《实变函数与泛函分析》教学大纲 课程编码：1512106004 课程名称：实变函数与泛函分析 学时/学分：64/4 先修课程：《数学分析》、《复变函数》 适用专业：信息与计算科学 开课教研室：分析与方程教研室 一、课程性质与任务 1.课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学 分析的延续和发展 2.课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生 综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现 代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。 二、课程教学基本要求 实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。“实变函数”主要 学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分：“泛函分析”是通过在集合中引入各 种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成 了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积 空间的性质及其映射（线性算子和线性泛函）性质。 三、课程教学内容 第一章集合 1.教学基本要求 通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、 并运算表示，集合的对等、基数概念：掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最 小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性， 有理数集在实数轴上的稠密性。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示：掌 握单调集合列{4k;的概念及其极限集的求法。熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价 关系：熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理：掌握集合对等的夹挤定理。熟悉集合的基数 概念：掌握有限集、可数集、不可数集的概念：掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数
《实变函数与泛函分析》教学大纲 课程编码：1512106004 课程名称：实变函数与泛函分析 学时/学分：64/4 先修课程：《数学分析》、《复变函数》 适用专业：信息与计算科学 开课教研室：分析与方程教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学 分析的延续和发展。 2．课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生 综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现 代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。 二、课程教学基本要求 实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。“实变函数”主要 学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各 种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成 了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积 空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。 三、课程教学内容 第一章 集合 1.教学基本要求 通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、 并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最 小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性， 有理数集在实数轴上的稠密性。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌 握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价 关系；熟悉集合对等的 Cantor-Bernstein 定理; 掌握集合对等的夹挤定理。熟悉集合的基数 概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数
集的基本运算性质；掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性：掌握有理数集在实数轴 上的稠密性：熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。熟悉对角线法；会建立正有 理数集与自然数集等常见的可数集之间的对等关系；会建立开区间、闭区间、半开半闭区间 等常见的不可数集之间的对等关系， 3.教学重点和难点 教学重点是集合对等的概念，可数集及可数集的性质。教学难点是可数集，不可数集， 集合列的上、下极限集。 4.教学内容 第一节集合的表示 1.集合的定义 2.集合的表示 第二节 集合的运算 1.集合的交和并 2.集合的差 3.集合的上、下极限 第三节 对等与基数集类 1.映射和集合的对等 2.Bernstein定理 第四节可数集合 1.可数集合的定义及性质 2.常用的可数集合 第五节 不可数集合 1.常用的不可数集合 2.不可数集合的基数 第二章 点集 1.教学基本要求 通过本章学习使学生了解度量空间和维欧氏空间的概念。掌握内点、极限点、开集 闭集等拓扑概念及其性质，Cantor集的构造及其性质。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生深刻理解和熟悉掌握内点、极限点、开集、闭集等拓扑概念及其性 质、并能熟练运用这些概念进行逻辑推理。掌握Cantor集的构造及其性质。了解连续性 覆盖等概念。 3.教学重点和难点
集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴 上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。熟悉对角线法；会建立正有 理数集与自然数集等常见的可数集之间的对等关系；会建立开区间、闭区间、半开半闭区间 等常见的不可数集之间的对等关系。 3.教学重点和难点 教学重点是集合对等的概念，可数集及可数集的性质。教学难点是可数集，不可数集， 集合列的上、下极限集。 4．教学内容 第一节 集合的表示 1. 集合的定义 2. 集合的表示 第二节 集合的运算 1. 集合的交和并 2. 集合的差 3. 集合的上、下极限 第三节 对等与基数 集类 1. 映射和集合的对等 2. Bernstein 定理 第四节 可数集合 1. 可数集合的定义及性质 2. 常用的可数集合 第五节 不可数集合 1. 常用的不可数集合 2. 不可数集合的基数 第二章 点集 1.教学基本要求 通过本章学习使学生了解度量空间和 n 维欧氏空间的概念。掌握内点、极限点、开集、 闭集等拓扑概念及其性质，Cantor 集的构造及其性质。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生深刻理解和熟悉掌握内点、极限点、开集、闭集等拓扑概念及其性 质、并能熟练运用这些概念进行逻辑推理。掌握 Cantor 集的构造及其性质。了解连续性、 覆盖等概念。 3.教学重点和难点
教学重点是聚点等价定理；开集，闭集的定义及性质：开集，闭集的构造定理：Cantor 三分集。教学难点是线性变换的矩阵表示和矩阵的Jordan标准形的方法及求出相应的相似 变换矩阵的方法。 4.教学内容 第一节度量空间和n维欧氏空间 1.度量空间与度量函数 2.度量空间中关于点集的相关概念 第二节 内点聚点，界点 1.内点，聚点，界点的定义，聚点的等价条件 2.开核、边界、导集定义及性质 3.Weierstrass定理 第三节 开集，闭集，完备集 1.开集、闭集的定义及性质 2.完备集 第四节直线上开集，闭集，完备集的构造 1.开集的构造定理 2。闭集、完备集的构造定理 第五节 Cantor三分集 L.Cantor三分集 2.Cantor三分集的性质 第三章测度论 1.教学基本要求 通过本章学习使学生深刻理解和掌握外测度与测度的概念，掌握测度的基本性质。了 解从R上的外测度与测度推广到一般集合上的基木思路 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章的系统学习，使学生熟悉测度的基本性质，深刻理解和掌握外测度与测度的 概念。掌握可测集的运算封闭性，可测集的通近性质。了解博雷尔及定义，掌握可测集和博 雷尔集的关系。 3.教学重点和难点 教学重点是可测集的概念与性质、测度的性质、可测集的逼近性质。教学难点是可测集 的概念与性质、可测集的逼近性质， 4.教学内容
教学重点是聚点等价定理；开集,闭集的定义及性质；开集,闭集的构造定理；Cantor 三分集。教学难点是线性变换的矩阵表示和矩阵的 Jordan 标准形的方法及求出相应的相似 变换矩阵的方法。 4．教学内容 第一节 度量空间和 n 维欧氏空间 1. 度量空间与度量函数 2. 度量空间中关于点集的相关概念 第二节 内点,聚点,界点 1. 内点,聚点,界点的定义，聚点的等价条件 2. 开核、边界、导集定义及性质 3. Weierstrass 定理 第三节 开集,闭集，完备集 1. 开集、闭集的定义及性质 2. 完备集 第四节 直线上开集,闭集，完备集的构造 1. 开集的构造定理 2. 闭集、完备集的构造定理 第五节 Cantor 三分集 1. Cantor 三分集 2. Cantor 三分集的性质 第三章 测度论 1.教学基本要求 通过本章学习使学生深刻理解和掌握外测度与测度的概念，掌握测度的基本性质。了 解从 Rn 上的外测度与测度推广到一般集合上的基本思路 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章的系统学习，使学生熟悉测度的基本性质，深刻理解和掌握外测度与测度的 概念。掌握可测集的运算封闭性，可测集的逼近性质。了解博雷尔及定义，掌握可测集和博 雷尔集的关系。 3.教学重点和难点 教学重点是可测集的概念与性质、测度的性质、可测集的逼近性质。教学难点是可测集 的概念与性质、可测集的逼近性质。 4．教学内容
