第一章测量不确定度及数据处理方法测量是科学实验、工农业生产、贸易以及日常生活中不可缺少的一项工作。当完成测量时，应当给出测量结果。一个完整的测量结果不仅要给出待测量的最佳估计值，而且还要给出测量结果的不确定度。这是目前国际上约定的做法，也是我国计量技术规范所要求的。本章在介绍测量与不确定度的相关概念及不确定度评定方法时，所依据参考文献为《测量不确定度表示导则》（简称GUM）1995版。1.1测量、误差及不确定度的基本概念1.量与量值（1）被测量作为测量对象的特定量。测量前首先要对被测的特定量作明确说明，也就是对被测量进行定义。实际上，被测量定义的详细程度是依据所要求的测量准确度而定的。（2）【量的］真值与给定的特定量定义一致的量值。其中“量值”是指一个数乘以计量单位。①尽管真值的定义总是不完善的，因而真值不是唯一的，只存在与定义一致的一组真值，但是当被测量的定义引入的不确定性可以忽略时，认为真值是“实际惟一”的。在物理实验中，我们通常认为真值是惟一的。②真值是一个理想的概念，尽管它是客观地实际存在的，但通常是不可知的，只有在少数特殊情况下，我们能知道被测量的真值，例如三角形的内角之和的理论真值是180°。③真值具有近似可知性，也正因为如此，才使测量有意义。（3）【量的］约定真值对于给定目的、具有适当不确定度的、赋予特定量的值。约定真值仅是真值的估计值有时是约定采用的，有时是由测量标准确定而赋予被测量的值，所以也称为指定值、标准值、参考值等。2.测量与测量结果（1）测量测量的定义：以确定量值为目的的一组操作。测量的目的就是要确定被测量的值，也就是要确定被测量的“真值”。由于实际的测量都不可能是非常完善的，因而通过测量赋予被测量的值只能是真值的一个估计值，即测量结果。②测量是一个过程，任何测量过程都包含五个要素：被测对象、测量方法、测量设备、测量环境、测量人员。③测量方法按不同分类方式有多种类型，这里只介绍两种常用的分类方式按测量值获得的方法不同，可分为直接测量和间接测量。直接测量的数学模型为Y=X，直接测量可以是单次测量，也可以是多次测量。间接测量的数学模型为Q=f(X,Y…Z)，式中Q为间接测量量，也称为输出量；-1-
- 1 - 第一章 测量不确定度及数据处理方法 测量是科学实验、工农业生产、贸易以及日常生活中不可缺少的一项工作。当完成测量 时，应当给出测量结果。一个完整的测量结果不仅要给出待测量的最佳估计值，而且还要给 出测量结果的不确定度。这是目前国际上约定的做法，也是我国计量技术规范所要求的。本 章在介绍测量与不确定度的相关概念及不确定度评定方法时，所依据参考文献为《测量不确 定度表示导则》（简称 GUM）1995 版。 1.1 测量、误差及不确定度的基本概念 1. 量与量值 （1）被测量 作为测量对象的特定量。 测量前首先要对被测的特定量作明确说明，也就是对被测量进行定义。实际上，被测量 定义的详细程度是依据所要求的测量准确度而定的。 （2）［量的］真值 与给定的特定量定义一致的量值。其中“量值”是指一个数乘以计量单位。 ① 尽管真值的定义总是不完善的，因而真值不是唯一的，只存在与定义一致的一组真 值，但是当被测量的定义引入的不确定性可以忽略时，认为真值是“实际惟一”的。在物理 实验中，我们通常认为真值是惟一的。 ② 真值是一个理想的概念，尽管它是客观地实际存在的，但通常是不可知的，只有在 少数特殊情况下，我们能知道被测量的真值，例如三角形的内角之和的理论真值是 180 。 ③ 真值具有近似可知性，也正因为如此，才使测量有意义。 （3）［量的］约定真值 对于给定目的、具有适当不确定度的、赋予特定量的值。约定真值仅是真值的估计值， 有时是约定采用的，有时是由测量标准确定而赋予被测量的值，所以也称为指定值、标准值、 参考值等。 2. 测量与测量结果 （1）测量 测量的定义：以确定量值为目的的一组操作。 ① 测量的目的就是要确定被测量的值，也就是要确定被测量的“真值”。由于实际的测 量都不可能是非常完善的，因而通过测量赋予被测量的值只能是真值的一个估计值，即测量 结果。 ② 测量是一个过程，任何测量过程都包含五个要素：被测对象、测量方法、测量设备、 测量环境、测量人员。 ③ 测量方法按不同分类方式有多种类型，这里只介绍两种常用的分类方式： 按测量值获得的方法不同，可分为直接测量和间接测量。 直接测量的数学模型为 Y = X ，直接测量可以是单次测量，也可以是多次测量。 间接测量的数学模型为 Q = f (X,Y, ,Z ) ，式中 Q 为间接测量量，也称为输出量；
X,Y,Z是各直接测量量，也称为输入量。按测量条件的不同分为等精度测量和不等精度测量。等精度测量指测量的五个要素即测量对象、测量方法、测量设备、测量环境、测量人员均不发生改变的条件下多次重复测量：等精度测量又称为重复性测量。它是一个理想的概念，实际上的等精度测量是指各要素在测量过程中不发生显著变化。也正是由于这种不显著的微小变化导致各次测量值不尽相同。不等精度测量是指五个测量要素中除被测对象不能改变外，其他四个因素的任何一个发生改变所进行的测量。不等精度测量又称为复现性测量。（2）测量结果由测量所得到的赋予被测量的值。①测量结果仅是被测量的估计值：②对于直接多次测量，测量结果就是所测得的多个测量值的平均值.数学上可以证明，算术平均值是真值的最佳估计值：对于单次直接测量，其测量结果也只能是仅有的这个测量值；对于间接测量，测量结果是由各直接测量结果根据函数关系计算而得到的值。③由于测量结果仅仅是被测量真值的一个估计值，在表达测量结果时，必须给出它的不确定度（不确定度概念后面会进行讨论）。④有些时候还应说明，所给测量结果是未修正的测量结果还是已修正的测量结果。3.误差与修正值（1）误差：测量结果与被测量的真值之差称为测量误差，简称为误差。用公式表示如下：误差=测量结果一真值。误差有两种表示形式：绝对误差一测量结果一真值相对误差三绝对误差/真值①由于真值未知，所以也无法获得误差。因而，误差只是一个理想的概念，一般不用测量误差描述测量结果。②当用约定真值代替真值时，可得到误差的估计值而不是准确的误差。用公式表示为：误差估计值一测量结果一约定真值它反映了测量结果偏离参考值的程度，误差估计值存在正、负之分。获得测量误差估计值的自的是为了对测量结果进行修正。（2）系统误差：系统误差是在重复测量中保持不变或按可预见的方式变化的测量误差分量。它是在重复性条件下，对同一被测量进行无穷多次测量所得测量值的平均值（期望值）与被测量的真值之差。用公式表示为：系统误差ε=期望值μ-真值xo系统误差也是一个理想化的术语。只有当用约定真值代替真值，用期望值的估计值代替期望值时，可得到系统误差的估计值。获得了系统误差的估计值就可以对测量结果进行修正。此外，分析系统误差产生的原因并采取适当的措施可以减小或消除系统误差。（3）随机误差：在重复性测量中按不可预见的方式变化的测量误差的分量。它是测量结果与在重复性条件下对同一被测量进行无穷多次测量所得结果的平均值（即期望值）之差。用公式表示为：随机误差8=测量结果≤一期望值A由于期望值Ⅱ是一个理想的概念，所以每一个测量结果的随机误差就无法确定，通常随机误差服从一种概率分布，并且期望值为零。所以可以通过增加观测次数来减小随机误-2-
