R功率放SMR图2-5速度控制系统(2-22)u-K(u,-u,)Ku,式中K，=R2/Ri是运算放大器1的比例系数。运算放大器I考虑RC校止网络，u2与ul之间的微分方程为idi+u(2-23)uz=K,dt式中K,=R2/R，是运算放大器I的比例系数t=RC是微分时间常数。功率放大器本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电路的时间滞后，其输入输出方程为(2-24)u=Ku?式中K，为比例系数。直接引用例2-2所求得的直流电动机微分方程式（2-6）：直流电动机T.E+A-K-KM(2-25)式中T，Km，K.及M均是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等效值。齿轮系设齿轮系的速比为i，则电动机转速wm经齿轮系减速后变为，故有an(2-26)a-测速发电机的输出电压u与其转速成正比，即有测速发电机(2-27)u=Ka式中K，是测速发电机比例系数。从上述各方程中消去中间变量u，u1,u2，ua及wm，整理后便得到控制系统的微分方程K崇+Ku-KMdaTS+(2-28)+0=Kd式中,T=(T+KK,KKmK)/(+KK,KKmK,);K,=KK2KKmt/i+K,K,K,K.K,);K,=K,KK,Km/i+K,K,K,KmK,),K=K./+K,K,K,KmK,)。: 24
式（2-28）可用于研究在给定电压ui或有负载扰动转矩M.时，速度控制系统的动态性能。从上述各控制系统的元件或系统的微分方程可以发现，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。例如，RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，我们称这些物理系统为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于我们使用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础。3.线性系统的特性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用登加原理。叠加原理有两重含义，即具有可登加性和均匀性（或齐次性）。现举例说明：设有线性微分方程为dc(t) + dc(t)2+c(t)=f(t)d+d当f(t)一f(t)时，上述方程的解为ci(t);当f(t)fz(t)时，其解为czt）。如果f(t)一fi(t)十f(t),容易验证，方程的解必为c(t）=c(t)十cz(t）,这就是可登加性。而当f(t)Af(t)时，式中A为常数，则方程的解必为(t)Ac（t)这就是均匀性线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等丁各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，耳外作用的数值增大若千倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。4.线性定常微分方程的求解建立控制系统数学模型的目的之一是为了用数学方法定量研究控制系统的工作特性。当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法和拉氏变换法两种，也可借助电子计算机求解。本小节只研究用拉氏变换法求解微分方程的方法，同时分析微分方程解的组成，为今后引出传递函数概念奠定基础。例2-6在例2-1中，若已知L=1H,C=1F，R=12，且电容上初始电压u。（0）=0.1V.初始电流i(0)=0.1A，电源电压u(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压u。()的的变化规律。解在例2-1中已求得网络微分方程为L a + Rc dg + u.() u,L)(2-29)dt?dt令U,(s)=[u.(t)],U,(s)=[u.()]且g[du(t2= sU.(s) - u.(0)ydt」[du.(t)[*d]- sU,(s) - su(0) - 2(0)· 25 :
式中u（0）是du。（t）/dt在t=0时的值，即du.(t))i(0)2(t)CCdt.oin现在分别对式（2-29）中各项求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有U.(s)10.1s + 0.2U.()=2+$+1(2-30)+s+]由于电路是突然接通电源的，故u（t）可视为阶联输入量，即u（）=1（t），或U.（s）二上[u（t）一1/s。对式（2-30）的U。（s）求拉氏反变换，便得到式（2-29)网络微分方程的解a(t),即1+0.15+0.27u(0)=5e-[U.(s)]=-Ls(s+$+1)+$+$+1)=1+1.15e-0.5"sin(0.866t-120°)+0.2e-0.5sin(0.866t+30)(2-31)在式（2-31）中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应，它们统称为网络的单位阶跃响应。如果输入电压是单位脉冲量8（t），相当于电路突然接通电源又立即断开的情况，此时U.(s)=出[8(t)]=1，网络的输出则称为单位脉冲响应，即为1±0.1s+0.2u.