(20-8) 等价于 2=,=1 (20-9) 可以证明，在H。成立的条件下，如果样本量较大，Z近似地服从标准正态分布N(0,), x2近似地服从自由度为1的x2分布。 2.回归系数的区间估计 己知b的抽样分布近似地服从正态分布，根据正态分布理论，总体回归系数B的(1-α) 置信区间为b±Z.12S。,则OR的估计值为e,(I-a)置信区间为 e(bZanS,) (20-10) 3.实例：假设检验和参数估计（基于SAS的输出） (1)关于模型的似然比检验 模型中仅有常数项（回归系数B=0)时，nL。=6413.618,加入自变量X后， hL,=6150.751,似然比统计量 G=2nL1-nL)=2(-6150.751)-(-6413.618)=525.733 P<0.0001,拒绝H。,可以认为所建立的ogistic回归方程是有意义的。 (2)关于参数的Wa1d检验及OR的置信区间 表20-2参数估计、Wald检验和OR 变量参数估计值 OR95%置信区 S。Waldx2P值 OR 名 b 间 常数 -1.41170.03062132.7414<0.0001 项 X1.00300.0440518.6950<0.00012.7272.501-2.972 由表20-2，b。=-1.4117,b=1.0030,可以立即写出l0 gistic回归方程 =-147+100x
Sb b Z − 0 = （20-8） 等价于 2 2 ( ) Sb b = ， =1 （20-9） 可以证明，在 H0 成立的条件下，如果样本量较大， Z 近似地服从标准正态分布 N(0,1) ， 2 近似地服从自由度为 1 的 2 分布。 2. 回归系数的区间估计 已知 b 的抽样分布近似地服从正态分布，根据正态分布理论，总体回归系数 的 (1−) 置信区间为 b Z / 2 Sb ，则 OR 的估计值为 b e ，(1−) 置信区间为 ( ) b Z / 2 Sb e （20-10） 3．实例：假设检验和参数估计（基于SAS的输出） （1）关于模型的似然比检验 模型中仅有常数项（回归系数 = 0 ）时， ln L0 = −6413.618 ，加入自变量 X 后， ln L1 = −6150.751，似然比统计量 G = 2(ln L1 − ln L0 ) = 2[(−6150.751) − (−6413.618)] = 525.733 P <0.0001，拒绝 H0 ，可以认为所建立的 logistic 回归方程是有意义的。 （2）关于参数的Wald检验及 OR 的置信区间 表20-2 参数估计、Wald检验和 OR 变量 名 参数估计值 b b S Wald 2 P 值 OR OR 95%置信区 间 常数 项 -1.4117 0.0306 2132.7414 <0.0001 X 1.0030 0.0440 518.6950 <0.0001 2.727 2.501~2.972 由表 20-2，b0 = −1.4117 ，b =1.0030 ，可以立即写出 logistic 回归方程 X p p ) 1.4117 1.0030 1 ln( = − + −
e-1411741.0030x) p=1+e-14mLo0西 左端我们写的是P而不是π，这是因为右端的系数是,和b,而不是B。和B,表明这里 的Logistic回归方程是根据样本资料对理论模型的估计。 对单个回归系数进行Wald检验，Wald统计量x2=518.6950,P<0.0001,可以认为 超重或晒胖对高血压病有影响。OR估计值为 0R=e5=e00=2.727 OR的95%置信区间为 e(bZun:s。)=e0030t196040=2s01,297m 这个置信区间并不包含1，上下限均大于1，再次表明，超重或肥胖是高血压病的危险因素， 4.实例：自变量筛选（基于SAS的输出） 例202为研究居民两周患病未治疗的影响因素，采用多阶段分层整群抽样，对某地 1790名农村居民进行了入户调查。调查内容包括性别（男0，女：1）、年龄(<5岁：1,5 岁2,15岁3,45岁-4,65岁5)、年人均收入（不低于平均水平0，低于平均水平1）、 医疗保障（有：0，无：1）、距就近医疗点时间(<10分钟：1,10分钟2,30分钟3)、自 感疾病严重程度（不严重：1，一般：2，严重3）、发病时间（急性病两周内发生：1，急性病 两周前发生延续到两周内2，慢性病持续到两周内：3、就诊（就诊：0，未就诊1）。11790 名居民中，调查前二周患病者1649人，其中未就医者720人，患者有关资料整理结果见表 20-3. 表20-3某地二周患病者门诊医疗卫生服务利用影响因素资料 忠者性别年龄年人均收入医疗保障 距就近医自感疾病发病 就诊 疗点时间严重程度时间 编号 X X2 X X。X, y 1 1 ￥ 0 2 3 0