- 2 - X,Y, ,Z 是各直接测量量，也称为输入量。 按测量条件的不同分为等精度测量和不等精度测量。等精度测量指测量的五个要素即测 量对象、测量方法、测量设备、测量环境、测量人员均不发生改变的条件下多次重复测量； 等精度测量又称为重复性测量。它是一个理想的概念，实际上的等精度测量是指各要素在测 量过程中不发生显著变化。也正是由于这种不显著的微小变化导致各次测量值不尽相同。不 等精度测量是指五个测量要素中除被测对象不能改变外，其他四个因素的任何一个发生改变 所进行的测量。不等精度测量又称为复现性测量。 （2）测量结果 由测量所得到的赋予被测量的值。 ① 测量结果仅是被测量的估计值； ② 对于直接多次测量,测量结果就是所测得的多个测量值的平均值.数学上可以证明, 算术平均值是真值的最佳估计值；对于单次直接测量，其测量结果也只能是仅有的这个测量 值；对于间接测量，测量结果是由各直接测量结果根据函数关系计算而得到的值。 ③ 由于测量结果仅仅是被测量真值的一个估计值，在表达测量结果时，必须给出它的 不确定度（不确定度概念后面会进行讨论）。 ④ 有些时候还应说明,所给测量结果是未修正的测量结果还是已修正的测量结果。 3. 误差与修正值 （1）误差：测量结果与被测量的真值之差称为测量误差，简称为误差。用公式表示如下： 误差=测量结果－真值。 误差有两种表示形式： 绝对误差＝测量结果－真值 相对误差＝︱绝对误差︱/真值 ① 由于真值未知，所以也无法获得误差。因而，误差只是一个理想的概念，一般不用 测量误差描述测量结果。 ② 当用约定真值代替真值时，可得到误差的估计值而不是准确的误差。用公式表示为： 误差估计值＝测量结果－约定真值 它反映了测量结果偏离参考值的程度，误差估计值存在正、负之分。获得测量误差估计值的 目的是为了对测量结果进行修正。 （２）系统误差：系统误差是在重复测量中保持不变或按可预见的方式变化的测量误差分 量。它是在重复性条件下，对同一被测量进行无穷多次测量所得测量值的平均值（期望值） 与被测量的真值之差。用公式表示为： 系统误差 ＝期望值 －真值 0 x 系统误差也是一个理想化的术语。只有当用约定真值代替真值，用期望值的估计值代替期望 值时，可得到系统误差的估计值。获得了系统误差的估计值就可以对测量结果进行修正。 此外，分析系统误差产生的原因并采取适当的措施可以减小或消除系统误差。 （3）随机误差：在重复性测量中按不可预见的方式变化的测量误差的分量。它是测量结 果与在重复性条件下对同一被测量进行无穷多次测量所得结果的平均值（即期望值）之差。 用公式表示为： 随机误差 ＝测量结果 x －期望值 由于期望值 是一个理想的概念，所以每一个测量结果的随机误差就无法确定，通常 随机误差 服从一种概率分布，并且期望值为零。所以可以通过增加观测次数来减小随机误
差。随机误差具有以下几个性质。抵偿性：设多次测量出现的随机误差为，8，limZ8,=0n-y=l单峰性：即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。有界性：误差的绝对值不会超过某一范围。[8,≤0max对称性：绝对值相等而符号相反的误差出现的概率相同。由此得出结论：随机误差服从截尾正态分布，如图1.1.1所示。随机误差产生的原因为多种因素的共同作用，这些因素包括前面提到的方法、人员、环境、仪器以及被测对象等等，其中每一因素对测量结果的影响可能并不大，但众多因素的总和则将产生明显的影响，随机误差除服从统计规律外，无其他确定的规律。因此，随机误差不能修正。值得提出的是，对于超出规定条件下预期的误差，通常称作粗大误差，它是由于实验者粗心大意或操作不当造成的一种人为误差，含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值。粗大误差实质上是一种差错，它不属于测量误差，应在数据处理时予以剔除。(8)468.3%+03030-2910029图1.1.1正态截尾图图1.1.1正态截尾图测量误差△，系统误差6，随机误差8三者都是理想的概念，不可能通过测量得到它们的准确值，三者的关系可以表示为△=6+8，用图1.1.2表示如下：测量误差△系统误差：随机误差8真值xo测量结果x期望值1图1.1.2系统误差与随机误差的关系图（4）修正值-3-
