《数学分析川》教学大纲 课程编码：1512100606 课程名称：数学分析Ⅱ 学时/学分：96/6 先修课程：《数学分析I》 适用专业：信总与计算科学 开课教研室：分析与方程教研室 一、课程性质与任务 课程性质：《数学分析（Ⅱ）》是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程.研究 的主要内容是如何求解不定积分和定积分，如何理解和讨论级数和反常积分的敛散性，它是 分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础。在第2学期开设。 课程任务：掌握导数的应用、不定积分的概念、计算方法，掌握定积分的概念、可积条 件、计算方法及几何意义、定积分的几何应用和物理应用：反常积分和级数敛散的概念和敛 散性的基本判别方法及幂级数的基本知识：初步培养具有用定积分解决实际问题的能力和敛 散性的思想，为后继课程的学习打好必要的基础知识。开设本课程的目的是培养学生具有抽 象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问 愿的能力。通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握数学分析中的积分理论、级数理 论知识：提高建立数学模型并应用积分理论、级数理论这些工具解决实际应用间题的能力。 二、课程教学基本要求 掌握微分中值定理和导师的应用，掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和 分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。理解定积分的 概念，牢周掌握微积分基本定理：牛顿一莱布尼兹公式用于定积分的计算，熟练运用微元法 解决几何，物理中的实际问题，初步掌握定积分的数值计算。掌握反常积分的概念，熟练掌 握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。掌握数项级数敛散性的概念，熟练运用各种判 别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。掌握函数项级数（函数序列）一致收 敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函 数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。 成绩考核形式为考试成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）(70%)+平时成绩（作业、 课堂提问、课堂讨论等)(30%)。成绩评定采用百分制，60分为及格。 三、课程教学内容 第六章 微分中值定理及其应用 1.教学基本要求
《数学分析Ⅱ》教学大纲 课程编码：1512100606 课程名称：数学分析Ⅱ 学时/学分：96/6 先修课程：《数学分析Ⅰ》 适用专业：信息与计算科学 开课教研室：分析与方程教研室 一、课程性质与任务 课程性质：《数学分析（Ⅱ）》是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程．研究 的主要内容是如何求解不定积分和定积分，如何理解和讨论级数和反常积分的敛散性，它是 分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础。在第 2 学期开设。 课程任务：掌握导数的应用、不定积分的概念、计算方法，掌握定积分的概念、可积条 件、计算方法及几何意义、定积分的几何应用和物理应用；反常积分和级数敛散的概念和敛 散性的基本判别方法及幂级数的基本知识；初步培养具有用定积分解决实际问题的能力和敛 散性的思想，为后继课程的学习打好必要的基础知识。开设本课程的目的是培养学生具有抽 象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问 题的能力。通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握数学分析中的积分理论、级数理 论知识；提高建立数学模型并应用积分理论、级数理论这些工具解决实际应用问题的能力。 二、课程教学基本要求 掌握微分中值定理和导师的应用，掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和 分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。