课时作业}知能提升 规范练习:·提升能力 一、填空题 1.下列关系中,是相关关系的为 (填序号) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系 ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系 ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 解析:由相关关系的概念知①②是相关关系 答案:①② 2.下面是一个2×2列联表 a2173 22527 合计|b46 则表中a、b处的值分别为 解析:∵a+21=73,∴a=52 又∵a+2=b,∴b=54 答案:52、54 3.一位母亲记录了儿子3~9岁的身高,数据(略),由此建立的身高与年龄的回 归模型为y=7.19x+73,93,用这个模型预测这个孩子10岁时的身高,则正确的 叙述是 ①身高一定是145.83cm②身高在14583cm以上③身高在145.83cm左右 ④身高在14583cm以下 解析:用回归模型υ=7.19x十73.93,只能作预测,其结果不一定是个确定值 答案:③ 4.三点(3,10),(7,20),(1124)的回归方程为 解析:设回归方程为y=bx+a,则
一、填空题 1．下列关系中，是相关关系的为________．(填序号) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． 解析：由相关关系的概念知①②是相关关系． 答案：①② 2．下面是一个 2×2 列联表 y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 则表中 a、b 处的值分别为________． 解析：∵a＋21＝73，∴a＝52. 又∵a＋2＝b，∴b＝54. 答案：52、54 3．一位母亲记录了儿子 3～9 岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回 归模型为y ^ ＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的 叙述是________． ①身高一定是 145.83 cm ②身高在 145.83 cm 以上 ③身高在 145.83 cm 左右 ④身高在 145.83 cm 以下 解析：用回归模型y ^ ＝7.19x＋73.93，只能作预测，其结果不一定是个确定值． 答案：③ 4．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的回归方程为________． 解析：设回归方程为y ^ ＝b ^ x＋a ^ ，则
A x1y1tx2y2tx333-3x x+x2+x3-3x2 3×10+7×20+11×24-3×7×18 9+49+121-3×49 =1.75 a=y-bx=18-1.75×7=5.75 故y=1.75x+575 答案:y=1.75x+575 5.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某4天的用 电量与当天气温,并制作了对照表 气温(℃)181310 用电量(度)|24343864 由表中数据得线性回归方程y=bx+a中b=-2,预测当气温为-4℃时,用电量 的度数约为度 解析:x=10,y=40,把(10,40)代入方程y=-2x+a,得a=60,当x=-4 时,y=-2×(-4)+60=68 答案:68 6.关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用υ(万元)有如下统计资料,若由 资料知y对x呈线性相关关系,则线性回归方程为6 234|56 4667 6 解析:线性回归直线方程y=x+a通过样本中心点(x,y),即(4,5),所以5 4+a,解得a=5 7滋岛
b ^ ＝ x1y1＋x2y2＋x3y3－3 x 2 x 2 1＋x 2 2＋x 2 3－3 x 2 ＝ 3×10＋7×20＋11×24－3×7×18 9＋49＋121－3×49 ＝1.75， a ^ ＝ y －b ^ x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ^ ＝1.75x＋5.75. 答案：y ^ ＝1.75x＋5.75 5．某单位为了了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用 电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 中b ^ ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量 的度数约为________度． 解析： x ＝10， y ＝40，把(10,40)代入方程y ^ ＝－2x＋a ^ ，得a ^ ＝60，当 x＝－4 时，y ^ ＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：68 6．关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料．若由 资料知 y 对 x 呈线性相关关系，则线性回归方程为y ^ ＝ 6 5 x＋________. x 2 3 4 5 6 y 2 4 6 6 7 解析：线性回归直线方程y ^ ＝ 6 5 x＋a ^ 通过样本中心点( x ， y )，即(4,5)，所以 5＝ 6 5 ×4＋a ^ ，解得a ^ ＝ 1 5 . 答案：1 5
7.已知回归直线斜率的估计值为123,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的 方程为 解析:回归直线必过点(4,5),∴y-5=1.23(x-4), ∴y=1.23x+008 答案:y=1.23x+0.08 8.已知x与y之间的一组数据: 0 则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点 解析:回归方程y=bx+a必过(x,y 答案:(1.5,4) 9.已知回归直线方程为y=44x+838.19,则可估计x与y增长速度之比约为 解析:x与y增长速度之比为, 4.422 答案 5 解答题 10.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次 试验,得到的数据如下 零件的个数x(个)2345 加工的时间(小时)2.53445 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图: 2345x (2)求出y关于x的线性回归方程y=bx+a,并在坐标系中画出回归直线