(t)=-L+5+1++5+11.15e-0.5sin0.866+0.2e-0.5'sin(0.866t+30°)(2-32)利用拉氏变换的初值定理和终值定理，可以直接从式（2-30)中了解网络中电压u。(t)的初始值和终值。当u;(t)=1(t)时，u。(t)的初始值为u,(0)-- limu,(t) - lims .U,(s)1+ 9. 1s ± 0.2= 0. 1(V) limsLs(s +s+ 1)+s+u。(t)的终值为u.(oo)- limu.(t) limsU,(s)1+0.1s±0.27= 1(V)=limLs+$+1)+9+$+1J其结果与从式（2-31)中求得的数值一致。于是，用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可妇结如下：1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；2）由代数方程求出输出单拉氏变换函数的表达式；3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出基的时域表达式，即为所求微分方程的解。5.非线性微分方程的线性化严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。例如，弹簧的刚度与其形变有关系，因·26
此弹簧系数K实际上是其位移的函数，并非V常值；电阻、电容、电感等参数值与周围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也并y-f(x)非常值，电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。当然，在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将这些元件视为线性元件，这就是通常使用的一种线性化方法。此外，还有一种yoT线性化方法，称为切线法或小偏差法，这种线性图2-6小偏差线性化示意图化方法特别适合于具有连续变化的非线性待性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替，具体方法如下所述。设连续变化的非线性函数为y二f(x），如图2-6所示。取某平衡状态A为工作点，对应有yf(z）。当a=zo+Ar时，有y-yo+Ay。设函数y=f(）在（oy)点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为y=f(a) = f(ro) + () (α- z.)dx/+(-)+3当增量（一2。）很小时，略去其高次幂项，则有y yo = f(z) - f(z,) =- ((2) (α - 20)dr令Ay=y-y=(）f(z),Az=—ro,K=（df()/dr），则线性化方程可简记为Ay- KAr略去增量符号△，便得函数y=f(r)在工作点A附近的线性化方程为yKr式中，K=(df(z)/dr）是比例系数，它是函数f(z)在A点的切线斜率。对于有两个自变量1,2的非线性函数F(21，2)，同样可在某工作点（10,2)附近用泰勒级数展开为afaf(2- x10) +(2—20)y=f(z1,z)=f(a10,r20)+(arsarT.tafi1af)(—10)2+ 2( 10)(2 - X0)2arar22:1azTrorxg09af(x2— 20)2+.+(ars)--略去二阶以上导数项，并令Ayy—f（1020），1—10,Ar2=—2，可得增量线性化方程为af(afAri +Ar, = K,Ar + K,Ar?Ay (0g11020(axfsog·27
式中，K=(af/a)+K=(af/a)102这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致，控制系统也不进行控制动作。一巨被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减小或消除这个偏差，因此，控制系统中被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程所描述的系统特性。例2-7设铁芯线圈电路如图2-7(a)所示，其磁通与线圈中电流i之间关系如图2-7（b）所示。试列写以ur为输人量，1为输出量的电路微分方程。u,(b)(a)图2-7铁芯线圈电路及其特性解设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为dg(i)usK,dt根据基尔霍夫定律写出电路微分方程为u,= + Ri = K +Ri(2-33)didedt式中的de(i)/di是线圈中电流的非线性函数，因此，式（2-33）是-个非线性微分方程在工程应用中，如果电路的电压和电流只在某平衡点（uo，o）附近作微小变化，则可设u相对于uo的增量是Aur，相对于i的增量是i，并设(i)在i的邻域内连续可导，这样可将(i)在i附近用泰勒级数展开为1/d$(i)( dp()1(Ai)2 +.Ai+i)io)+2!1di2Tdifa当△i足够小时，略去高阶导数项，可得dd(i))Ai=KAi(i)(i)=1di式中K=d(i)/di)，令=i）一(i),并略去增量符号，便得到磁通与电流i之间的增垃线性化方程为(2-34)(i)=Ki由式（2-34)可求得d(i)/di=K，代入式（2-33)，有· 28 ·