- 3 - 差。 随机误差具有以下几个性质。 抵偿性：设多次测量出现的随机误差为 1， 2 ，.， n ， lim 0 1 = = → n i i n 单峰性：即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。 有界性：误差的绝对值不会超过某一范围。 i max 对称性：绝对值相等而符号相反的误差出现的概率相同。 由此得出结论：随机误差服从截尾正态分布，如图1.1.1所示。 随机误差产生的原因为多种因素的共同作用，这些因素包括前面提到的方法、人员、环 境 、仪器以及被测对象等等，其中每一因素对测量结果的影响可能并不大，但众多因素的 总和则将产生明显的影响，随机误差除服从统计规律外，无其他确定的规律。因此，随机误 差不能修正。 值得提出的是，对于超出规定条件下预期的误差，通常称作粗大误差，它是由于实验者 粗心大意或操作不当造成的一种人为误差，含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值。粗大 误差实质上是一种差错，它不属于测量误差，应在数据处理时予以剔除。 图 1.1.1 正态截尾图 测量误差 ，系统误差 ，随机误差 三者都是理想的概念，不可能通过测量得到它们 的准确值，三者的关系可以表示为 = + ，用图 1.1.2 表示如下： 图 1.1.2 系统误差与随机误差的关系图 （4）修正值
修正值等手负的系统误差的估计值。将修正值与测量结果相加，是为了在很大程度上减小系统误差。由于修正值只是负的系统误差的估计值，而不完全等于负的系统误差，因而经过修正后的测量结果仍含有一个比较小的未知的系统误差。（5）对测量结果质量的定性描述：准确度与精密度。［测量］准确度定义为：测量结果与被测量的真值之间的一致程度。有时也称为精确度。测量准确度只是对测量误差（包括系统误差与随机误差）的一个定性描述。准度度只有高低之分，没有具体的数值大小之分，测量一精密度定义为：在规定条件下，对同一个被测对象重复测量所得的测量结果间的一致程度。测量精密度也只是一个定性的概念。这里要说明的是，人们在习惯中经常使用的“测量精度”一词有时指精确度（即准确度），有时指精密度，比较含混，所以建议不再使用1]。4.测量不确定度的概念（1）测量不确定度表征测量结果的分散性，与测量结果相联系的参数。下面利用实验结果的一种表达形式来说明不确定度的含意。设物理量Y的测量结果表达为Y=(y+U)，其中U=ku)上式中y为测量结果，U为不确定度，是一个恒正的值，上式给出的是一个区间[y-U,y+U]，这个结果表达的含意是，被测量Y的真值以某一概率落入上述区间。因而不确定度U可以理解为“表征被测量的真值所处的量值范围的估计”，这正是国际通用计量学基本术语1984版本中对不确定度的定义。由于这个定义着眼于不可知的量一一真值，因而现在不用了，但用于理解不确定度含意却相对容易些。而GUM对不确定度的新定义着眼的是被测量Y的测量值。由于各种因素的影响，Y的测量值呈现一种概率分布，而测量值的分散性是用随机变量Y的概率分布的标准偏差uc)来表征的。u)=U/k，其中k通常取2～3之间的一个数。后面会说明U和uG)是两种不同形式的不确定度。（2）标准不确定度以标准偏差表示的测量不确定度，其符号用u来表示。对每个不确定度来源评定的标准偏差，称为标准不确定度分量，用u，表示。标准不确定度的分量有两类评定方法：A类评定和B类评定。A类标准不确定度：对于一系列测量值，用统计分析的方法进行不确定度评定得到的标准不确定度。用符号u表示。A类标准不确定度用实验标准偏差来定量表征。B类标准不确定度：用非统计方法进行不确定度评定，得到的标准不确定度。用符号UB表示。B类标准不确定度用估计的标准偏差定量表征。（3）合成标准不确定度-4-
