课时规范练 A组基础对点练 1.(2018大连双基测试)已知x,y的取值如表所示 如果y与x线性相关,且线性回归方程为y=bx+,则b的值为() B. D 解析:计算得x=3,y=5,代入到=bx+13中,得b=一故选A 答案:A 2.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分 别得到以下四个结论: ①y与x负相关且=2347x-6423:②y与x负相关=-347x+5648:③y与x正相关 且y=5437x+8.493;④y与x正相关且y=-4326x-4578 其中一定不正确的结论的序号是() B.② D.①④ 解析:y=bx十a,当b>0时,为正相关,b<0为负相关,故①④错误 答案 3.在一组样本数据(x,y),(x2,y2),…,(xm,y)(n≥2,x,x,…,xm不全相等)的散点 图中,若所有样本点(x,y(=12,…,m都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相 关系数为() B.0 D.1 解析:所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D 答案:D 4.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数x=3,y=3.5,则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是() 0.4x+2.3 By=2x-2.4
课时规范练 A 组 基础对点练 1．(2018·大连双基测试)已知 x，y 的取值如表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^ x＋ 13 2 ，则b ^的值为( ) A．－ 1 2 B.1 2 C．－ 1 10 D. 1 10 解析：计算得 x ＝3， y ＝5，代入到y ^＝b ^ x＋ 13 2 中，得b ^＝－ 1 2 .故选 A. 答案：A 2．四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论： ①y 与 x 负相关且y ^＝2.347x－6.423；②y 与 x 负相关且y ^＝－3.476x＋5.648；③y 与 x 正相关 且y ^＝5.437x＋8.493；④y 与 x 正相关且y ^＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：y ^＝b ^ x＋a ^，当 b>0 时，为正相关，b<0 为负相关，故①④错误． 答案：D 3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等)的散点 图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线 y＝ 1 2 x＋1 上，则这组样本数据的样本相 关系数为( ) A．－1 B．0 C.1 2 D．1 解析：所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为 1，故选 D. 答案：D 4．已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x ＝3， y ＝3.5，则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^＝0.4x＋2.3 B.y ^＝2x－2.4
Cy=-2x+9.5 Dy=-0.3x+44 解析:依题意知,相应的回归直线的斜率应为正,排除C、D且直线必过点(3,3.5),代入A、 B得A正确 答案:A 5.经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系,并得 到y关于x的回归直线方程:y=0.245x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1 万元,年饮食支出平均增加 解析:x变为x+1,y=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245,因此家庭年收入每增加 1万元,年饮食支出平均增加0.245万元 答案:0245 6.某炼钢厂废品率x%)与成本元/吨)的线性回归方程为=105492+42.569X当成本控制 在176.5元吨时,可以预计生产的1000吨钢中,约有 吨钢是废品(结果保留两位 小数) 解析:因为176.5=105492十42.569x,解得κ≈1.668,即当成本控制在1765元/吨时,废品 率约为1.668%,所以生产的1000吨钢中,约有1000×1.68%=1668吨是废品 答案:16.68 7.(2018·合肥模拟)某品牌手机厂商推岀新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手 机上市时间(x个月)和市场占有率(%)的几组相关对应数据 y0.020.050.1|0.150.18 (1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 (2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多 少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月 附: a=y-bx 解析:(1由题意知x=3,y=01,∑x=192,∑=5,所以6=物-5xy 192-5×3×0.1 5×32=0.042
C.y ^＝－2x＋9.5 D.y ^＝－0.3x＋4.4 解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除 C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入 A、 B 得 A 正确． 答案：A 5．经调查某地若干户家庭的年收入 x(万元)和年饮食支出 y(万元)具有线性相关关系，并得 到 y 关于 x 的回归直线方程：y ^＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加________万元． 解析：x 变为 x＋1，y ^＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 0.245 万元． 答案：0.245 6．某炼钢厂废品率 x(%)与成本 y(元/吨)的线性回归方程为y ^＝105.492＋42.569x.当成本控制 在 176.5 元/吨时，可以预计生产的 1 000 吨钢中，约有________吨钢是废品(结果保留两位 小数)． 解析：因为 176.5＝105.492＋42.569x，解得 x≈1.668，即当成本控制在 176.5 元/吨时，废品 率约为 1.668%，所以生产的 1 000 吨钢中，约有 1 000×1.668%＝16.68 吨是废品． 答案：16.68 7．