延安大学：《数字信号处理》课程教学讲稿（DigitalSignal Processing，DSP）第2章 时域离散信号和系统的频域分析

H(e")=b(e-) 因此实序列的FT的实部是偶函数,虚部是奇函数,用公式表示为: Hr(elo)=hr(eo) H(e)=-H(e°) 其模的平方 H(e)=(-)+H(e") 是偶函数,相位函数 arg H(elo 是奇函数 偶函数h(m)、奇函数h(n)与h(n)之间的关系 实因果序列h(n)可表示为 h(n)=h(n)+h(n) 其中 x()2=[x(m)+x(-n)] [x(n)-x(-n) 因为是因果序列,是实序列,所以 h(0),n=0 h(m)=1h(n),n>0 (2.2.27) 2(-n),n<0 h(0),n=0 h(n)={(n),n>0 (2.2.28) 0

    j j * H e H e e     因此实序列的 FT 的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为：         j j R R j j I I H e H e H e H e          其模的平方       2 j j j 2 2 H e H e H e R I      是偶函数，相位函数       arg arg tan j I j j R H e H e H e                 是奇函数。  偶函数 h n e   、奇函数 h n o   与 h n  之间的关系 实因果序列 h n  可表示为 h n h n h n     e o     其中       1 * 2 e x n x n x n              1 * 2 o x n x n x n        因为是因果序列，是实序列，所以         0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 e h n h n h n n h n n               （2.2.27）         0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 o h n h n h n n h n n                （2.2.28）

即实因果序列可以分别用h(m)和h(n)表示为 h(n)=h()u4(m) (2.2.29) h(n)=b(m)u,(n)+h(0)(n) (2.2.30) 其中 n(m)={1.n=0 (2.2.31) 0,n<0 即:实因果序列完全可以仅由其偶序列统复。 例2.2.3x(n)=a"u(m),0<a<1。求其偶函数x(n)和奇函数x(n) (5)时域卷积定理 设 y(n=x(n)*h(n) Y(e")=x(e"),H(e") (2.2.32) 即:射于线性时不变系统,输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的 (6)频域卷积定理 设 则 H 即:在时减两序列相乘,转换到颜域服从卷积关系。 (7) Parseval定理

即实因果序列可以分别用 h n e   和 h n o   表示为 h n h n u n    e      （2.2.29） h n h n u n h n     o      0   （2.2.30） 其中   2, 0 1, 0 0, 0 n u n n n           （2.2.31） 即：实因果序列完全可以仅由其偶序列恢复。 例 2.2.3     n x n a u n  ，0<a<1。求其偶函数 x n e   和奇函数 x n o   。 （5）时域卷积定理 设 y n x n h n     *   ， 则       j j j Y e X e H e      （2.2.32） 即：对于线性时不变系统，输出的 FT 等于输入信号的 FT 乘以单位脉冲响应的 FT。 （6）频域卷积定理 设 y n x n x n         则             1 1 * 2 2 j j j j j Y e X e H e X e H e d                 （2.2.33） 即：在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。 （7）Paseval 定理

∑(o)=2Cxr)da (2.2.34) 即:信号的时域总能量等于频域总能量

    2 1 2 2 j n x n X e d            （2.2.34） 即：信号的时域总能量等于频域总能量

23周期序列的离散 Fourier级数及 Fourier变换表示式 由(22.2)可知,FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件, 即满足 ∑x(n)<∞ 周期序列一般不满足该条件,因此它的FT是不存在的。 又,由于周期函数可以展开为离散 Fourier级数。只要引入奇异函数o, 离散 Fourier级数可以表示为FT形式 2.3.1周期序列的离散 Fourier级数 1、周期序列的离散 Fourier级数 设c(m)是以N为周期的周期序列,则可以展开为 ()=∑ae (2.3.1) k=-∞ -J知 00<k<∞ (2.3.3) 由于已是周期函数,当k或者n变化时,其值作周期变化。即有 令x(k)=Na2,则有 X jr (k)=∑(n2,-0<k<∞ (2.3.4 该式中的x(k)也是一个以N为周期的周期序列,称为(m)的离散 Fourier级 K(DFS, Discrete Fourier Series) 相应地 (x)=1∑x(k (2.3.5) 式(2.3.4)和(2.3.5)称为一对DFS

2.3 周期序列的离散 Fourier 级数及 Fourier 变换表示式 由（2.2.2）可知，FT 成立的充要条件是序列 x n  满足绝对可和的条件， 即满足：   n x n      周期序列一般不满足该条件，因此它的 FT 是不存在的。 又，由于周期函数可以展开为离散 Fourier 级数。只要引入奇异函数  ， 离散 Fourier 级数可以表示为 FT 形式。 2.3.1 周期序列的离散 Fourier 级数 1、周期序列的离散 Fourier 级数 设 x n   是以 N 为周期的周期序列，则可以展开为   2 j kn N k k x n a e       （2.3.1）   1 2 0 1 , N j kn N k n a x n e k N             （2.3.3） 由于 2 j kn N e   是周期函数，当 k 或者 n 变化时，其值作周期变化。即有 k k lN a a   令 X k Na    k  ，则有     1 2 0 , N j kn N n X k x n e k              （2.3.4） 该式中的 X k   也是一个以 N 为周期的周期序列，称为 x n   的离散 Fourier 级 数（DFS,Discrete Fourier Series） 相应地     1 2 0 1 N j kn N n x n X k e N        （2.3.5） 式（2.3.4）和（2.3.5）称为一对 DFS

(2.3.5)表明:周期序列的频是离戲的率=Nk,k12… 幅度为X(k) 2、例题 例2.3.1设x(n)=R1(m),将x(m)以N8为周期进行周期延拓,求(n)的 2.3.2周期序列的 Fourier变换表示式 1、复指数序列的 Fourier变换 对于时域连续复指数函数x()=e",其 Fourier变换为 ()=Fr[x()]=e 即其 Fourier变换是在s2=g处的单位冲激函数,强度是2r

（2.3.5）表明：周期序列的频谱是离散的，频率 2 k k N    ，k=0,1,2,„，N-1, 幅度为   1 X k N  。 2、例题 例 2.3.1 设 x n R n    4   ，将 x n  以 N=8 为周期进行周期延拓，求 x n   的 DFS。 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.5 1 n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 n Abs(X) 2.3.2 周期序列的 Fourier 变换表示式 1、复指数序列的 Fourier 变换 对于时域连续复指数函数   0 j t a x t e   ，其 Fourier 变换为       0 0 2 j t j t X j FT x t e e dt a a                   （2.3.8） 即其 Fourier 变换是在   0 处的单位冲激函数，强度是 2