- 4 - 修正值等于负的系统误差的估计值。 将修正值与测量结果相加，是为了在很大程度上减小系统误差。由于修正值只是负的系 统误差的估计值，而不完全等于负的系统误差，因而经过修正后的测量结果仍含有一个比较 小的未知的系统误差。 （5）对测量结果质量的定性描述：准确度与精密度。 ［测量］准确度定义为：测量结果与被测量的真值之间的一致程度。有时也称为精确度。 测量准确度只是对测量误差（包括系统误差与随机误差）的一个定性描述。准度度只有高低 之分，没有具体的数值大小之分。 ［测量］精密度定义为：在规定条件下，对同一个被测对象重复测量所得的测量结果间 的一致程度。测量精密度也只是一个定性的概念。 这里要说明的是，人们在习惯中经常使用的“测量精度”一词有时指精确度（即准确度）， 有时指精密度，比较含混，所以建议不再使用［1］。 4. 测量不确定度的概念 （１）测量不确定度 表征测量结果的分散性，与测量结果相联系的参数。 下面利用实验结果的一种表达形式来说明不确定度的含意。设物理量 Y 的测量结果表 达为 Y = (y U )， 其中 ( y ) U = ku 上式中 y 为测量结果， U 为不确定度，是一个恒正的值，上式给出的是一个区间 y −U, y +U ，这个结果表达的含意是，被测量 Y 的真值以某一概率落入上述区间。因而 不确定度 U 可以理解为“表征被测量的真值所处的量值范围的估计”，这正是国际通用计量 学基本术语１９８４版本中对不确定度的定义。由于这个定义着眼于不可知的量——真值， 因而现在不用了，但用于理解不确定度含意却相对容易些。而 GUM 对不确定度的新定义着 眼的是被测量 Y 的测量值。由于各种因素的影响， Y 的测量值呈现一种概率分布，而测量 值的分散性是用随机变量 Y 的概率分布的标准偏差 u( y ) 来表征的。 ( ) u U k y = ，其中 k 通常 取２～３之间的一个数。后面会说明 U 和 u( y ) 是两种不同形式的不确定度。 （２）标准不确定度 以标准偏差表示的测量不确定度，其符号用 u 来表示。对每个不确定度来源评定的标准 偏差，称为标准不确定度分量，用 ui 表示。 标准不确定度的分量有两类评定方法：A 类评定和Ｂ类评定。 A 类标准不确定度：对于一系列测量值，用统计分析的方法进行不确定度评定得到的标 准不确定度。用符号 uA 表示。A 类标准不确定度用实验标准偏差来定量表征。 B 类标准不确定度：用非统计方法进行不确定度评定，得到的标准不确定度。用符号 uB 表示。B 类标准不确定度用估计的标准偏差定量表征。 （３）合成标准不确定度
由各标准不确定度分量合成得到的标准不确定度，用符号u。来表示。合成的方法称为测量不确定度传播律（传递律），由国际文件统一规定。合成标准不确定度也可以用相对形式u.（g)/q来表示，称为相对不确定度，有时也用符号ure或u,表示。（4）扩展不确定度扩展不确定度由合成标准不确定度的倍数得到，用符号U表示。即U=ku。，其中k称为包含因子（在数理统计中k称为置信因子），通常k的取值在2～3之间。扩展不确定度在使用时分为两种情况，即U与U，，这里U=kuc，U,=k,u。。Y=y土U说明Y的真值以较高的概率落入区间[y-U,y+U]，具体的概率值并未说明Y=y±U说明Y的真值以概率p落入区间ly-U,y+U,」，此时p称为包含概率（在数理统计中称为置信概率)。若p=95%时U,可写作Us，同样当p=99%时U，可写作U9，这都是规定的表示形式。区间v-U,,y+U,称为统计包含区间，U，就是该区间的半宽度。【阅读材料】对不确定度概念的几点说明测量不确定度是测量结果表达时必不可少的一个参数，由于以前长期将“确定的误差”与“可能的误差”相混淆来描述测量结果，加之对不确定度概念的正确理解和使用还处于推行阶段。这里有必要对测量不确定度概念再做儿点必要的说明①在统计学中，标准偏差作为随机变量的一个数字特征，用来描述随机变量取值的分散性。