diK,Kdt+Ri=uy(2-35)式（2-35)便是铁芯线圈电路在平衡点（uo，i)的增量线性化微分方程，若平衡点变动时、K值亦相应改变。6.运动的模态在数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根所决定，它代表自由运动。如果阶微分方程的特征根是入入，，：，入且无重根，则把函数e，e，e称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。每种模态代表一种类型的运动形态，齐次微分方程的通解则是它们的线性组合，即yt)=Cef+ce+.+che式中系数C1.C2，，C是由初始条件决定的常数。如果特征根中有多重根入，则模态会具有形如te，te*..的函数：如果特征根中有共轭复根入=士jw，则其共轭复模态ee+"与e(a可写成实函数模态e"sinat与e"cosot。在例2-6中，微分方程的特征根入=-0.5土j0.866，故其共复模态是e(0.5+j0-861与e(-0.s-0.86，或e-0."sino.866t与e-05cos0.866t，而微分方程的齐次通解则是u.(t)=ce-a5'sin0.866t+cze-0.5*cos0.866t由给定初始条件u。(0）=0.1V，i(0)=0.1A可求得ci=0.173,c2=0.1，故得u.(t)=0.173e-o.s'sin0.866t+0.1eo.5cos0.866t这个结果与例2-6中解u。（t)的零输入分量0.2e-0.5sin(0.866t十30°)是一致的。2-2控制系统的复数域数学模型控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机可以迅速而准确地求得结果。但是如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型一一传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起米的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。1.传递函数的定义和性质(1)定义线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：ddd*ac(t) + a de-c(t) + . + a e(t + ae()·29
dadm}d-bob+hd++bar(t)+bmr(t)(2-36)式中，c(t)是系统输出量，r(e)是系统输入量;a:(i=1,2,"，n）和b,(j=1,2,."，m）是与系统结构和参数有关的带系数。设r(t)和c(t）及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)=4[c(t)],R(s)=[r(t)]，可得s的代数方程为[aos" + ais- +. + an-is + anjC(s)=[bos"+bis"-1++bm-js+bmR(s)于是，由定义得系统传递函数为C(s)- bos"+ bism-1 +" + bm-1s + bm-M(s)G(s) =(2-37)R()-aos"+as--+..+a.-is+a,=N(s)式中M(s)=bos+bis"-1+"+bm-15+bmN(s)aos"+ais"1+.+an-is+a,例2-8试求例2-1RLC无源网络的传递函数U。(s)/U:(s）。解RLC网络的微分方程用式（2-1)表示为du.)+RCdu.(t)LC+uo(t) = u,(t)dt?dt在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令U。s）=[ua（t）),U.（s）［u:（t），可得s的代数方程为(LCs2 + RCs + 1)U.(s) =U.(s)由传递函数定义，网络传递函数为U(s)1G(s) =(2-38)U.(s)LCs2+ RCs + 1(2)性质1）传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质：m≤n且所有系数均为实数。2）传递函数是一种用系统参数表示输出量与输人量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与R(s)αs)G(s)输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。因此，可以用图2-8的方块图来表示一个具有传递函数G(s）的线性系图2-8传递函数的图示统。图中表明，系统输人量与输出量的因果关系可以用传递函数连系起来。3）传递函数与微分方程有相通性。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的石端及左端微分算符多项式系数相对应。故将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量s用算符d/dt置换便得到微分方程。例如，由传递函数bis+b2C(s)G(s) =R()=as+as+a2可得s的代数方程·30
(aos+ a1s + az)C(s) = (bs + bz)R(s)用微分算符d/dt置换s，便得到相应的微分方程d2d2c(0) + α e() + ag() = br r(r(t)+b,r()4）传递函数G(s）的拉氏反变换是脉冲响应g（t）。脉冲响应（也称脉冲过函数）g（t）是系统在单位脉冲(t)输入时的输出响应，此时R（s）=[8(t)=1，故有g（t)=-[C(s)]--[G(s)R(s)]=-G()]。传递函数是在零初始条件下定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义：一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，因此，在t一0时，输入量及其各阶导数均为零，二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出其及其各阶导数在t二0-时的值也为零，现实的工程控制系统多属此类情况。因此，传递函数可表征控制系统的动态性能并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有c(t)= sP-[C(s)] = s-1[G(s)R(s)] = / r(t)g(t - t)dt=/r(t -t)g(t)dt式中，g(t)=-[G(s)J是系统的脉冲响应。例2-9试求例2-2电枢控制直流电动机的传递函数Qm（s）/U.（s）。解在例2-2中已求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为T. dg + m(0) - K,u() - KM.