Chapter 11酉空间(Unitary Space) l.内积(scalar product) 向量x,yCL,如果复数(x,)满足条件： (1)(xy)=(y,x)° (2)(x,0y)=0(x,y) (ax,y)=(y,ax)"=a'(y,x)"=a'(x,y) (3)(x,+2)=(x,)+(x,2) (4)(x,x)≥0只有当x=0时，(x,x)=0 复数(x,y)则称为向量x和y的内积
Chapter 11 酉空间 (Unitary Space) 1. 内积（scalar product） 向量 x y L , ，如果复数 ( , ) x y 满足条件： * （1） ( , ) ( , ) x y y x （2） ( , ) ( , ) x y x y * * * * ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y y x y x x y 1 2 1 2 （3） ( , ) ( , ) ( , ) x y y x y x y （4） ( , ) 0 x x 只有当 x=0时， ( , ) 0 x x 复数 ( , ) x y 则称为向量x和y的内积
X X=(4,h,…4n） y2 ,y=(（41,2,…un） : Xn yn 2.构造正交归一化的{4，} 1 i=j u,西，)=6，{0i≠j (4,4)组成方阵，正交化 令(u,u,)=1 若(4，w)=a又令4j=u,-04 →(4,4)=(4,4)-a(4,4,)=0
1 1 2 2 1 2 1 2 , , , ( , , ) n n n n x y x y u u u y u u u x y 2. 构造正交归一化的 ui 1 ( , ) 0 i j ij i j u u i j ( , ) i j u u 组成方阵，正交化 ( , ) 1 i i 令 u u ( , ) i j 若 u u ' j j i 又令 u u u ' ( , ) ( , ) ( , ) 0 u u u u u u i j i j i i
归一化：令(4,4)=k 内积x月=（∑w,∑4，∑y,4,少卢∑m,少=XmY 米 X 其中X+=(x,x2,…x)= 转置共轭conjugate transposed
( , ) i i 归一化：令 u u k ' i i u u k 则： ' ' 1 ( , ) ( , ) 1 i i i i k u u u u k k k * * , , ( , ) ( , )= ( , )= = i i j j i j i j i ij j i j i j i j x y x u y u x y u y x m y X mY 内积 1 * * * 2 1 2 ( , , ) n n x x X x x x x 其中 转置共轭 conjugate transposed ~*
由内积定义 0==g4广=则财 Hermitian矩阵 m=m m*is the adjoint(conjugate transposed)of the matrix m(Hermitian conjugate) (AB)=BA" 显然， 由内积(x,x)≥0，有(x,x)=X*mX≥0 m:正定厄米阵， X+mX:正定的厄米型 如果(4,4)=δ x月=Σ，w,y,=∑y=Xy=(Gxx) X= yn Xn
由内积定义 * * ( , ) ( , ) m u u u u m ij i j j i ji m m Hermitian 矩阵 is the adjoint (conjugate transposed) of the matrix m (Hermitian conjugate) m AB B A 显然，由内积 x x, 0 ，有 x x X mX , 0 m: 正定厄米阵， X mX ：正定的厄米型 如果 ( , ) i j ij u u 1 * * * * * 2 1 2 , ( , ) ( , ) = , , i i j j i i n i j i n y y x y x u u y x y X Y x x x y 1 2 n x x X x
如果，由正交归一化(orthonormal)基{4}变换为一组新的正 交归一化基{4，即 8=(u.4)=(04:∑a,4广4,4,4,4)=∑44，=2away=0 →A什=AI 或(4,4，…，4）=(4,4，…，24a）) a11a12 … (ay)= a21 a22 a2n (a)= a an2 ain a2n (a,)满足 ∑aka=
如果，由正交归一化（orthonormal）基 变换为一组新的正 交归一化基 ，即 ui ' i u * ' ' * * , , ( , ) ( , )= ( , ) ik ij i j ki k lj l ki lj k l ki lj kl kj ij k l k l k l k u u a u a u a a u u a a a a 1 A A ' ' ' 1 2 1 2 , , , ( , , , )( ) n n ij 或 u u u u u u a * * * 11 12 1 11 21 1 * * * * 21 22 2 12 22 2 * * * 1 2 1 2 ( ) ( ) n n n n ij ij n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ( )ij a 满足 * ik jk ij k a a