代数判据一代数判据定理证明由能控性的定义有,若能控,则应存在t,(t,>0)和分段连续的u(t),使得x(t,)=0,即O = eAix(O)+ [" e4(t-t) Bu(t)dt即-x(O) = [" e-At Bu(t)dt／因此,线性定常系统状态能控的充必条件为：*上述方程对任意的x(O)有输入u(t)的解。口下面将利用该方程分别证明判别状态能控性的上述两个充要条件
代数判据—代数判据定理证明 • 由能控性的定义有,若能控,则应存在t1(t1>0)和分 段连续的u(t),使得x(t1)=0,即 − = + 1 1 1 0 ( ) 0 (0) ( )d t At A t B e x e u 即 1 0 (0) ( )d t A B − − = x e u ✓ 因此,线性定常系统状态能控的充必条件为: ❖ 上述方程对任意的x(0)有输入u(t)的解。 ❑ 下面将利用该方程分别证明判别状态能控性的上述两个充要 条件
代数判据（1）先证明条件1。先证充分性(条件一结论)。一即证明,若e-AtB的各行函数线性独立,则系统状态能控。一 用反证法证明。·设状态不能控,但e-AtB的各行函数线性独立。一充分性反证法的思路为与假存在状态状态不能控能控子空间e-AtB的设矛空间中的为状态空间各行函盾，充的维数小于非零向量数线性分性n的线性子垂直于能相关得证空间控子空间
代数判据 (1) 先证明条件1。 – 先证充分性(条件结论)。 • 即证明,若e-AtB的各行函数线性独立,则系统状态能 控。 – 用反证法证明。 • 设状态不能控,但e-AtB的各行函数线性独立。 – 充分性反证法的思路为: 状 态 不 能 控 能控子空间 为状态空间 的维数小于 n的线性子 空间 存在状态 空间中的 非零向量 垂直于能 控子空间 e -AtB的 各行函 数线性 相关 与假 设矛 盾,充 分性 得证
代数判据（5/18）证明过程：状态不能控,则意味状态能控子空间(可证明为线性空间）R。 = (0)-x(0) = f'e-Ar Bu(t)dt, Vt >0, Vu(t) = Rr比状态空间Rn小,属于Rn空间的一个子空间,其维数小于n对维数小于n的能控子空间R。一定存在一个n维的非零向量feRn,且在n维线性空间中与R.垂直(或称正交),即fx(O)=0 Vx(O)e R因此,由R,的定义,可得f" f’e-At Bu(t)dt =0 Vt, >0, Vu(t)= R
代数判据(5/18) 证明过程: ➢ 状态不能控,则意味状态能控子空间(可证明为线性空间) = − = − r t A c R ( ) ( ) B ( )d , t 1 0, (t) R 0 1 x 0 x 0 e u u 比状态空间Rn小,属于Rn空间的一个子空间,其维数小于n。 ➢ 对维数小于n的能控子空间Rc ,一定存在一个n维的非零向 量fRn ,且在n维线性空间中与Rc垂直(或称正交),即 f x(0)=0 x(0) Rc 因此,由Rc的定义,可得 r t A f B = t t R − ( )d 0 0, ( ) 1 0 1 e u u
代数判据上式对于任意时间t,和任意r维空间中的输入向量u(t)都恒成立，则有fte-AtB=0Vtz0对非零向量f.上式恒成立则意味着e-AtB的各行函数线性相关。这与前面的假设产生矛盾,故原假定状态不能控,但e-AtB的各行函数线性独立是不成立的。因此,充分性得证
代数判据 ➢ 上式对于任意时间t1和任意r维空间中的输入向量u(t)都恒 成立,则有 f e -AtB0 t0 ➢ 对非零向量f,上式恒成立则意味着e -AtB的各行函数线性相 关。 ➢ 这与前面的假设产生矛盾,故原假定状态不能控,但e -AtB的 各行函数线性独立是不成立的。因此,充分性得证
代数判据一 再证必要性(结论一条件)。即证明,若系统状态能控,则e-AtB的各行函数线性独立。一 用反证法证明。?。设e-AtB的各行函数线性相关,但状态能控。一必要性反证法的思路为存在非零常能控婴舒鞋e-AtB的状态数向量与空间不完各行函e-AtB垂直，的维福全能数线性数小即与能控控相关得证于n子空间垂直
代数判据 – 再证必要性(结论条件)。 • 即证明,若系统状态能控,则e-AtB的各行函数线性独 立。 – 用反证法证明。 • 设e-AtB的各行函数线性相关,但状态能控。 – 必要性反证法的思路为: e -AtB的 各行函 数线性 相关 存在非零常 数向量与 e -AtB垂直, 即与能控 子空间垂直 能控 空间 的维 数小 于n 状态 不完 全能 控 与假 设矛 盾,必 要性 得证