(2018·合肥模拟)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手 机上市时间(x 个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据： x 1 2 3 4 5 y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18 (1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； (2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多 少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过 0.5%(精确到月)． 附：b ^＝ i＝1 n xiyi－n x ·y i＝1 n x 2 i －n x 2 ，a ^＝ y －b ^ x . 解析：(1)由题意知 x ＝3， y ＝0.1， i＝1 5 xiyi＝1.92， i＝1 5 x 2 i ＝55，所以b ^＝ i＝1 5 xiyi－5 x y i＝1 5 x 2 i－5 x 2 ＝ 1.92－5×3×0.1 55－5×3 2 ＝0.042
a=y-bx=0.1-0.042×3=-0.026, 所以线性回归方程为y=0.042x-0.026 (2)由(1)中的回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市 场占有率约增加0.042个百分点. 由y=0.042x-0.026∞0.5,解得x≥13,故预计上市13个月时,该款旗舰机型市场占有率能 超过0.5% 8.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生 学期数学成绩的平均分(采用百分制),剔除平均分在30分以下的学生后,共有男生30 名,女生200名.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,按性别分为两组,并将 两组学生成绩分为6组,得到如下所示频数分布表 「分数段(40.50)150.60)16070)(70.80)18090)(90100 男 18 15 5 13 2 (1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,数学 成绩与性别是否有关 (2)规定80分以上为优分(含80分),请你根据已知条件作出2×2列联表,并判断是否有90% 以上的把握认为“数学成绩与性别有关” 优分非优分总计 男生 女生 总计 100 附表及公式 「Ak≥)0o90000∞01 27063.8416.63510.828 (a+b)(c+d(a+e(b+d) 解析:(1)xx=45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.15=71.5 x女=45×0.15+55×0.1+65×0.125+75×0.25+85×0.325+95×0.05=71.5, 从男、女生各自的平均分来看,并不能判断数学成绩与性别有关. (2)由频数分布表可知:在抽取的100名学生中,“男生组”中的优分有15人,“女生组” 中的优分有15人,据此可得2×2列联表如下: 优分|非优分总计
a ^＝ y －b ^ x ＝0.1－0.042×3＝－0.026， 所以线性回归方程为y ^＝0.042x－0.026. (2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加 1 个月，市 场占有率约增加 0.042 个百分点． 由y ^＝0.042x－0.026>0.5，解得 x≥13，故预计上市 13 个月时，该款旗舰机型市场占有率能 超过 0.5%. 8．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生 一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在 30 分以下的学生后，共有男生 300 名，女生 200 名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，按性别分为两组，并将 两组学生成绩分为 6 组，得到如下所示频数分布表. 分数段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 男 3 9 18 15 6 9 女 6 4 5 10 13 2 (1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学 成绩与性别是否有关； (2)规定 80 分以上为优分(含 80 分)，请你根据已知条件作出 2×2 列联表，并判断是否有 90% 以上的把握认为“数学成绩与性别有关”. 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 100 附表及公式 P(K 2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K 2＝ n(ad－bc) 2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) . 解析：(1) x 男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5， x 女＝45×0. 15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5， 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关． (2)由频数分布表可知：在抽取的 100 名学生中，“男生组”中的优分有 15 人，“女生组” 中的优分有 15 人，据此可得 2×2 列联表如下： 优分 非优分 总计
男生 15 45 女生|15 234 总计 100 可得K2 100×(15×25-15×45) 60×40×30×70 1.79 因为1.79<2.706,所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关 B组能力提升练 1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如 下统计数据表 收入x万元8286100113119 支出y元627580859.8 根据上表可得回归直线方程=x+a,其中6=076,a=y-6x据此估计,该社区一户年 收入为15万元家庭的年支出为() A.11.4万元 B.11.8万 C.120万元 D.12.2万元 解析:∵x=10.0,y=8.0,b=0.76,∴a=8-0.76×10=04,∴回归方程为y=0.76x+ 0.4,把x=15代入上式得,y=0.76×15+0.4=118(万元),故选B 答案:B 2.根据如下样本数据 4.0 0.50.5b-0.6 得到的回归方程为y=bx+a若样本点的中心为(5,0.9),则当x每增加1个单位时,( 增加1.4个单位 B.减少14个单位 C.增加79个单位 D.减少79个单位 解析;:依题意得,y=2+b=2=0 0.9,故a+b=6.5①;又样本点的中心为(50.9,故0.9= 5b+a②,联立①②,解得b=-1.4,a=7.9,即y=-14x+7.9,可知当x每增加1个单位 时,y减少14个单位,故选B 答案:B 3.(2018岳阳模拟)某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消 费水平y(千元)统计调查,y与x具有相关关系,回归方程y=0.66x+1.562若某城市居民人 均消费水平为7675(千元),估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为
男生 15 45 60 女生 15 25 40 总计 30 70 100 可得 K 2＝ 100×(15×25－15×45) 2 60×40×30×70 ≈1.79， 因为 1.79<2.706，所以没有 90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”． B 组 能力提升练 1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如 下统计数据表： 收入 x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^ x＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝ y －b ^ x .据此估计，该社区一户年 收入为 15 万元家庭的年支出为( ) A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元 解析：∵ x ＝10.0， y ＝8.0，b ^＝0.76，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y ^＝0.76x＋ 0.4，把 x＝15 代入上式得，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选 B. 答案：B 2．根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 y 4.0 a－5.4 －0.5 0.5 b－0.6 得到的回归方程为y ^＝b ^ x＋a ^ .若样本点的中心为(5,0.9)，则当 x 每增加 1 个单位时，y( ) A．增加 1.4 个单位 B．减少 1.4 个单位 C．增加 7.9 个单位 D．减少 7.9 个单位 解析：依题意得， y ＝ a＋b－2 5 ＝0.9，故 a＋b＝6.5①；又样本点的中心为(5,0.9)，故 0.9＝ 5b＋a②，联立①②，解得 b＝－1.4，a＝7.9，即y ^＝－1.4x＋7.9，可知当 x 每增加 1 个单位 时，y 减少 1.4 个单位，故选 B. 答案：B 3．(2018·岳阳模拟)某考察团对全国 10 个城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消 费水平 y(千元)统计调查，y 与 x 具有相关关系，回归方程y ^＝0.66x＋1.562.若某城市居民人 均消费水平为 7.675(千元)，估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为________．
解析:由y=0.66x+1562知,当y=7675时,,6113 60,故所求百分比为26757675×660 6113 答案:83% 4.(2018·唐山质检)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得到了下表中 的实验数据,计算得回归直线方程为y=0.85x-0.25由以上信息,可得表中c的值为 天数x 紧殖数量H(千个)2.5344.5c 解析:x=3+4+5+6+7 2.5+3+4+45+c14+c 5 5代入回归直线方程!4+c 0.85×5-0.25,解得c=6 答案:6 5.为了研究男羽毛球运动员的身高x(单位:cm)与体重y(单位:kg)的关系,通过随机抽样 的方法,抽取5名运动员测得他们的身高与体重关系如下表 身高x)172174176178180 体重()74737675 (1)从这5个人中随机地抽取2个人,求这2个人体重之差的绝对值不小于2kg的概率 (2)求回归直线方程y=bx+a 解析:(1)从这5个人中随机地抽取2个人的体重的基本事件有(74,73),(7476),(7475) (74,77);(73,76),(73,75),(73,77);(76,75),(76,77);(75,77) 满足条件的有(74,76),(7477),(73,76),(73,75),(73,7),(75,77)6种情况,故2个人体重 之差的绝对值不小于2kg的概率为5=3 (2)x=176,y=75 Xi-x Viy 2 02 (x-x)(-y) 2(x-x)2 ==4X(=1)+(2)x(=2)+0×1+2×0+4×2=0 (-4)2+(-2)2+02+2+42 a- y bx=46 ∴y=0.4x+46
解析：由y ^＝0.66x＋1.562 知，当 y＝7.675 时，x＝ 6 113 660 ，故所求百分比为7.675 x ＝ 7.675×660 6 113 ≈83%. 答案：83% 4．(2018·唐山质检)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中 的实验数据，计算得回归直线方程为y ^＝0.85x－0.25.由以上信息，可得表中 c 的值为 ________. 天数 x 3 4 5 6 7 繁殖数量 y(千个) 2.5 3 4 4.5 c 解析： x ＝ 3＋4＋5＋6＋7 5 ＝5， y ＝ 2.5＋3＋4＋4.5＋c 5 ＝ 14＋c 5 ，代入回归直线方程得14＋c 5 ＝0.85×5－0.25，解得 c＝6. 答案：6 5．为了研究男羽毛球运动员的身高 x(单位：cm)与体重 y(单位：kg)的关系，通过随机抽样 的方法，抽取 5 名运动员测得他们的身高与体重关系如下表： 身高(x) 172 174 176 178 180 体重(y) 74 73 76 75 77 (1)从这 5 个人中随机地抽取 2 个人，求这 2 个人体重之差的绝对值不小于 2 kg 的概率； (2)求回归直线方程y ^＝b ^ x＋a ^ . 解析：(1)从这 5 个人中随机地抽取 2 个人的体重的基本事件有(74,73)，(74,76)，(74,75)， (74,77)；(73,76)，(73,75)，(73,77)；(76,75)，(76,77)；(75,77)． 满足条件的有(74,76)，(74,77)，(73,76)，(73,75)，(73,77)，(75,77)6 种情况，故 2 个人体重 之差的绝对值不小于 2 kg 的概率为 6 10＝ 3 5 . (2) x ＝176， y ＝75， xi－ x －4 －2 0 2 4 yi－ y －1 －2 1 0 2 b ^＝ ∑ 5 i＝1 (xi－ x )(yi－ y ) ∑ 5 i＝1 (xi－ x ) 2 ＝ －4×(－1)＋(－2)×(－2)＋0×1＋2×0＋4×2 (－4) 2＋(－2) 2＋0 2＋2 2＋4 2 ＝0.4， a ^＝ y －b ^ x ＝4.6， ∴y ^＝0.4x＋4.6