和To，To2（1）接通FB213A型数显计时计数毫秒仪的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接.合上毫秒仪电源开关，预置测量次数为20次.设置计数次数时，分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节（注意：数字调节只能按进位操作），设置完成后会自动保持设置值，直到再次改变设置为止（2）测量周期T。：首先使下圆盘处于静止状态，然后拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（5°左右），带动下圆盘绕中心轴O做微小扭摆运动.经过若干周期，待运动稳定后，按毫秒仪上的“执行”键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐1递减，直到递减为0时，计时结束，毫秒仪显示出累计20个周期的时间，将数据记录到表3-1-6中，重复6次注意：每开始一次测量时，要先按毫秒仪的“返回”键，使毫秒仪进入计时状态，（3）测定摆动周期To1：将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线相重叠，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表3-1-6中（4）测定摆动周期To2：将两个小圆柱体对称放置在下圆盘上，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表3-1-6中，表3-1-6累积法测周期数据记录表次数下盘下盘十两个圆柱下盘十圆环1扭摆220次3所需的4时间T5/s6平均摆动1个周期T。ToToz时间T/20/s3.用米尺测量圆环内、外直径，用游标尺测小圆柱体直径各6次，数据记录到表3-1-7中表 3-1-7相关直径多次测量数据记录表次数12563A平均值/mm项目F丙 =圆环内直径2rT井=圆环外直径2r外小圆柱体直径2rT2 =4.单次测量数据用米尺分别测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b，然后算出悬点到中心的距离r和R（等边三角形外接圆半径）.测量上下盘垂直距离H。，放置小圆柱体两孔中心间距2r，记录各刚体的质量

(3)适当调整光电传感器安装位置,使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门. 2.测量周期T0 和T01,T02 (1)接通FB213A型数显计时计数毫秒仪的电源,把光电接收装置与毫秒仪连接.合上毫秒仪电源开关,预置测量次数为20次.设置计数次数时,分别按“置数暠键的十位或个位按钮进行调节(注意:数字调节只能按进位操作),设置完成后会自动保持设置值,直到再次改变设置为止. (2)测量周期T0:首先使下圆盘处于静止状态,然后拨动上圆盘的“转动手柄暠,将上圆盘转过一个小角度(5曘左右),带动下圆盘绕中心轴 OO曚做微小扭摆运动.经过若干周期,待运动稳定后,按毫秒仪上的“执行暠键,毫秒仪开始计时,每计量一个周期,周期显示数值自动逐1递减,直到递减为0时,计时结束,毫秒仪显示出累计20个周期的时间,将数据记录到表3灢1灢6 中,重复6次. 注意:每开始一次测量时,要先按毫秒仪的“返回暠键,使毫秒仪进入计时状态. (3)测定摆动周期T01:将圆环放在下圆盘上,使两者的中心轴线相重叠,测量转动20个周期所用的时间,重复6次,将数据记录到表3灢1灢6中. (4)测定摆动周期T02:将两个小圆柱体对称放置在下圆盘上,测量转动20个周期所用的时间,重复6次,将数据记录到表3灢1灢6中. 表3灢1灢6 累积法测周期数据记录表扭摆 20次所需的时间T /s 次数下盘下盘 + 圆环下盘 + 两个圆柱 1 2 3 4 5 6 平均摆动1个周期时间T/20/s T0 = T01 = T02 = 3.用米尺测量圆环内、外直径,用游标尺测小圆柱体直径各6次,数据记录到表3灢1灢7中. 表3灢1灢7 相关直径多次测量数据记录表次数项目 1 2 3 4 5 6 平均值/mm 圆环内直径2r内 r内 = 圆环外直径2r外 r外 = 小圆柱体直径2r2 r2 = 4.单次测量数据用米尺分别测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b,然后算出悬点到中心的距离r和R(等边三角形外接圆半径).测量上下盘垂直距离 H0,放置小圆柱体两孔中心间距2x,记录各刚体的质量. 第3章基础实验 ·47·