或 ( 1.4117 1.0030 ) ( 1.4117 1.0030 ) 1 X X e e p − + − + + = 左端我们写的是 p 而不是 ，这是因为右端的系数是 0 b 和 1 b ，而不是 0 和 1 ，表明这里 的 Logistic 回归方程是根据样本资料对理论模型的估计。 对单个回归系数进行 Wald 检验， Wald 统计量 2 =518.6950，P <0.0001， 可以认为， 超重或肥胖对高血压病有影响。OR 估计值为 2.727 ˆ 1.0030 OR = e = e = b OR 的 95%置信区间为 = = ( ) (1.00301.960.0440) / 2 e e b Z Sb (2.501, 2.972) 这个置信区间并不包含 1，上下限均大于 1，再次表明，超重或肥胖是高血压病的危险因素。 4．实例：自变量筛选（基于SAS的输出） 例 20-2 为研究居民两周患病未治疗的影响因素，采用多阶段分层整群抽样，对某地 11790 名农村居民进行了入户调查。调查内容包括性别（男:0 ，女:1）、年龄（<5 岁:1，5 岁-:2，15 岁-:3 ，45 岁-:4 ，65 岁-:5 ）、年人均收入（不低于平均水平:0，低于平均水平:1）、 医疗保障（有:0 ，无:1）、距就近医疗点时间（<10 分钟:1，10 分钟-:2，30 分钟-:3） 、自 感疾病严重程度（不严重:1，一般:2，严重:3）、发病时间（急性病两周内发生:1，急性病 两周前发生延续到两周内:2，慢性病持续到两周内:3）、就诊（就诊：0，未就诊:1）。11790 名居民中，调查前二周患病者 1649 人，其中未就医者 720 人，患者有关资料整理结果见表 20-3。 表 20-3 某地二周患病者门诊医疗卫生服务利用影响因素资料 患者 编号 性别 年龄 年人均收入 医疗保障 距就近医 疗点时间 自感疾病 严重程度 发病 时间 就诊 X1 X2 X 3 X4 X 5 X 6 X7 Y 1 1 4 0 1 2 2 3 1 2 1 4 0 1 1 2 3 0 3 0 4 0 1 1 3 3 0 4 0 3 1 1 2 1 1 0
2 1 0 1645 0 1646 0 4 1647 1 2 1648 4 2 1649 0 5 0 2 2 3 “发病时间”虽为有序多分类变量资料，但目前尚不能确定表203中赋值是否可真实 反映其测度，故以最高值为参照水平，产生2个哑变量。 “发病时间”哑变量： X Xn 1 1 0 0 1 3 0 0 与多重线性回归类似，多因素0g$回归同样存在对自变量的筛选问题，即按事先规 定的检验水平，利用固定的算法，将具有统计意义的变量逐步选入模型，不具有统计意义的 变量剔除在模型外。具体方法有前进法、后退法、逐步法，但检验统计量不再是线性回归中 的F统计量，而是前述的似然比检验统计量G(或x2)、ald统计量等。 本例采用后退法（α=0.05）进行变量筛选。 ()利用似然比检验筛选自变量 表20-4逐步回归过程及模型检验 步骤剔除变量 模型似然比检验x2值自由度 P值 0 无剔除变量 98.9711 8 <0.0001 1 2160.468 98.8693 7 <0.0001 2 X 2160.569 98.7621 6 <0.0001 3 2160.676 96.1755 <0.0001
5 1 3 1 1 2 1 1 0 ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． 1645 0 4 1 1 2 2 1 0 1646 0 4 1 1 3 3 3 0 1647 1 5 1 1 2 2 3 1 1648 1 4 1 1 2 2 1 0 1649 0 5 0 1 2 2 3 1 “发病时间”虽为有序多分类变量资料，但目前尚不能确定表 20-3 中赋值是否可真实 反映其测度，故以最高值为参照水平，产生 2 个哑变量。 “发病时间”哑变量： X7 X 71 X72 1 1 0 2 0 1 3 0 0 与多重线性回归类似，多因素 logistic 回归同样存在对自变量的筛选问题，即按事先规 定的检验水平，利用固定的算法，将具有统计意义的变量逐步选入模型，不具有统计意义的 变量剔除在模型外。具体方法有前进法、后退法、逐步法，但检验统计量不再是线性回归中 的 F 统计量，而是前述的似然比检验统计量 G （或 2 ）、Wald 统计量等。 本例采用后退法（ =0.05）进行变量筛选。 (1) 利用似然比检验筛选自变量 表 20-4 逐步回归过程及模型检验 步骤 剔除变量 -2 ln L 模型似然比检验 2 值 自由度 P 值 0 无剔除变量 98.9711 8 <0.0001 1 X 3 2160.468 98.8693 7 <0.0001 2 X 5 2160.569 98.7621 6 <0.0001 3 X1 2160.676 96.1755 5 <0.0001
