环面型两次包络弧面蜗杆传动的理论研究与参数分析

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1983.03.006 北京钢铁学院学报 1983年第3期 环面型两次包络弧面蜗杆传动的 理论研究与参数分析 机械殷计教研室沈蕉方 机械制造教研堂·李寅年 徐月要 摘 要 本文探讨了一种新型的“两次包络弧面蜗杆传动一环面型两次包络弧面蜗杆” 传动。在研究过程中，推导了关于两次包络的一系列计算公式，'应用电子计算机计 算了这种传动在不同参数时的接触线，两类界限曲线、诱导法曲率、润滑角及蜗杆 轴截面”。并进行了较为系统的分析，得到了在小传动此范围内优于平面两次包络 弧面蜗杆传动的结论。初步进行了参数分析并指出这种传动的实用价值和应用范 围。在研究过程中，同时在理论上进行了计算简化和考虑了计算通用性。 近年来，.各种蜗杆传动在世界上发展很快，1979年7月在蒙特利尔五届机器与机构理论 联合会会议纪要中曾提出，应将特殊蜗杆传动型式的发展以及传统圆柱蜗杆应力慎型的有关 数据获取作为今后重点研究的方向。·为了解决“SG-71型蜗轮副”在小传动比范围内的同有 缺点，：本文探讨了一种新型蜗杆传动一环面型两次包络弧面蜗杆传动。 “SG-71型蜗轮副”一平面型两次包络弧面蜗杆传动的应用，已有十几年的历史。通 过十几年不断深入的理论研究与实践使用证明，这种蜗杆传动的性能优越，其优越性主要表 现在如下两个方面：1)加工工艺好。由于蜗杆是由平面包络而成的，所以蜗杆在淬火后， 可以用平面砂轮进行完全符合理论齿形的精确加工，因此蜗杆齿面的精度、光洁度和硬度都 比较高，这对于提高蜗杆的抗点蚀、抗胶合、抗磨损是十分有利的。2)蜗杆传动的啮合性 能好。所谓啮合性能指标，是指接触线的分布和总长度、润滑角、诱导法曲率、根切以及齿 顶厚等因素。根据空间啮合的齿轮交又轴二次作用原理，对于两次包络的弧面蜗杆传动，在 每一次包络中均存在“两次接触”的啮合特点。因此，对于原始型两次包络的弧面蜗杆传 动，蜗轮齿面上出现“双线接触”现象。即使对于修正型的两次包络弧面蜗杆传动，虽然不 存在“双线接触”，但是由于二次作用线两次通过齿面，所以接触线长度也增加了。同时由 于二次线具有较小的诱导法曲率，较大的润滑角，这对于降低赫芝接触应力及造成液体动压 润滑都是十分有利的。所以决定了平面两次包络弧面蜗杆传动的承载能力大，机械效率高的 优点。因此，目前平而型两次包络弧面蜗杆已广泛应用于我国冶金工业及其它各行业中。 但是平面型两次包络弧面蜗杆传动的啮合性能指标随着蜗杆的传动比不同而有所变化。 ·一般说来，对于多头小传动，比的蜗杆传动，其啮合性能指标就远远没有大传动比的好。而且更 主要的问题是，对于小传动比的平面两次包络弧面蜗杆传动，蜗杆的根切与齿顶变尖的矛盾 64

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 环面型两次包络弧面蜗杆传动的 一 又理论研究与参数分析 卜 机械极计 教研 室 沈范方 机械制造教研 室 季交年 像月琴 要 卜 ’ 本文 探讨 了一 种 新 型 的 “ 两 次包络弧 面蜗杆传 动 — 环 面 型两次包络弧面蜗 杆 传动 。 在研 究过程 中 ， 推导 了关 于 两 次包络的一 系列计算公 式， ‘ 应用 电子计 算机计 算 了这种传 动在不 同参数 时的接触线 ， 两 类界 限曲线 、 诱导法 曲率 、 润滑角及 蜗杆 轴 截面” 。 并进行 了较为系统 的分 析 ， 得 到了在小传 动 比范 围 内优于平 面 两 次包络 弧 面 蜗杆传 动的 结论 。 