第一节外测度 1.外侧度的定义及性质 2.例子 第二节可测集 1.可测集的定义 2.可测集的性质 第三节可测集类 1.几个简单的可测集合 2.博雷尔集 3.可测集的逼近性 第四章 可测函数 1.教学基本要求 通过本章学习使学生掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数列的几种不同的收敛 概念及其相互关系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生掌握可测函数的定义及其基本性质。掌捉可测函数列的几种不同的 收敛概念及其相互关系，了解Egorou定理、Lebesgue定理、Riesz定理、Luzin定理的证明 思路。 3.教学重点和难点 教学重点是可测函数的性质、可测函数与简单函数的关系、Egoroff定理、Riesz定理、 Lusin定理、依测度收敛、几种收敛之间的关系。教学难点是Lusin定理，依测度收敛。 4.教学内容 第一节可测函数及其性质 1.实数域的推广 2.可测函数的定义及举伤 3.可测函数的性质 4.可测函数与简单函数 第二节 Egoroff定理 1.Egoroff定理 第三节 可测函数的构造 1.Lusin定理 2.Lusin定理的另外表述 第四节依测度收敛
第一节 外测度 1. 外侧度的定义及性质 2. 例子 第二节 可测集 1. 可测集的定义 2. 可测集的性质 第三节 可测集类 1. 几个简单的可测集合 2. 博雷尔集 3. 可测集的逼近性 第四章 可测函数 1.教学基本要求 通过本章学习使学生掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数列的几种不同的收敛 概念及其相互关系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生掌握可测函数的定义及其基本性质。掌握可测函数列的几种不同的 收敛概念及其相互关系，了解 Egorou 定理、Lebesgue 定理、Riesz 定理、Luzin 定理的证明 思路。 3.教学重点和难点 教学重点是可测函数的性质、可测函数与简单函数的关系、Egoroff 定理、Riesz 定理、 Lusin 定理、依测度收敛、几种收敛之间的关系。教学难点是 Lusin 定理，依测度收敛。 4．教学内容 第一节 可测函数及其性质 1. 实数域的推广 2. 可测函数的定义及举例 3. 可测函数的性质 4. 可测函数与简单函数 第二节 Egoroff 定理 1. Egoroff 定理 第三节 可测函数的构造 1. Lusin 定理 2. Lusin 定理的另外表述 第四节 依测度收敛
1.依测度收敛的定义及举例 2.依测度收敛与几种收敛的关系 第五章 Lebesgue积分 1.教学基本要求 通过本章学习使学生理解Lebesgue积分的定义，掌握Lebesgue积分的基本性质， Lebesgue积分的定理（包括这些定理的条件结论），弄懂其证明思路。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生深入理解Lebesgue积分的定义，掌握Lebesgue积分的基本性质。 牢固掌握Lebesgue积分的定理：Levi定理、逐项积分定理、Fatou引理、控制收敛定理及 其若干推论，包括这些定理的条件结论，弄懂其证明思路。了解Lebesgue积分与Riemann 积分的关系，Riemann可积的充要条件 3.教学重点和难点 教学重点是各类可测函数勒贝格积分的性质、Levi定理、逐项积分定理、Fatou引理、 控制收敛定理及其若干推论、截面定理、Fubini定理、Riemann可积的充要条件、Lebesgue 积分与Riemann积分的关系。教学难点是控制收敛定理及其若干推论。 4.教学内容 第一节黎曼积分的局限性和勒贝格积分简介 1.黎曼积分可积的条件 2.黎曼积分的局限性 3.勒贝格积分简介 第二节 非负简单函数的勒贝格积分 1.非负简单函数的勒贝格积分的定义 2.非负简单函数的勒贝格积分的性质 第三节 非负可测函数的勒贝格积分 1.非负可测函数的勒贝格积分的定义 2.非负可测函数的勒贝格积分的性质 3.Levi定理、逐项积分定理、Fatou引理 第四节 一般可测函数的勒贝格积分 1.一般可测函数的勒贝格积分的定义 2.一般可测函数的勒贝格积分的性质 3.控制收敛定理及其若干推论 第五节Lebesgue积分与Riemann积分 L.Riemann可积的充要条件
1. 依测度收敛的定义及举例 2. 依测度收敛与几种收敛的关系 第五章 Lebesgue 积分 1.教学基本要求 通过本章学习使学生理解 Lebesgue 积分的定义，掌握 Lebesgue 积分的基本性质， Lebesgue 积分的定理（包括这些定理的条件结论），弄懂其证明思路。 2.要求学生掌握的基本概念、理论 通过本章教学使学生深入理解 Lebesgue 积分的定义，掌握 Lebesgue 积分的基本性质。 牢固掌握 Lebesgue 积分的定理：Levi 定理、逐项积分定理、Fatou 引理、控制收敛定理及 其若干推论，包括这些定理的条件结论，弄懂其证明思路。了解 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，Riemann 可积的充要条件。 3.教学重点和难点 教学重点是各类可测函数勒贝格积分的性质、Levi 定理、逐项积分定理、Fatou 引理、 控制收敛定理及其若干推论、截面定理、Fubini 定理、Riemann 可积的充要条件、Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系。教学难点是控制收敛定理及其若干推论。 4．教学内容 第一节 黎曼积分的局限性和勒贝格积分简介 1. 黎曼积分可积的条件 2. 黎曼积分的局限性 3. 勒贝格积分简介 第二节 非负简单函数的勒贝格积分 1. 非负简单函数的勒贝格积分的定义 2. 非负简单函数的勒贝格积分的性质 第三节 非负可测函数的勒贝格积分 1. 非负可测函数的勒贝格积分的定义 2. 非负可测函数的勒贝格积分的性质 3. Levi 定理、逐项积分定理、Fatou 引理 第四节 一般可测函数的勒贝格积分 1. 一般可测函数的勒贝格积分的定义 2. 一般可测函数的勒贝格积分的性质 3. 控制收敛定理及其若干推论 第五节 Lebesgue 积分与 Riemann 积分 1. Riemann 可积的充要条件