能控性的直观讨论·例：给定系统的状态空间模型为x = -2x +x2 + ux = x -2x +u口 由该状态方程可知,状态变量xi(t)和x(t)都可由输入u单独控制可以说,x;(t)和xi(t)都是单独能控的。》对该状态方程求解后可得xi(t)-x2(t)=e-3[xi(0)-x2(0)]即状态x;(t)和x;(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值
能控性的直观讨论 • 例： 给定系统的状态空间模型为 = − + = − + + x x x u x x x u 2 1 2 1 1 2 2 2 由该状态方程可知,状态变量x1 (t)和x2 (t)都可由输入u单独控制, ✓ 可以说,x1 (t)和x1 (t)都是单独能控的。 ➢ 对该状态方程求解后可得 x1 (t)-x2 (t)=e-3t [x1 (0)-x2 (0)] 即状态x1 (t)和x1 (t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值
能控性的直观讨论因此,Xi(t)和x,(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态，只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。所以,虽然状态xi(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并不能控。对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。一下面将通过给出状态能控性的严格定义来导出判定系统能控性的充要条件
能控性的直观讨论 • 因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到 零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状 态方程解所规定的状态空间中的曲线上。 • 所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个 系统并不能控。 • 对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性 是困难的。 – 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出 判定系统能控性的充要条件
状态能控性的定义4.1.2状态能控性的定义·由状态方程x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及其第3章的状态方程求解公式可知一状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。一 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关对线性连续系统，我们有如下状态能控性定义
状态能控性的定义 4.1.2 状态能控性的定义 • 由状态方程 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知, – 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之 后的输入,与输出y(t)无关。 – 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t) 能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状 态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。 • 对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义
状态能控性的定义一能控性定义X2口定义4-1若线性连续系统x(to)x(to)x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)对初始时刻to(toET,T为时间定义域)和初始状态x(to),/ 存在另一有限时刻ti(t,>to,tie T),xix(to)可以找到一个控制量u(t),能在有限时间[to,t,]内把系统状态从初始状态x(t)控制到原点,即x(t,)=0则称to时刻的状态x(to)能控;一 若对t.时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在to时刻状态完全能控;
状态能控性的定义—能控性定义 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0, 则称t0时刻的状态x(t0)能控; – 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则 称系统在t0时刻状态完全能控; ❑ 定义4-1 若线性连续系统 x ’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) ➢ 对初始时刻t0 (t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0 ), ✓ 存在另一有限时刻t1 (t1>t0 ,t1T), ✓ 可以找到一个控制量u(t), ✓ 能在有限时间[t0 ,t1 ]内把系统状 x2 0 x1 x(t0) x(t0) x(t0)
状态能控性的定义一能控性定义一若系统在所有时刻状态完全能控，则称系统状态完全能控,简称为系统能控。即，若逻辑关系式VtoeT Vx(to) 3tieT(ti>to) 3u(t)n(te[to,ti])(x(t1)=0)为真,则称系统状态完全能控。一 若存在某个状态x(to)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的，简称系统为状态不能控，即,若逻辑关系式toeT 3x(to) VtieT Vu(t)(ti>to)n(te[to,til)n(x(t1)+0)为真，则称系统状态不完全能控
状态能控性的定义—能控性定义 – 若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态 完全能控,简称为系统能控。 • 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T(t1>t0) u(t)(t[t0 ,t1]) (x(t1)=0) 为真,则称系统状态完全能控。 – 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系 统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。 • 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T u(t) (t1>t0)(t[t0 ,t1])(x(t1)0) 为真,则称系统状态不完全能控