初 步进行 字参数 分 析并指 出 ， 这种传动 的实 用价 值 和 应 用 范 围 。 在研 究过程 中 ， 同时在理 论 上进行 了计算简化和 考虑 了计算通 用性 。 近 年来 ， 各种蜗杆 传动在世 界上发展很快 ， 工 年 月在 蒙特 利尔五届机器与机构理论 联 合会会议 纪要中曾提 出 ， 应 将特殊 蝎 汗传动型式 的发 展以 及传统圆柱蜗 杆应 力模型的 有关 数据 获取 作为今后 重点研 究 的方 向 。 为 了解决 “ 一 型蜗 轮副” 在 小传动 比范 围内的 固有 缺点 ， ， 本 文探讨 了二种 新 型蜗杆 传动— 环面型两次包络 弧面 蜗杆传动 。 “ 一 型蜗 轮副 ” — 平面 型 两 次 包络 弧面 蜗杆 传动 的应 用 ， 已有十几年的 历史‘ 通 过十几年 不断 深入 的理 论研 究 与实践使用 证 明 ， 这 种蜗杆 传动的 性能 优越 ， 其优越性主 要表 现在如下 两个方面 加 工 工艺好 。 由于 蜗杆 是 由平面 包络 而成的 ， 所 以 蜗杆 在淬 火后 ， 可 以用 平面 砂轮进行 完全符 合理 论齿形 的 精确加 工 ， 因此 蜗杆 齿面 的 精度 、 光洁 度和硬 度都 比较 高 ， 这 对于 提 高蜗杆 的 抗点蚀 、 抗胶 合 、 抗磨损 是 十分 有利 的 。 蜗杆 传动的 啮 合性 能好 。 所 谓 啮 合性能 指标 ， 是 指接触线 的分布和 总长度 、 润滑 角 、 诱 导 法 曲率 、 根 切 以 及齿 顶 厚 等因 素 。 根据 空 间啮 合的 齿轮交 叉 轴二次 作用 原 理 ， 对于 两 次 包络 的 弧面 蜗杆 传动 ， 在 每一次 包络 中均存在 “ 两次 接触 ” 的啮 合特点 。 因此 ， 对于原始 型两次 包络 的 弧面 蜗杆 传 动 ， 蜗 轮齿面 上 出现 “ 双线 接触 ” 现象 。 即使 对于 修正型 的两 次包络 弧面蜗杆 传 动 ， 虽然不 存在 “ 双线 接触 ” ， 但 是 由于二次 作用 线 两次 通过 齿面 ， 所 以 接触 线 长度也增加 了 。 同时 由 于 二 次线具有较 小 的 诱 导 法 曲率 ， 较大的 润 滑角 ， 这 对于降低 赫芝 接触应 力及造 成液体 动压 润滑都是 十分 有利的 。 所 以 决定 了平面 两 次 包络 弧面 蜗杆 传动的承载能力大 ， 机械效 率 高的 优 点 。 因此 ， 目前平面 型 两次 包络 弧面 蜗杆 已广 泛 应 用 于我 国 冶金工 业 及 其它 各行业 中 。 但 是平 面 型 两次 包络 弧而 蜗杆 传动的 啮 合性能指标随着蜗杆 的 传动 比不同而有所变化 。 一 般说来 ， 对于 多头 小传 动 ， 比的 蜗杆传动 ， 其啮 合性能指标 就 远远没 有大 传动 比的好 。 而且 更 主 要 的 问题是 ， 对于 小 传 动 比的 平面 两 次包络 弧面 蜗杆 传 动 ， 蜗杆 的根 切 与齿顶 变尖 的矛盾 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1983．03．006

