MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：径向波函数 例：计算处于量子态n=1,l=0,m1=0的电子在原子核处的几率密度。 解：首先写出波函数的具体形式： 3/2 1 1/2 41,0,0(0,0)=R,o(0)Yo.0(0,)=2 an 4π 则对应的几率密度函数为： ,0,0(0,0,p)= 23 Tad 对于H原子，Z=1,则上式值为2.15×10-6pm3 练习：对量子态n=2,l=0,m1=0重复以上计算。(P361) 2022/3/24 材料化学系：结构化学 16
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 16 第一节 类氢原子 类氢原子：径向波函数 例：计算处于量子态𝑛 = 1, 𝑙 = 0, 𝑚𝑙 = 0的电子在原子核处的几率密度。 解：首先写出波函数的具体形式： 则对应的几率密度函数为： 对于H原子，Z=1，则上式值为 2.15 × 10−6 pm−3 . 练习：对量子态𝑛 = 2, 𝑙 = 0, 𝑚𝑙 = 0 重复以上计算。（P361）
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：原子轨道和能级 ·原子轨道：原子中的单电子波函数，对类氢原子来讲，可由主量子 数(n)、角量子数(L)和磁量子数(m1)指定。 ·若一个电子可由该原子轨道描述其动力学行为，则称为“占据”该 轨道 ·常用写法：ln,L,m〉(ket,Dirac符号或括号，bra-ket) ·例：若一个电子由波函数1,0,0描述，则称这个电子占据量子态 11,0,0y 2022/3/24 材料化学系：结构化学 17
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 17 第一节 类氢原子 类氢原子：原子轨道和能级 • 原子轨道：原子中的单电子波函数，对类氢原子来讲，可由主量子 数（𝑛）、角量子数（𝑙）和磁量子数（𝑚𝑙）指定。 • 若一个电子可由该原子轨道描述其动力学行为，则称为“占据”该 轨道 • 常用写法：|𝑛, 𝑙, 𝑚𝑙 〉 （ket，Dirac符号或括号，bra-ket） • 例：若一个电子由波函数 𝜓1,0,0 描述，则称这个电子占据量子态 |1,0,0〉
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：量子数 ·n:主量子数(principal quantum number) ·n=1,2,3,… ·E=- 32nch ue4 n ·n限制了l的取值范围 ·:角量子数 ·1限制了m1的取值范围 ·l=0,1,,n-1 ·完全指定一个量子态还需自旋量子数 ms ·确定角动量大小√(l+1)h ·电子自旋为，m5=士号（下节内容） ·m:磁量子数 ·m=0,±1，±2，…，±l ·确定角动量z分量m,h 2022/3/24 材料化学系：结构化学 18
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 18 第一节 类氢原子 类氢原子：量子数 • 𝑛：主量子数（principal quantum number） • 𝑛 = 1, 2, 3, … • • 𝑙：角量子数 • 𝑙 = 0, 1, … , 𝑛 − 1 • 确定角动量大小 𝑙(𝑙 + 1)ℏ • 𝑚𝑙：磁量子数 • 𝑚𝑙 = 0, ±1, ±2, … , ±𝑙 • 确定角动量z分量 𝑚𝑙ℏ • 𝑛 限制了 𝑙 的取值范围 • 𝑙 限制了 𝑚𝑙 的取值范围 • 完全指定一个量子态还需自旋量子数 𝑚𝑠 • 电子自旋为 1 2 ，𝑚𝑠 = ± 1 2 （下节内容）
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：能级 Continuum H++e n 0 ·原子能级 -hcR/9 En=- 动n×景= ue4 Z2hcZ2Rw 山 n2 -hc/4 元=。=长 Classically allowed R=- meet 8cah'c Rydberg常数 energies -hcRa ·能级和能级差正比于Z2 ·此处能级全部为负，对应于束缚态；能量零点为距核无限远的电子所具有 的的能量 ·存在正本征能量，对应于非束缚态；非束缚态能量取值连续(W(r)→0) 2022/3/24 材料化学系：结构化学 19
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 19 第一节 类氢原子 类氢原子：能级 • 原子能级 • 能级和能级差正比于 𝑍 2 • 此处能级全部为负，对应于束缚态；能量零点为距核无限远的电子所具有 的的能量 • 存在正本征能量，对应于非束缚态；非束缚态能量取值连续 (𝑉 𝑟 → 0) Rydberg 常数
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：能级 例：计算氢原子基态电子能量。 解：Rydberg常数可由其定义式和其它基本常数计算，也可查表得到Ro= 109737cm-1。已知质子和电子质量分别为m,=1.67262×10-27kg,me=9.10938× 10-31kg,故有约合质量 =-818×0888×0器 =9.10442×1031kg 则有， _9.1042×103kg×109737cm=109677cm Ra=9.10938×10"kg 基态电子能量为： E=-hca=-(6.62608×10Js)×(2.997945×101"cms1) ×(109677cm1)=-2.17869×10-18J=-13.598eV 练习：对氘重复以上计算。已知mD=2.01355mu。(P362) 2022/3/24 材料化学系：结构化学 20
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 20 第一节 类氢原子 类氢原子：能级 例：计算氢原子基态电子能量。 解：Rydberg 常数可由其定义式和其它基本常数计算，也可查表得到 𝑅∞ = 109737 𝑐𝑚−1。已知质子和电子质量分别为𝑚𝑝 = 1.67262 × 10−27𝑘𝑔, 𝑚𝑒 = 9.10938 × 10−31𝑘𝑔，故有约合质量 则有, 基态电子能量为： 练习：对氘重复以上计算。已知 𝑚𝐷 = 2.01355 𝑚𝑢 。（P362）