理解定积分的 概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式用于定积分的计算，熟练运用微元法 解决几何，物理中的实际问题，初步掌握定积分的数值计算。掌握反常积分的概念，熟练掌 握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。掌握数项级数敛散性的概念，熟练运用各种判 别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。掌握函数项级数（函数序列）一致收 敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函 数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。 成绩考核形式为考试成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（作业、 课堂提问、课堂讨论等）（30％)。成绩评定采用百分制，60 分为及格。 三、课程教学内容 第六章 微分中值定理及其应用 1.教学基本要求
让学生掌握微分中值定理及其应用：熟悉掌握利用罗必达法则的用法，熟练应用导数 判断函数相关性质。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解拉格朗日定理及其推论，掌握定理的证明，它的几种形式。理解费尔马定理， 罗尔定理，柯西定理，泰勒定理的证明。能用拉格朗日定理及其推论证明某些不等式，掌握 利用函数的泰勒展开式求一些函数的极限的方法。熟悉掌握利用罗必达法则求各种不定型极 限的方法。掌握函数单调性与导数间的联系与几何意义：明确函数在某一点x。处单调的 含义。掌握极限的要领与它的局部性质。掌握函数凸凹的解析定义与几何意义。掌握函数单 调性，极值，凸凹性，拐点的判定方法。了解凸函数的基本性质。掌握利用导数证明不等式 的基本方法。掌握基本初等函数的特性作图方法。 3.教学重点和难点 教学重点是拉格朗日定理和函数的单调性：柯西中值定理和不定式极限：泰勒公式：函 数的极值与最大（小值：函数的凸性与拐点。教学难点是泰勒公式：函数作图。 4.教学内容 第一节拉格朗日定理和函数的单调性 1.罗尔定理与拉格朗日定理 2.单调函数 第二节 柯西中值定理和不定式极限 1.柯西中值定理 2.0/0型不定式极限 3./∞型不定式极限 4.其他类型不定式极限 第三节泰勒公式 1.泰勒定理 2.带皮亚诺型余项的泰勒公式 3.在近似计算中的应用 第四节 函数的极值与最大（小）值 1.极值判别法 2.最大值与最小值 第五节 函数的凸性与拐点 1.函数的凸性 2.拐点 第六节 函数图象的讨论
让学生掌握微分中值定理及其应用；熟悉掌握利用罗必达法则的用法，熟练应用导数 判断函数相关性质。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解拉格朗日定理及其推论，掌握定理的证明，它的几种形式。理解费尔马定理， 罗尔定理，柯西定理，泰勒定理的证明。能用拉格朗日定理及其推论证明某些不等式，掌握 利用函数的泰勒展开式求一些函数的极限的方法。熟悉掌握利用罗必达法则求各种不定型极 限的方法。 掌握函数单调性与导数间的联系与几何意义；明确函数在某一点 x。处单调的 含义。掌握极限的要领与它的局部性质。掌握函数ÿĀ的解析定义与几何意义。掌握函数单 调性，极值，ÿĀ性，拐点的判定方法。了解ÿ函数的基本性质。掌握利用导数证明不等式 的基本方法。掌握基本初等函数的特性作图方法。 3.教学重点和难点 教学重点是拉格朗日定理和函数的单调性；柯西中值定理和不定式极限；泰勒公式；函 数的极值与最大(小)值；函数的ÿ性与拐点。教学难点是泰勒公式；函数作图。 4.教学内容 第一节 拉格朗日定理和函数的单调性 1. 罗尔定理与拉格朗日定理 2. 单调函数 第二节 柯西中值定理和不定式极限 1. 柯西中值定理 2. 0╱0 型不定式极限 3. ∞╱∞型不定式极限 4. 其他类型不定式极限 第三节 泰勒公式 1. 泰勒定理 2. 带皮亚诺型余项的泰勒公式 3. 在近似计算中的应用 第四节 函数的极值与最大(小)值 1. 极值判别法 2. 最大值与最小值 第五节 函数的凸性与拐点 1. 函数的ÿ性 2. 拐点 第六节 函数图象的讨论