表现得非常突出，甚至于齿顶变尖与根切二者必有其一，即不变尖必根切，，不根切必变 尖，难于进行合理的参数选择。为此北京钢铁学院蜗轮副科研组曾与湘潭钢铁厂合作，对这 种小传动比的“SG-71”型蜗轮副进行了系统的研究，并提出了合理选择参数的十二点建 议。但是我们认为，如果从根本上解决这一问题，可以采用本文所研究的一《环面型两次 包络弧面蜗杆传动》这一新齿型的蜗杆传动。 所谓“环面型两次包络弧面蜗杆传动”，就是采用一个圆弧回转面（即环面）作为这一 包络的母面，经过一次包络形成弧面蜗杆，再用与此相似的滚刀二次包络出和上述弧面蜗杆 相啮合的蜗轮齿面。因此这种蜗杆就是综合了“尼曼蜗杆”和“平面两次包络弧面蜗杆传 动”（即“SG-71型蜗轮副）的加工特点。 一、正交轴二次包络蜗杆传动的基本公式 ·:“为了从理论上对这种新型的蜗杆传动的各种啮合性能指标进行计算与研究，必须首先推 导出正交轴两次包络蜗杆传动的一些基本公式，其中最重要的第二次包络的啮合方程推导如 下： Φ()=P)nR,+P)·nR2+P)·nRg+Pg)·nx3 +P).ny3+pga).n::=0 (1) 其中 n PI=ny3.Z3-nza*y3 nR2=nz3·X3-nx3zg多 nR3=nx3y3-ny3*xs3 P ()=i21.cos3.gin (01-1)+sin 3 P)=-i21.sino.sin(0:-:)+co8s P)=i21co8(0:-p1) P()=i2:.(sino3 (ao.cos(0:-:)-ax)+p.coB3 ·co8(01-P1)}, Pg)=i21{cosp3〔ao.CoS(61-pi)-ak)pp:·inps ·cos(0:-p1)}: Pgm)=-a。-i2pp18in(0-'中)y x3,y,z是指母面上一点在“假想齿轮”标架o,中的坐标，n3,y3,nz是指母面 上一点的法线向量坐标，如果母面的儿何形状已知，及其在“假想齿轮“标架σ，中的安置 确定以后。那么，这六个量均是已知的，至于两次包络的坐标设置与运动的关系见图1。 图1一次包络坐标敏置示意图 图2二次包络坐标设置示意图 65

表现得非常突出 ， 甚 至子齿顶 变尖 与根 切二 者必 有其一 ， 即不 变 尖必 根 切 ，一 不根 切 必 变 尖 ， 难于 进行 合理的 参数选择 。 为此 北 京钢 铁 学 院蜗 轮副 科研 组曾与湘潭钢 铁厂 合作 ， 对这 种小传动 比的 “ 一 ” 型蜗 轮副 进行 了系统 的研 究 ， 并提 出了合 「 通选 择参数的 十 二 点 建 议 。 但是我们 认为 ， 如 果从根本 上解决这一向题 ， 可 以 采用 本 文所研究的 — 《 坏面 型两次 几包络 弧面 蜗杆 传动 》 这一新齿型的 蜗杆传动 。 所谓 “ 环面 型 两次 包络 弧面 蜗杆 传动 ” ， 就是 采用 一 个圆弧回转面 即环 面 作为这一 包络 的母面 ， 经过一 次 包络形成 弧面 蜗 杆 ， 再用 与此 相似 的 滚刀二 次 包络 出和 上述弧面 蜗 杆 相 啮 合的 蜗 轮 齿面 。 因此 这 种 蜗杆 就 是综 合 了 “ 尼 曼 蜗杆 ” 和 “ 平 面 两 次 包络 弧面 蜗杆 传 动 ” 即 “ 一 型蜗 轮副 的加工特点 。 一 、 正 交轴 二 次包络蜗杆 传动 的签 本公式 一 为拭从理论 上对这种新型 的蜗杆传 动的 各种啮 合性能指标 进行计算 与研究 ， 必 抓首先拌 辱 出正 交 轴两次 包络 蜗杆 传动的一 些 毖本公 式 ， 其 中最 重要的 第二次 包络 的啮 合方 程推 导如 下 中 兀 荟 五 · 荟 “ · 二 立 · 二 皿 一 ， · ， 荟 “ · 。 其 中 。 一 一 ， 一 。 。 一 一 ” · 甲 。 · 成 仔 二 甲 甲 荟 ’ 一 · 。 · 颐 一 甲 甲 。 蛋 ’ · 一 甲 ， ， 二’ ， · 王 。 〔 。 ， 一 一 〕 甲 甲 · ‘ 甲 蛋 ’ 呢甲 〔 。 · ， 一 甲 一 ‘ 一 · 甲 碗 甲 · 一 印 荟 ， ， 一 。 一 、 · · 甲 · ‘ 一 ，中 、 ， 。 ， ， 是指 母面 上一点在 “ 假想齿轮 ” 标架 。 。 中的坐标 ， ， ， 。 是指母面 上一点的 法线 向量 坐标 ， 如果母面 的 儿何形状 已知 ， 及其 在 “ 假想齿轮 “ 标 架 中的 安置 确定 以后 。 那 么 ， 这六个量 均是 已知的 ， 至 于 两 次 包络的坐标 设 置 与运动 狗关 系见 图 。 图 一 次包络坐 标殷 置示 意图 图 二 次包络坐 标设 置示 意图

