Chapter7 Cayley定理 定理：每个n阶群都与一个n元(n次)置换群Sn的一个子群同构。 设G={80,81,82,…,8m-1} G=n 乘法表：8G=G(重排定理) 80 81828n 81 88088188288m- 8;对应一种重排。 8 8,80881882…8j8m-
Chapter 7 Cayley定理 定理：每个n阶群都与一个n元（n次）置换群 S n 的一个子群同构。 0 1 2 1 { , , , , } 设 G g g g g n G n 乘法表： g G G i （重排定理） 0 g 1 g 2 g ┅ n 1 g i g j g i 0 g g i 1 g g i 2 g g ┅ i n 1 g g j 0 g g j 1 g g j 2 g g ┅ j n 1 g g gi 对应一种重排
81→πg1 =(80 81… gm-） 81808181· 818n-1 8,-→πg,= 081… 8i808i81…818n-1 类似地， 88→兀grg 881= 8081… 8n-1 8… 8808;81… 8180 8181 … sgg 818n-1 81…8n-1 81(8180）81(8181)… 8081 (g81)g0(g81)g1. 8n-1 (8i81)8n-l = 8187
0 1 1 0 1 1 ( ) n i i i i n g g g i g g g g g g g g 0 1 1 0 1 1 ( ) n l l l l n g g g l g g g g g g g g 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) n n i i i n l l l n l l l n n i l i l i l n l l l n n i l i l i l n i l g g g g g g i l g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g 类似地， i l i l g g g g
因此，存在对应关系 81←→πg 81←→πg 881←→πg兀g=πg81 88>πgg=π。e 注意到，{π。，}除π。，所有置换中不存在没有字母不动的 正则置换(Regular Permutation) 由此，有结论：G=n HES,|HFn 由n个正则置换构成的群
因此，存在对应关系 i i g g l l g g i l i l i l g g g g g g 1 1 i i i i e g g g g e 注意到， 除 ，所有置换中不存在没有字母不动的 ――正则置换（Regular Permutation） { } i g e 由此，有结论： G n H S n | | H n 由n个正则置换构成的群
例子：Four-group V群 e a b c e e a b c a a e c b a→πa aecb b bce a c b a e 1234 a 2143 =(12)(34) -g7-05a4 -0 π。=(1)(2)(3)(4) 因此，可以用Cayley定理确定群的可能结构，因为群G(G=n) 与群S,的正则侧置换子群同构(Cayley定理)，而正则置换分解为 循环表示时必须具有相同的循环长度，因此，循环的长度必须是 的因子
例子： Four－group V群 e a b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e e a b c a a e c b a 1234 (12)(34) 2143 a 1 2 3 4 (13)(24) 3 4 1 2 b 1 2 3 4 (14)(23) 4 3 2 1 c (1)(2)(3)(4) e 因此，可以用Cayley定理确定群的可能结构，因为群G ( ） 与群 的正则置换子群同构（Cayley定理），而正则置换分解为 循环表示时必须具有相同的循环长度，因此，循环的长度必须是n 的因子。 G n n S
G=4,对应的S4的正则置换子群的长度为4,2 P=(…) P=（…(… 注：这里等循环长度的置换在正则置换群(S,的子群)中不属一 类。 例子G=6 1 23456 ba=a2b go g1 g2 g3 g4 gs ba'=ab e a a2 b ba ba2 go e e a a2 b ba ba? g a a a2 e ba2 b ba a e a ba ba2 b 123456 名 b ba ba2 e a 93 兀a 231645 =(123)(465) ba ba ba2b a2 e g ba2 ba2 b ba a
G 4 ，对应的 S4 的正则置换子群的长度为4，2 4 P ( ) 4 P ( )( ) 注：这里等循环长度的置换在正则置换群（ 的子群）中不属一 类。 例子 n S G 6 1 2 3 4 5 6 g0 g1 g2 g3 g4 g5 e a a 2 b ba ba2 g0 e g1 a g2 a 2 g3 b g4 ba g5 ba2 e a a 2 b ba ba2 a a 2 e ba2 b ba a 2 e a ba ba2 b b ba ba2 e a a 2 ba ba2 b a2 e a ba2 b ba a a2 e ba=a2 b ba2 =ab 123456 123 465 231645 a