1.函数作图步骤 第七章 实数的的完备性 1.教学基本要求 了解区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理及实数完备性定理的等价关系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 理解区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理的意义。了解区间套定理，聚点定理，有限 覆盖定理。确界定理与单调有界定理，柯西收敛准则的等价性，理解实数完备性的基本含义。 理解“覆盖”，“区间套”，“聚点”的概念，弄清聚点与收敛子数列间的关系。 3.教学重点和难点 教学重点是区间套定理、聚点定理与有限覆盖定理。教学难点是有关实数完备性基本定 理的等价性的证明， 4.教学内容 第一节 实数完备性的基本定理 1.区间套定理与柯西收敛准则 2。聚点定理与有限覆盖定理 第八章 不定积分 1.教学基本要求 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的计算方法。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解原函数和不定积分的概念，分清二者之间的区别与联系。理解不定积分的几何 意义。掌握不定积分的运算法则。牢固掌握换元积分法与分部积分法的技巧。掌握有理函数 积分法。掌握化简简单无理函数与三角函数为有理函数积分的方法。掌握特殊三角函数的积 分法。掌握查不定积分表的方法。理解初等函数的原函数不一定是初等函数，而有理函数的 原函数一定是初等函数。 3.教学重点和难点 教学重点是不定积分的概念、换元积分法、分部积分法，不定积分的基本公式，有理函 数积分的计算。教学难点是有理函数积分的计算 4.教学内容 第一节不定积分的概念和基本积分公式 1.原函数和不定积分的定义 2.不定积分的基本公式 第二节换元积分法和分部积分法
1. 函数作图步骤 第七章 实数的的完备性 1.教学基本要求 了解区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理及实数完备性定理的等价关系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 理解区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理的意义。了解区间套定理，聚点定理，有限 覆盖定理。确界定理与单调有界定理，柯西收敛准则的等价性，理解实数完备性的基本含义。 理解“覆盖”，“区间套”，“聚点”的概念，弄清聚点与收敛子数列间的关系。 3.教学重点和难点 教学重点是区间套定理、聚点定理与有限覆盖定理。教学难点是有关实数完备性基本定 理的等价性的证明。 4.教学内容 第一节 实数完备性的基本定理 1. 区间套定理与柯西收敛准则 2. 聚点定理与有限覆盖定理 第八章 不定积分 1.教学基本要求 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的计算方法。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解原函数和不定积分的概念，分清二者之间的区别与联系。理解不定积分的几何 意义。掌握不定积分的运算法则。牢固掌握换元积分法与分部积分法的技巧。掌握有理函数 积分法。掌握化简简单无理函数与三角函数为有理函数积分的方法。掌握特殊三角函数的积 分法。掌握查不定积分表的方法。理解初等函数的原函数不一定是初等函数，而有理函数的 原函数一定是初等函数. 3.教学重点和难点 教学重点是不定积分的概念、换元积分法、分部积分法，不定积分的基本公式，有理函 数积分的计算。教学难点是有理函数积分的计算。 4.教学内容 第一节 不定积分的概念和基本积分公式 1. 原函数和不定积分的定义 2. 不定积分的基本公式 第二节 换元积分法和分部积分法
1.换元积分法 2.分部积分法 第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分 1.有理函数的不定积分 2.三角函数有理式的不定积分 3.某些无理根式的不定积分 第九章 定积分 1.教学基本要求 理解定积分的概念和几何意义和可积条件，深刻理解微积分学基本定理，掌握定积分 的计算。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解定积分定义及其几何意义。掌握可积的充分条件与必要条件。理解有界函数的 达布上和、下和的概念及其性质。理解有界函数上、下和的概念以及与定积分概念之间的关 系。掌握函数f(x)在[a,b]上可积的一些等价命题。深刻理解变上限积分的概念及其连续性， 可微性定理的证明。深刻理解微积分学基本定理，理解定积分与不定积分，微积分与积分之 间的内在联系。熟练掌握用牛顿一一莱布尼兹公式，变量替换公式及分步积分公式计算定积 分。掌握证明函数可积性的方法。 3.教学重点和难点 教学重点是定积分的概念，可积条件，微积分基本定理，定积分的计算。教学难点是 可积条件，微积分基本定理 4.教学内容 第一节定积分的概念 1.问题提出 2.定积分的定义 第二节 牛顿一莱布尼茨公式 1.牛顿-莱布尼茨公式证明及应用 第三节可积条件 1,可积的必要条件 2.可积的充要条件 3.可积函数类 第四节 定积分的性质 1.定积分的基本性质
