状态能控性的定义对上述状态能控性的定义有如下讨论：1.控制时间[to,t,1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。，对时变系统,控制时间的长短,即t,-t.的值,与初始时刻t.有关。，对于定常系统,该控制时间与t.无关。所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控”,而为“某一时刻状态完全能控，则系统状态完全能控T·即若逻辑关系式3toeT Vx(to) 3tieTo(ti>to) 3u(t) (te[to,til)(x(t1)=0)为真,则称线性定常连续系统Z(A,B)状态完全能控0
状态能控性的定义 • 对上述状态能控性的定义有如下讨论: 1. 控制时间[t0 ,t1]是系统状态由初始状态转移到 原点所需的有限时间。 • 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时 刻t0有关。 • 对于定常系统,该控制时间与t0无关。 所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义 中强调“在所有时刻状态完全能控” ,而为“某 一时刻状态完全能控,则系统状态完全能控”。 • 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T(t1>t0) u(t) (t[t0 ,t1]) (x(t1)=0) 为真,则称线性定常连续系统(A,B)状态完全能控
状态能控性的定义2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是的分段连续函数，则状态方程存在唯一解。u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。3. 在状态能控性定义中,对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件，在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间,因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析
状态能控性的定义 2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只 要能使状态方程的解存在即可。 • 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都 是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 • u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。 3. 在状态能控性定义中,对输入u(t)和状态x(t) 所处的空间都没有加任何约束条件。 • 在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不 为无限制条件的线性空间,因此上述能控性的定义 对工程实际系统还需作具体的分析
线性定常连续系统的状态能控性判据4.1.3线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式，下面分别讨论常用的一代数判据和一模态判据福
线性定常连续系统的状态能控性判据 4.1.3 线性定常连续系统的状态能控性判别 • 线性定常连续系统状态能控性判据有许多不 同形式,下面分别讨论常用的 – 代数判据和 – 模态判据
代数判据一代数判据定理1.代数判据定理4-1（线性定常连续系统能控性秩判据线性定常连续系统Z(A,B)状态完全能控的充要条件为下述条件之一成立：1.矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立,即不存在非零常数向量feRn,使得fte-AtB=02.如下定义的能控性矩阵Qc=[BAB...An-1B]满秩,即ABAn-1B]=nrankQc=rank[B
代数判据—代数判据定理 1. 代数判据 • 定理4-1(线性定常连续系统能控性秩判据) 线性定常连续系统(A,B)状态完全能控的 充要条件为下述条件之一成立: 1. 矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立,即不存在 非零常数向量fRn ,使得 f e -AtB0 2. 如下定义的能控性矩阵 Qc=[B AB . An-1B] 满秩,即 rankQc=rank[B AB . An-1B]=n □
代数判据（2/18）一代数判据定理证明证明在证明能控性判据之前，下面首先证明线性定常系统状态完全能控等价于下述方程对任意的初始状态x(O)有控制输入u(t)的-x(O) = (" e-At Bu(t)dt解。证明如下：√对于线性定常系统,由能控性定义可知,其状态能控性与初始时刻无关。因此,不失一般性,可设初始时刻t为0。根据第3章中状态方程解的表达式,有x(t)=e4t x(O)+ [' e4(t-T) Bu(t)dT
➢ 证明如下: ✓ 对于线性定常系统,由能控性定义可知,其状态能控性 与初始时刻无关。 ✓ 因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。 ✓ 根据第3章中状态方程解的表达式,有 代数判据(2/18)—代数判据定理证明 • 证明 在证明能控性判据之前,下面首先证明 线性定常系统状态完全能控等价于下述方程 对任意的初始状态x(0)有控制输入u(t)的 解。 − − = 1 0 (0) ( )d t A B x e u − = + 1 1 1 0 ( ) ( 1 ) (0) ( )d t At A t t B x e x e u