7．已知回归直线斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的 方程为________． 解析：回归直线必过点(4,5)，∴y－5＝1.23(x－4)， ∴y＝1.23x＋0.08. 答案：y＝1.23x＋0.08 8．已知 x 与 y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 必过点________． 解析：回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 必过( x ， y )． 答案：(1.5,4) 9．已知回归直线方程为y ^ ＝4.4x＋838.19，则可估计 x 与 y 增长速度之比约为 ________． 解析：x 与 y 增长速度之比为 1 4.4＝ 5 22. 答案： 5 22 二、解答题 10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次 试验，得到的数据如下： 零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图： (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ ，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间? 5xyi-nx bx 石x2-nx2 解析:(1)散点图如图 2 4 (2)由表中数据得:=525, x=3.5,y=3.5,x=54, ∴b=-4 =0.7, =y-bx=1.05, ∴y=0.7x+1.05 回归直线如图中所示 (3)将x=10代入回归直线方程,得y=0.7×10+105=805(小时 ∴预测加工10个零件需要8.05小时 11.为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现 对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析.下面是该生7次考试的成 数学888311792|108100112 物理9491108%6104101106 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明 (2)已知该生的物理成绩ν与数学成绩x是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?请你根据物理成绩与数学成绩的相 关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议
(3)试预测加工 10 个零件需要多少时间？ 注：b ^ ＝ ∑ n i＝1 xiyi－n x y ∑ n i＝1 x 2 i －n x 2 ，a ^ ＝ y －b ^ x . 解析：(1)散点图如图： (2)由表中数据得：∑ 4 i＝1 xiyi＝52.5， x ＝3.5， y ＝3.5，∑ 4 i＝1 x 2 i＝54， ∴b ^ ＝ ∑ 4 i＝1 xiyi－4 x y ∑ 4 i＝1 x 2 i －4 x 2 ＝0.7， ∴a ^ ＝ y －b ^ x ＝1.05， ∴y ^ ＝0.7x＋1.05. 回归直线如图中所示． (3)将 x＝10 代入回归直线方程，得 y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时． 11．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现 对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析．下面是该生 7 次考试的成 绩. 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分，请你估计他的数学成绩大约是多少？请你根据物理成绩与数学成绩的相 关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
解析:(1)x=100+-12-17+17-8+8+12 y=100+-6-9+8-4+4+1+6 994 250 =142,s理 从而骚学>骗理,所以物理成绩更稳定 (2)由于x与y之间具有线性相关关系, b=94=0.5,a=1005×10050, ∴线性回归方程为y=0.5x+50.当y=115时,x=130 建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的 进一步提高 12.某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲 和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小 块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙 试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小 块地上的每公顷产量(单位:kghm2)如下表: 品种甲|403397390404388400412406 品种乙419403412418408423400413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果, 你认为应该种植哪一品种? 附:样本数据x1,x2,…,mn的样本方差s2=_[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn x)2],其中x为样本平均数 解析:品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:x甲=(403+397 +390+404+388+400+412+406)=400, 2甲=32+(-32+(-10)2+42+(-12)2+02+122+621=575 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为
解析：(1) x ＝100＋ －12－17＋17－8＋8＋12 7 ＝100； y ＝100＋ －6－9＋8－4＋4＋1＋6 7 ＝100； ∴s 2数学＝ 994 7 ＝142，s 2物理＝ 250 7 ， 从而 s 2数学>s 2物理，所以物理成绩更稳定． (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系， ∴b ^ ＝ 497 994＝0.5，a ^ ＝100－0.5×100＝50， ∴线性回归方程为y ^ ＝0.5x＋50.当y ^ ＝115 时，x＝130. 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的 进一步提高． 12．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲 和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小 块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙． 试验时每大块地分成 8 小块，即 n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小 块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果， 你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据 x1，x2，…，xn 的样本方差 s2＝ 1 n [ (x1－x － )2＋(x2－x － )2＋…＋(xn －x － )2]，其中x － 为样本平均数． 解析：品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x 甲＝1 8 (403＋397 ＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400， s2 甲＝1 8 [32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：