1. 换元积分法 2. 分部积分法 第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分 1. 有理函数的不定积分 2. 三角函数有理式的不定积分 3. 某些无理根式的不定积分 第九章 定积分 1.教学基本要求 理解定积分的概念和几何意义和可积条件，深刻理解微积分学基本定理，掌握定积分 的计算。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解定积分定义及其几何意义。掌握可积的充分条件与必要条件。理解有界函数的 达布上和、下和的概念及其性质。理解有界函数上、下和的概念以及与定积分概念之间的关 系。掌握函数 f(x)在[a,b]上可积的一些等价命题。深刻理解变上限积分的概念及其连续性， 可微性定理的证明。深刻理解微积分学基本定理，理解定积分与不定积分，微积分与积分之 间的内在联系。熟练掌握用牛顿——莱布尼兹公式，变量替换公式及分步积分公式计算定积 分。掌握证明函数可积性的方法。 3.教学重点和难点 教学重点是定积分的概念 ，可积条件，微积分基本定理，定积分的计算。教学难点是 可积条件，微积分基本定理。 4.教学内容 第一节 定积分的概念 1. 问题提出 2. 定积分的定义 第二节 牛顿-莱布尼茨公式 1. 牛顿-莱布尼茨公式证明及应用 第三节 可积条件 1. 可积的必要条件 2. 可积的充要条件 3. 可积函数类 第四节 定积分的性质 1. 定积分的基本性质
2.积分中值定理 第五节 微积分基本定理·定积分的计算（续） 1.变限积分与原函数存在定理 2.换元积分法和分部积分法 3.泰勒公式的积分型余项 第十章 定积分的应用 1.教学基本要求 掌握应用定积分求面积、体积、弧长和旋转曲面面积的公式和方法及定积分在物理上 的应用。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 理解曲线段可求长的慨念。掌握光滑曲线、微分曲线的曲率，曲率半径，曲率圆等概念。 掌握旋转曲面面积的公式。掌握弧长公式的推导。掌握平面图形面积的求法和已知截面面积 函数求体积的公式 3.教学重点和难点 教学重点定积分在几何和物理方面的应用。教学难点是旋转曲面面积公式，微元法。 4.教学内容 第一节 平面图形的面积 1.求直角坐标系平面图形的面积 2.参量方程下平面图形的面积 3.极坐标下平面图形的面积 第二节 由平行截面面积求体积 1.几何体的体积 2.旋转体的体积 第三节 平面曲线的弧长与曲率 1.平面曲线的弧长 2.曲率 第四节 旋转曲面的面积 1.微元法 2.旋转曲面的面积 第五节 定积分在物理上的应用 1.液体的静压力 2.引力 3.功与平均功率
2. 积分中值定理 第五节 微积分基本定理·定积分的计算（续） 1. 变限积分与原函数存在定理 2. 换元积分法和分部积分法 3. 泰勒公式的积分型余项 第十章 定积分的应用 1.教学基本要求 掌握应用定积分求面积、体积、弧长和旋转曲面面积的公式和方法及定积分在物理上 的应用。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 理解曲线段可求长的慨念。掌握光滑曲线、微分曲线的曲率，曲率半径，曲率圆等概念。 掌握旋转曲面面积的公式。掌握弧长公式的推导。掌握平面图形面积的求法和已知截面面积 函数求体积的公式。 3.教学重点和难点 教学重点定积分在几何和物理方面的应用。教学难点是旋转曲面面积公式，微元法。 4.教学内容 第一节 平面图形的面积 1. 求直角坐标系平面图形的面积 2. 参量方程下平面图形的面积 3. 极坐标下平面图形的面积 第二节 由平行截面面积求体积 1. 几何体的体积 2. 旋转体的体积 第三节 平面曲线的弧长与曲率 1. 平面曲线的弧长 2. 曲率 第四节 旋转曲面的面积 1. 微元法 2. 旋转曲面的面积 第五节 定积分在物理上的应用 1. 液体的静压力 2. 引力 3. 功与平均功率