伽里略悖论与康托尔对角线法 伽里略注意到一个类似的悖论，每一个整数可以平方，由 此我们可以断言平方数与整数一样多。 112=1,222-4,3→32-9，等等。 咒 但为何会这样，按照熟知的事实存在不是平方数的整数 如2,3,5,6， 9咒 1847年，康托尔发现对角线方法，证明了无理数比有理数 的数目多得多。假如我们把0和1之间随机选择的数字按顺 序排列起来，那么就可以发现这个序列即使达到无限长， 都一定会有数字不在里面。我们能够构造一个新数：选择 第一个数的10分位的数字作为新数的第一个数字；以第二 个数字百分位数字为新数的第二个数字；如此类推，最后 得到的新数无法排列进去
伽里略悖论与康托尔对角线法
rAD 康托尔的超限数 康托尔一开始定义一个无限集合为一个可以与自己 的部分建立一一对应关系的集合。他注意到每个可 以与所有整数的集合建立一一对应关系的集合必然 含有无限多个元素，他称这个数为“第一个超限基 数”，记为。这些集合是可数的，实数的基数比 正整数的基数大。它与一条直线，一个平面或者一 个高维空间中的点的基数相同，这些不可数的集合 记为C.比大的最小基数记作1，因此>≤c。,实 数集的所有可能的子集的“数目”是一个更大的超 限基数2。比大的最小的基数记作2，因此 22c
康托尔的超限数
丰 rAB 國☒球双 存在无限多个超限数 0:123456789101112 粥1： 82:
存在无限多个超限数
现代连续统理论 公理方法，无穷集和不可数集是现代连续统理论的关 键概念 戴德金把无穷集定义为：一个集合是无穷的，当且仅 当它的元素与其真子集的元素之间建立起 一一对应的 关系。 咒 一个无穷集是可数的，当且仅当它能一一 映射到自然 数集上，否则它就是不可数的。连续统就是 一个不可 数无穷集 。 咒 自然数极其稀疏地分布于实数中，每个自然数都被无 数个超越数包围着：“代数数包括自然数]分布于平 面上，如黑夜中的星辰；而浓密的夜空便是超越数的 疆土。 99
现代连续统理论
ErAO 國②四2双 连续统问题 9咒 康托尔-戴德金型的连续统理论产生了连续统问题 如果是所有自然数集合{1,2,3，..}的基数 即所有与它等价的集合之集合，那么可以表明， {1,2,3,.}的所有子集的集合的基数c也是所 有实数之集合的基数，用恰当的取幂定义来表示 就是：C-2s。 康托尔用对角线论证法证明了，<c,而且他猜 测说，不存在这样一个基数x,使得<x<c。c是 继之后更高的基数这一猜测，通常称为连续统 假设
连续统问题