:48:大学物理实验/3/3mm,Rmm;b=a=mm;mm,33H.=H-mm；下盘质量mo=g，圆环质量mi=g圆柱体质量m2=mm:g=9794mm.s-2g：两孔间距2r=【数据处理】1.将测得数据代入相应公式计算转动惯量实验值：（1）根据（3-1-19）式计算圆盘的转动惯量I。：（2）根据（3-1-21）式计算圆环的转动惯量I.（3）根据（3-1-22）式计算圆柱体的转动惯量122.用测得数据计算圆环、小圆柱体的转动惯量理论值：1（1）根据（3-1-18）式计算圆环的转动惯量I-mi（r+r）2（2）根据（3-1-23）式计算小圆柱体的转动惯量I23.将实验值与理论值比较，求圆环、小圆柱体转动惯量实验值对于理论值的相对误差.如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小，则验证了（3-1-22）式的正确性.如果验证失败，分析失败的原因，【思考题】1.用三线摆测量刚体的转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？2.在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期的测量有影响吗？如有影响，应如何避免？3.三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？4.测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？5.如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？6.三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？【拓展阅读】[1]胡协凡，王静，转动惯量测试仪的误差分析及改进测量方法的探讨.物理实验，1987,vol.7(02):86-87.[2]徐朋，刘军，张萍三线摆测转动惯量的不确定度分析大连大学学报.1999，vol.20(02):19-21.[3]杨建新.旋转带电球体的转动惯量.大学物理.1998，vol.17（10）：11-13【附录1悬丝的切变模量计算公式推导物体在平行于表面的力的作用下，只改变形状、不改变体积的形变称为切变，如图3-1-6所示.应力与应变的比值称为切变弹性模量：FS3=SN=（当很小时）19L如图3-1-7所示，对于一段长为L的钢丝，设其中截面积为pdodo的体积元所受切向力dF，产生切应变Ft

a= mm,R= 3 3 a= mm;b= mm,r= 3 3 b= mm; H0 =H = mm;下盘质量m0 = g,圆环质量m1 = g, 圆柱体质量m2 = g;两孔间距2x= mm;g=9794 mm·s-2 暰数据处理暱 1.将测得数据代入相应公式计算转动惯量实验值: (1)根据(3灢1灢19)式计算圆盘的转动惯量I0. (2)根据(3灢1灢21)式计算圆环的转动惯量I1. (3)根据(3灢1灢22)式计算圆柱体的转动惯量I2. 2.用测得数据计算圆环、小圆柱体的转动惯量理论值: (1)根据(3灢1灢18)式计算圆环的转动惯量I曚1= 1 2 m1(r2 内 +r2 外 ). (2)根据(3灢1灢23)式计算小圆柱体的转动惯量I曚2. 3.将实验值与理论值比较,求圆环、小圆柱体转动惯量实验值对于理论值的相对误差.如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小,则验证了(3灢1灢22)式的正确性.如果验证失败,分析失败的原因. 暰思考题暱 1.用三线摆测量刚体的转动惯量时,为什么必须保持下盘水平? 2.在测量过程中,如下盘出现晃动,对周期的测量有影响吗? 如有影响,应如何避免? 3.三线摆放上待测物后,其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大? 为什么? 4.测量圆环的转动惯量时,若圆环的转轴与下盘转轴不重合,对实验结果有何影响? 5.如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量? 6.三线摆在摆动中受空气阻尼,振幅越来越小,它的周期是否会变化? 对测量结果影响大吗? 为什么? 暰拓展阅读暱 [1] 胡协凡,王静.转动惯量测试仪的误差分析及改进测量方法的探讨.物理实验. 1987,vol.7(02):86灢87. [2] 徐朋,刘军,张萍.三线摆测转动惯量的不确定度分析.大连大学学报.1999,vol. 20(02):19灢21. [3] 杨建新.旋转带电球体的转动惯量.大学物理.1998,vol.17(10):11灢13. 暰附录1暱悬丝的切变模量计算公式推导物体在平行于表面的力的作用下,只改变形状、不改变体积的形变称为切变,如图3灢1灢6所示.应力与应变的比值称为切变弹性模量: N = F S 氄 = F S l L (当氄很小时). 如图3灢1灢7所示,对于一段长为L 的钢丝,设其中截面积为氀d氄d氀的体积元所受切向力dF,产生切应变图3灢1灢6 切变示意图 ·48· 大学物理实验