当测量结果为单次测量值时，随机变量就是直接测量的待测量X；当测量结果以多次测量的平均值表示时，随机变量就是X=之X：当待测量为间接测量量时，随机变量n=l就是Q=F(X,Y,Z)，这三种情况下，分别用标准偏差的估计值u(x)，u(x)，u(a)来描述X，X，Q的取值的分散性。由此就可以理解，单次测量值也是有分散性的，也就是说，以单次测量值作为测量结果时也是有不确定度的。②测量不确定度的来源主要与测量的五个要素有关，每个测量因素或其不同的组合都会影响测量不确定度，因而不确定度通常可能有多个分量。在评定这些分量时不区分其性质，只关心评定的方法，因而也就不存在“随机不确定度”和“系统不确定度”这样的说法。③在使用不确定时分为两种情形。第一种情形是：不带形容词的测量不确定度用于一般概念和定性描述；第二种情形是带形容词的测量不确定度，包括：标准不确定度、合成不确定度和扩展不确定度，用于对测量结果的不确定度进行定量的描述。④测量误差与测量不确定度的主要区别：测量不确定度是经典的误差理论的产物，使用-5-
- 5 - 由各标准不确定度分量合成得到的标准不确定度，用符号 uc 来表示。合成的方法称为 测量不确定度传播律（传递律），由国际文件统一规定。 合成标准不确定度也可以用相对形式 uc (q) q 来表示，称为相对不确定度，有时也用 符号 urel 或 ur 表示。 （４）扩展不确定度 扩展不确定度由合成标准不确定度的倍数得到，用符号 U 表示。即 c U = ku ，其中 k 称 为包含因子（在数理统计中 k 称为置信因子），通常 k 的取值在 2～3 之间。 扩展不确定度在使用时分为两种情况，即 U 与 Up ，这里 c U = ku ， p puc U = k 。 Y = y U 说明 Y 的真值以较高的概率落入区间 y −U, y +U ，具体的概率值并未说明， U p Y = y 说明 Y 的真值以概率 p 落入区间 p Up y −U , y + ，此时 p 称为包含概率（在数 理统计中称为置信概率）。若 p = 95% 时 Up 可写作 U95 ，同样当 p = 99% 时 Up 可写作 U99， 这都是规定的表示形式。区间 p Up y −U , y + 称为统计包含区间， Up 就是该区间的半宽度。 【阅读材料】对不确定度概念的几点说明 测量不确定度是测量结果表达时必不可少的一个参数，由于以前长期将“确定的误差” 与“可能的误差”相混淆来描述测量结果，加之对不确定度概念的正确理解和使用还处于推 行阶段。这里有必要对测量不确定度概念再做几点必要的说明。 ① 在统计学中，标准偏差作为随机变量的一个数字特征，用来描述随机变量取值的分 散性。当测量结果为单次测量值时，随机变量就是直接测量的待测量 X ；当测量结果以多 次测量的平均值表示时，随机变量就是 = = n i Xi n X 1 1 ；当待测量为间接测量量时，随机变量 就是 Q = f (X ,Y, Z ) ，这三种情况下，分别用标准偏差的估计值 (x ) u ，u(x ) ，u(q) 来描述 X ， X ，Q 的取值的分散性。由此就可以理解，单次测量值也是有分散性的，也就是说， 以单次测量值作为测量结果时也是有不确定度的。 ② 测量不确定度的来源主要与测量的五个要素有关，每个测量因素或其不同的组合都 会影响测量不确定度，因而不确定度通常可能有多个分量。在评定这些分量时不区分其性质， 只关心评定的方法，因而也就不存在“随机不确定度”和“系统不确定度”这样的说法。 ③ 在使用不确定时分为两种情形。第一种情形是：不带形容词的测量不确定度用于一 般概念和定性描述；第二种情形是带形容词的测量不确定度，包括：标准不确定度、合成不 确定度和扩展不确定度，用于对测量结果的不确定度进行定量的描述。 ④测量误差与测量不确定度的主要区别:测量不确定度是经典的误差理论的产物，使用