(1)dt式中M.(t)可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，可分别求u。(t)到(t)和M.(t)到wm(t)的传递函数，以便研究在ua(t)和M,(t)分别作用下电动机转速w(t)的性能，将它们叠加后，便是电动机转速的响应特性。为求Qm(s)/U。(s），令M.t）=0，则有dam(t)Tu2 + wm(t) = Kjua(t)dt在零初始条件下，即（0）=（0）=0时，对上式各项求拉氏变换，并令0m（s）二[@m（t）],U。（s）=[u。（t）].则得s的代数方程为(Tms+1)0m(s)=K,Ua(s)由传递函数定义，于是有K%(s)G()(2-39)U.(s)Tms+1Gs）便是电枢电压ua（t）到转速m（t）的传递函数。令ua（t）=0时，用同样方法可求得负载扰动转矩M.（）到转速的传递函数为-Kz0m(s)Gm(s) =(2-40)M(s)=Ts + 1由式（2-39）和式（2-40)可求得电动机转速m（t)在电枢电压ua（t)和负载转矩M.(t）同时作用下的响应特性为(c)= --[0m(s)] - -[ [.4u.0 - T.m(0]. 31
KI[元4M(0]U.(s)Cp"LTms + 1=(t)+(t)式中，wt)是电枢电压u。(t)作用下的转速特性；(t)是负载转矩M,()作用下的转速特性。例2-10在例2-1中，若已知RLC网络电容初始电压u。(0)和初始电流i(0)，试求电容电压u。（t)的单位阶跃响应。解由式（2-38）得RLC网络传递函数为1U.(s)G(s) =U.(s)LCs?+RCs+1由于在上述传递函数中不含有初始条件的信息，因面从传递函数只能求出电容电压u。（t）的零初始条件响应，得不到非零初始条件下的单位阶跃响应。为此，利用传递函数与微分方程的相通性，在传递函数中用微分算符d/dt置换s，得到相应的微分方程；然后，考虑初始条件，用拉氏变换法求解微分方程便求得非零初始条件下的解。即由的代数方程(ICs+RCs+1)U.(s)=U(s)用d/dt置换s后得Lc u + Rc da?2 +u (t) =u,(t)dt?dt考虑给定初始条件，对上式各项求拉氏变换后得IC[s2- su。(0)-u(0)JU.(s) +RC[s-u.(0)JU.(s)+U(s)=U,(s)于是有U.(s)LCsu.(0)+ICu'(0)+RCu.(0)-U.(s) = ICS + RCs +1LCs2+RCs+1式中u(0）=[du。（t)/dt]=o=i(0)/C,U(s）=1/s。对U。(s)求拉氏反变换便得到电容电压u。(t)的单位阶跃响应为ICu.(0) +(LCs + RC)u.(O)u.(t)= 5e-1[U(s) SLCs + RCs +1L(LCs2 + RCs + 1)s[LCu(0)+(LCs+RC)u（O))t+ILC2+RCs+1Ls(LC + RCs+1)]式中，右端第一项是由电源电压u（t)激励的零初始条件响应，第二项是由初始条件u（0)和u(0)激励的零输入响应。2.传递函数的零点和极点传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后可写为如下形式II(s - 2,)bo(s - 21)(5 - 22).(5 2m)G(s) ±(2-41)Kao(s-p)(s-p2)-.(s-p)II(s-p)式中，z,(i=1,2，，m)是分了多项式的零点，称为传递函数的零点；P,（j=1，2，…，n)是分母多项式的零点，称为传递函数的极点。传递函数的零点和极点可以是实数，也可是复·32
数；系数K，=b。/a。称为传递系数或根轨迹增益。这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹法中使用较多。在复数平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数的零极点分布图。在图中一般用“。”表示零点，用“×”表示极点。传递函数的零极点分布图可以更形象地反映系统的全面特性（详见第四章）。传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后也可写为如下因子连乘积的形式：b(ts+1)(r3s3+25t2s+1).(ts+1)(2-42)G(s)a(Tis+1)(Ts+2T2s+1)..(T,s+1)式中，次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点，，和T，称为时间常I（-z)/II（一p）称传递系数或增益。传递函数的这种表示形式数，K=bm/ag=K*15-1在频率法中使用较多。3.传递函数的极点和零点对输出的影响由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中（即零初始条件响应）也会包含这些自由运动的模态。现举例说明。设某系统传递函数为G0) - --4+26(s+3)显然，其极点p-1.p2=-2，零点=-3，自由运动的模态是e-和e-2当r(t)=ri+rze-，即R(s)=[n/s]+[rz/(s+5)]时，可求得系统的零初始条件响应为c([-[2(+)](s+ 1)(s + 2)1 s=9r1-rze-5+(3r2 12ri)e-+(3r1-2r2)e-2式中，前两项具有与输入函数r（t)相同的模态，后两项中包含了由极点一1和一2形成的自由运动模态。这是系统“固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可以认为这两项是受输入函数激发面形成的。这意味着传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态，传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们却影响各模态响应中所占的比重，因而也影响响应曲线的形状。设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为1.5s+24s+ 2G() = (s +1)(s +2)G,(s) =7(s + 1)(s + 2)其极点都是—1和-2,G(s)的零点21=—0.5.Gz(s)的零点2=-1.33.它们的零极点分布图如图2-9(a）所示。在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别是()=4-[4s ±2、1=1 +2e--3e-2Ls(s + 1)(s + 2) J=c2() = -1[ 5s ±2 1-= 1- 0. 5e-—0. 5e-2Ls(s +1)(s + 2) J= 33 ·