罗素悖论的发现 1900年3月，罗素在巴黎参加国际哲学家大会，在会上接触 到了皮亚诺关于自然数算术公理的思想（与数学归纳法有 关)，这成为他开始探索符号逻辑的精神转折点。 光 1901年6月，在运用康托尔创立的集合论解决自然数数列问 题时，罗素发现了悖论。 光 1902年6月16日，他写信给弗雷格，告之这一发现。弗雷格 读后大为震惊，他在即将出版的《算术基本法则》第二卷 的结尾处写道： 光 一个科学家的工作完成之日，也是这一建筑物的基础倒塌 之时，没有什么比这更糟糕了。当本书即将付梓之时，罗 素先生的一封信把我置于这样的境地
罗素悖论的发现
版AB 罗素悖论 弗雷格对数的定义从0开始，这一定义的前提是把一切事物 分为“与自身相等同”和“与自身不相等同”两类。如果把 这一逻辑标准应用于“类”或“集合”，那么，二切集合也 可分为“与自身相等同”（比如，由“抽象概念”组成的集 合就是一个抽象概念)和“与自身不相等同”（由“水果” 组成的集合不是一个水果)两大类。悖论就出在“一切与自 身不相等同的集合组成的集合”这一概念。 咒 用集合论的符号表示，“属于集合”记作X,“与自身相 等同的集合”即“属于自身的集合”，记做xx,与自身不 相等同的集合”记作XX。设A∈{X￠x),如果A∈A,则A 廷A;如果AA,则A∈A。 咒 类似的悖论有“说谎者悖论”与“理发师悖论
罗素悖论
《数学原理》 在所有的数学都可以还原为关于自然数学的命题 这个流行的假设下，罗素提出，这些命题也都可 以还原为形式逻辑体系的命题。 咒 2 项研究了。这项工作首先要求发现那种以纯逻 清天号无 庙正< 咒 素 他1903年出版的《数学的原理》中试图实 贵年第收要笑 前的数学导师怀特海合著的三卷本《数学原理》 (1910-1913)中
《数学原理》
EYA0 或@☒级2双 类型理论 1906年，罗素在《数学原理》和一些论文中，提出了 解决罗素悖论的方案。他发现，一切悖论都来源于自 我指示的恶性循环，即：用己经蕴涵着整体规定性的 个体定义反过来规定整体。 咒 整体与个体的关系有不同的层次，其逻辑形式就是类 型。罗素提出用简单类型理论处理集合与元素，集合 与子集的关系 咒 0级类型：个体a,b,c...等，它们是变元x的值 98 1级类型：1级谓词f和0级变元构成ⅸ。 8咒 2级类型：2级谓词F和较低级变元构成Fx和F(ⅸ)。 咒 一般来说，n+1级类型由n+l级谓词和n级以及n级以下 变元构成。这就是罗素简单类型理论
类型理论
希尔伯特旅馆 9粥 罗素的类型理论还无法消除类似“贝利悖论”的怪物：比 “用至少15个字插述的最小整数”。 另外，还要简单地 可 因为他无法确定要选择每一双中的哪一只。 咒 伟杰的数学家希尔伯特提出了一个关于无限数的有趣设想 叫做“希尔伯特旅馆”。 一 位旅客来到希尔伯特的旅馆想 租一个房间，经理说：“客满了，不过这不是不可解决的 问题：我们能够为你腾出地方来。”他把新客人安排在1号 房，将1号房的人搬到2号房，2号房的人搬到3号房，N号 房的人搬到+1号房等等。这个旅馆正好有无限多间房
希尔伯特旅馆