MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：径向波函数 可通过分析有效势的具体形式，猜测径向波函数的行为： Va(r)=- Ze2,l(0+1)i2 4πeor 2μr2 ·第一项为Coulomb势，吸引 1≠0 ·第二项可看做离心项，排斥 ·I=0,角动量为零，无离心项 ·1≠0 =0 ·近核区，离心项为主，排斥；且越大， 排斥越强 ·猜测： Radius,r 距核较近区域，l=0和≠0的波函数具 有明显不同 ·距核较远，波函数行为相似 2022/3/24 材料化学系：结构化学 11
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 11 第一节 类氢原子 类氢原子：径向波函数 可通过分析有效势的具体形式，猜测径向波函数的行为： • 第一项为 Coulomb 势，吸引 • 第二项可看做离心项，排斥 • 𝑙 = 0，角动量为零，无离心项 • 𝑙 ≠ 0 • 近核区，离心项为主，排斥；且𝑙越大， 排斥越强 • 远核区，离心项衰减快，两项均衰减至0 • 猜测： • 距核较近区域，𝑙 = 0和𝑙 ≠ 0的波函数具 有明显不同 • 距核较远，波函数行为相似
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：径向波函数 Vr(r）=- Ze2 1(1+1)2 4πeor 2ur2 根据有效势的具体形式，猜测径向波函数的行为（两个极限)： ·距核较远处，所有的径向波函数都指数衰减为0 ·距核较近处，径向波函数正比于，轨道角动量越大，电子在核周围出现的几 率越小 R(r)=r'x polynomial in r)x(decaying exponential in r) R(r)=r'L(r)e" /=0 L()为一多项式，将近核区域 和远核区域两种不同的渐进行 为连接起来 3 Radius,r 2022/3/24 材料化学系：结构化学 12
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 12 第一节 类氢原子 类氢原子：径向波函数 根据有效势的具体形式，猜测径向波函数的行为（两个极限）： • 距核较远处，所有的径向波函数都指数衰减为0 • 距核较近处，径向波函数正比于𝑟 𝑙，轨道角动量越大，电子在核周围出现的几 率越小 𝐿(𝑟)为一多项式，将近核区域 和远核区域两种不同的渐进行 为连接起来
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：径向波函数 具体形式： ·本征能量： En= 32示话 Le4 2 ·径向波函数： Rn.(r)=NnipL(p)e2 p22 ea_e七aoao=Tco克2 mN mee2 ·Nnl归一化常数 ·L(p)为连带Laguerre多项式，具有很简单的形式，如(1，p,或p-2等) ·ao为Bohr半径，其值为52.9pm ·径向波函数由两个量子数确定：n(主量子数)和l(角量子数) 2022/3/24 材料化学系：结构化学 13
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 13 第一节 类氢原子 类氢原子：径向波函数 具体形式： • 本征能量： • 径向波函数： • 𝑁𝑛,𝑙 归一化常数 • 𝐿(𝜌) 为连带 Laguerre 多项式，具有很简单的形式，如（1， 𝜌， 或 𝜌 − 2 等） • 𝑎0 为 Bohr 半径，其值为 52.9 pm • 径向波函数由两个量子数确定：𝑛（主量子数）和 𝑙（角量子数）
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：径向波函数 Rn.(r)=NpL(p)e 径向函数的意义： ·归一化条件： 人rE.o=1 ·指数项确保波函数在无穷远处衰减为0 ·幂次项p确保波函数在原子核处取值为零。注意？=0不是径向 函数的节点（波函数不变号） ·连带（伴随)Laguerre多项式提供了径向波函数随离核距离变化 所需的振荡行为和节点信息。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 14
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 14 第一节 类氢原子 类氢原子：径向波函数 径向函数的意义： • 归一化条件： • 指数项确保波函数在无穷远处衰减为0 • 幂次项𝜌 𝑙确保波函数在原子核处取值为零。注意𝑟 = 0不是径向 函数的节点（波函数不变号） • 连带（伴随）Laguerre多项式提供了径向波函数随离核距离变化 所需的振荡行为和节点信息
MTSD@UPC 第一节类氢原子 类氢原子：径向波函数 RAr) 0 0.4 0.15 2 0 )a-mm 2 (m n-2,/=1 0.2 n=3,1=0 3 (图66p*pxn 0.1 3 (侣”4-pan 0.05 0 3 2 ioapom (c) d 752,15 22.5 0 p=(2Z/na)r with=For an infinitely heavy nucleus (or one that may be 5za,10 assumed to be).u=m and a=the Bohr radlus. 0.1 0.05 0.04 n=3,1=2 0.05 的 n=2,1+0 n=3,1=1 0.03 n=1,1=0 0.4 0.02 0.01 o 0 (e) 0 (a) (b) 0.075 2ng.15 22.5 0 0 -0.2 75z动a15 22.5 0 1za,2 3 0 5za,10 15 2022/3/24 材料化学系：结构化学 15
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 15 第一节 类氢原子 类氢原子：径向波函数