4 X 2163.263 93.3326 4 <0,.0001 注：仅有常数项时-2nL=2259.439 模型中仅有常数项时，2hL=2259.439,无剔除变量时-2hL=2160.468。当剔除X,时， 有-2nL=2160.569,似然比检验x2-2160.569-2160.468=0.101,=1,2<xX00 P>0.05,X,可剔除。此时，模型似然比检验X2=2259.439-2160.569-9887,P<0.0001,拒 绝H。,可以认为剔除X,后所建立的ogc回归方程有意义。其余步骤类似，到第4步，在 =0.05水准，再无变量可剔除，故最终保留在方程中的变量有X2、X。、X,。 (②)关于选中变量的参数估计 表20-5关于选中变量的参数估计、Wald检验和OR估计 变量名参数估计值bS。Wald2P值 OR OR95%置信区间 常数项0.4673 0.29762.46470.1164 X2 0.23270.057216.5718<0.00011262 (1.1281.412) -0.6089 0.0768 62.9176 <0.0001 0.544 (0.468,0.632) X -0.5004 0.119317.5977<0.0001 0.606 (0.480,0.766) -0.34030.18493.3893 0.0656 0.712 (0.495,1.022) 注X,:Wald x2=17.9084,df=2,P=0.0001 由X,生成了2个哑变量X71X2,对X2有ldx2=3.3893,P>0.05,但这2 个哑变量应作为一个整体进行筛选。 进入模型的变量有X2、X6、X、X2,相应的OR估计值分别为1262、0.544、0.606 和0.712,0R的95%置信区间分别为(1.128,1.412)、(0.468,0.632)、(0.480,0766) 和(0.495,1.022)，故可以认为年龄X2、自感疾病严重程度X6和发病时间X,是两周患 病者就诊的影响因素。 最终得到的logistic回归方程为：
4 X4 2163.263 93.3326 4 <0.0001 注：仅有常数项时-2 ln L =2259.439 模型中仅有常数项时，-2 ln L =2259.439，无剔除变量时-2 ln L =2160.468。当剔除 X 3 时， 有-2 ln L =2160.569 ，似然比检验 2 =2160.569-2160.468=0.101， =1 ， 2 0.05(1) 2 ， P >0.05，X 3 可剔除。此时，模型似然比检验 2 =2259.439-2160.569=98.87，P <0.0001，拒 绝 H0 ，可以认为剔除 X 3 后所建立的 logistic 回归方程有意义。其余步骤类似，到第4步，在 =0.05水准，再无变量可剔除，故最终保留在方程中的变量有 X2 、 X 6 、 X7 。 (2) 关于选中变量的参数估计 表 20-5 关于选中变量的参数估计、Wald 检验和 OR 估计 变量名 参数估计值 b b S Wald 2 P 值 OR OR 95%置信区间 常数项 0.4673 0.2976 2.4647 0.1164 X2 0.2327 0.0572 16.5718 <0.0001 1.262 (1.128, 1.412) X 6 -0.6089 0.0768 62.9176 <0.0001 0.544 (0.468, 0.632) X 71 -0.5004 0.1193 17.5977 <0.0001 0.606 (0.480, 0.766) X72 -0.3403 0.1849 3.3893 0.0656 0.712 (0.495, 1.022) 注 X7 ：Wald 2 =17.9084， df =2， P =0.0001 由 X7 生成了 2 个哑变量 X 71、 X72 ，对 X72 有 Wald 2 =3.3893， P >0.05，但这 2 个哑变量应作为一个整体进行筛选。 进入模型的变量有 X2 、X 6、X 71、X72 ，相应的 OR 估计值分别为 1.262、0.544、0.606 和 0.712，OR 的 95%置信区间分别为（1.128，1.412）、（0.468，0.632）、（0.480，0.766） 和（0.495，1.022），故可以认为年龄 X2 、自感疾病严重程度 X 6 和发病时间 X7 是两周患 病者就诊的影响因素。 最终得到的 logistic 回归方程为: