刀具输入程序脉冲分配与数字计算机步进电动机功率放大工件图1-25机床刀具进给系统d'c(t)3dc(t)dc(t)(2)+3+6:2+8c(t)=r(t);deade2dtdc(t)2+e(0)=r(t)+3 dr0,(3)Adtdt(4)c(t)=r(t)coswt+5,c(0)=3r(t)+6 d((5)+5r(t)dr;dt(6)c(t)=r(t);fo,t<6,(7)c(t)=Ir(t),t≥6..19
第二章控制系统的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导数为零），播迷变量之间关系的代数方程叫静态数学模型：而播述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此可对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去通近，这种方法称为系统辨识。近几年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支，本章重点研究用分析法建立系统数学模型的方法。在自动控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立和应用，其余几种数学模型将在以后各章中予以详述。：2-1控制系统的时域数学模型本节着重研究描述线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建立和求解方法。1.线性元件的微分方程现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。例2-1图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以u（t)为输入量，以u（t为输出量的网络o微分方程。10CTu()解设回路电流为（)，由基尔霍夫定律可写出回路u,()方程为OOL+ jd + R0) )图2-1RLC无源网络FCLji(t)dtu.(t)=消去中间变量（t），便得到描述网络输入输出关系的微分方程为20
d"u.(t)-du,(t)(2-1)+RCLC+u(t)=(t)dtdt2显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-1无源网络的时域数学模型。例2-2试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压u。（t）为输入+07量，电动机转速（t）为输出量。图中R，L分别R是电枢电路的电阻和电感，M。是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。M,解电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电图2-2电枢控制直流电动机原理图压u。(t)在电枢回路中产生电枢电流i(t),再由电流i（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转矩M.（e），从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下二部分组成：电枢回路电压平衡方程di.(t)(2-2)us(t)La+ Rai(t) + E.dt式中E。是电枢反电势，它是电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压ua（t)相反，即E。=Ca（t），是反电势系数。电磁转矩方程(2-3)M.(t) =Cmia(t)式中，C是电动机转矩系数；M.（t)是电枢电流产生的电磁转矩。电动机轴上的转矩平衡方程J. dg+ fun() = Ma() - M()(2-4)dt式中，f是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；J.是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。由式（2-2）～式（2-4)中消去中间变量i（t），E。及M（t)，便可得到以m（t)为输出量，u。（t）为输入量的直流电动机微分方程： d'a +(Lfu + RJa) deg)LaJ.2+ (Raf.m+CmC.)wa(t)dtd= Chu.(c) - L, dM.(c)- R.M(t)(2-5)dt在工程应用中，由于电枢电路电感L较小，通常忽略不计，因而式（2-5）可简化为dwm(t)T.(2-6)+(t)=Ku.(t)-KzM,(t)dt式中，Tm=RaJm/（Rafm+CmC）是电动机机电时间带数；K，=Cm/（Raf+CmC.），Kz=R./(R.f.+CmC,）是电动机传递系数。如果电枢电阻R。和电动机的转动惯量J.都很小可忽略不计时，式（2-6）还可进一步简化为(2-7)C,wm(t) =u,(t)· 21
这时，电动机的转速@（t)与电枢电压u（t)成正比，于是，电动机可作为测速发电机使用。例2-3图2-3是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t）作用下，位移r（t)的运动方程。解设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为(t),dr(t)/dt，da(t)/dt。由牛顿运动定律有F()n dr() = F() - Fi(t) - F2()(2-8)dt2X)式中，F(t)=f·dr(t)/dt是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，大小与运动速度成比例，是阻尼系数；F，（t）=Kz(t)是弹簧的弹力，其方向与运动方向相反，其大小与位移成比例,K是弹性系数。将F(t)和Fz(t)代入式(2-8)中，经整理后即得该系统的微分方程为TTdx(t)+fda()+Kr(t) = F(t)(2-9)mdt2图2-3弹资-质量-阻尼器dt机械位移系统例2-4试列写图2-4齿轮系的运动方程。图中齿轮1和齿轮2的转速、齿数和半径分别用w1.21,r1和2,Z2.r2表示：其粘性摩擦系数及转动惯量分别是fJ,和f2+Jz齿轮1和齿轮2的原动转矩及负载转矩分别是M，M和M2MeoJ.Z,M1囍o,MJm/M1Z,M,(b)(a)图2-4齿轮系解控制系统的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动传递，以便实现减速和增大力矩的目的。在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率亦相同，因此有关系式(2-10)M,w,= Mzw2(2-11)wjri = wzr2又因为齿数与半径成正比，即(2-12)r2Z2于是可推得关系式Z1(2-13)wg-Z2ZoMr(2-14)Mi=Z2根据力学中定轴转动的动静法，可分别写出齿轮1和齿轮2的运动方程为.22
+f+M=MmJdt(2-15)J.+ fo + M= M,(2-16)Jedt由上述方程中消去中间变量2,M1M2可得M-[0 + (23)5.] +[ + (2)s.j0 + M(2)(2-17)17.12.1令J=J, +(2),(2-18)f= f +(会)r.(2-19)M - (2)"M.(2-20)2.则得齿轮系微分方程为+ for +M.- Mm(2-21)di式中J，f及M.分别是折合到齿轮1的等效转动惯、等效黏性摩擦系数及等效负载转矩。显然，折算的等效值与齿轮系的速比有关，速比越大，即Z/Z，值越大，折算的等效值越小。如果齿轮系速比足够大，则后级齿轮及负载的影响便可以不予考虑。综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程：3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均接降靠排列。2.控制系统微分方程的建立建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理线路图画出系统方块图，并分别列写组成系统各元件的微分方程，然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写系统各元件的微分方程时，一是应注意信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级地单向传送；二是应注意前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应，例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电动机转动惯量的影响等。例2-5试列写图2-5所示速度控制系统的微分方程。解控制系统的被控对象是电动机（带负载），系统的输出量是转速@，参据量是u。控制系统由给定电位器、运算放大器I（含比较作用）、运算放大器I（含RC校正网络）、功率放大器、测速发电机、减速器等部分组成。现分别列写各元部件的微分方程：运算放大器参据量（即给定电压）u，与速度反馈电压u在此合成，产生偏差电压并经放大，即·23·