其中g:(O:-X1:Y:Z:)是与蜗杆相固连的坐标架，它以1(|⑥：=1)匀速转动，d, (O,-X,Y,Z,)是与“假想齿轮”相固连的坐标架，它一方面可以以①：(1o,=i1|o= i:)的角速度匀速转动，且又可以5=p·仰1作沿蜗杆轴向移动。p为圆柱蜗杆的螺旋参 数。σ：(O-X,Y,Zz)是与蜗轮相固连的坐标系（图2）。 有了上面(1)式的第二次包络的啮合方程式，我们就容易得到蜗杆传动的啮合接触线 反映在蜗轮齿面上的方程式为： 7()=M::7()=MI:.M:7) 中()=0 (2) Φ()=0 其中F()是表示砂轮母面在c标架中的矢数方程，M,M1表示从σ1→0,0→ σ，的坐标转换矩阵。Φ)表示一次包络的啮合方程式，这个方程式比较值单，且可在许多 资料中见到，故在这儿从略。 同样二次包络的一界曲线和二界曲线的方程式可表达如下： 0)=M70) 中()=0 (3) 中()=0 中)=0 fYa)=Mg1…7a) Φ(1)=0 (4) 中()=0 Ψ()=0 其中Φ)，华()分别为二次啮合的一界函数和二界函数。对于一次包络，二次包络接触线 上的法线方向上的诱导法曲率K:,K!及其润滑角()，0()均可由下面公式求出： Kg}=K,coe2p:+K,in2pi Gf}=(K-K,)i甲； v3 co8p2=（g1 ),inpa=(g·- -K. aa)=01×ia)-|t1dn) ds)va 里田=中，+（日.立 Kg)=(am.日))产/州)， |a()1 9a=8in-(1-&. 1a1141 (5) 66

其中。 一 是 与蜗杆 相 固连的坐标架 ， 它 以苗 。 卜 匀速转动 ， 一 是 与 “ 假想 齿轮 ” 相 固连的 坐标架 ， 它一方 面 可 以 以 。 。 。 。 。 的 角速度匀速转动 ， 且 又可 以 七 。 甲 作沿蜗杆轴 向 移动 。 为圆柱 蜗杆的 螺旋参 数 。 一 是 与蜗 轮相 固连 的 坐标系 图 。 有了 上面 式 的 第二次 包络 的 啮 合方程式 ， 我们 就 容易得 到蜗杆传 动的啮 合接触线 反 映在蜗轮齿面 上的方 程 式 为 川 · 冲 一一 中巾 、 其 中 是表示砂伦母面 在 标 架中的矢数方 程 ， ， 表示从 ， ， 。 ， 口 的坐标转换矩 阵 。 小 表示一次 包络 的啮 合方 程式 ， 这个方 程式 比较值单 ， 且可在许 多 资料中见 到 ， 故在这儿 从略 。 同样二 次包络 的一 界曲线和二 界曲线 的方程式 可表该如下 争 中 中 ‘兀 中 二幻 。 一 一卜 丫 ’ ， 中 中 皿 甲 盆 其 中 中 盆’ ， 梦 《 皿 分 别 为二 次啮 合的 一 界函 数和二 界函 数 。 对于一次包络 ， 二 次包络 接触线 上的 法线方 向上的 诱导 法 曲率 言 ‘ ， 二 “ 及其润 滑角引 工 ， 引 》 均可 由下面 公 式求 出 于卜 ， ， ‘ 。 ， 甲 ， 子卜 一 ‘ 甲 · 二 甲 ， 。 。 甲 ‘ 一 二 ‘ 一 少二 月 】 尸 吕 ’ ， 一 资 吕 ’ 一 今 一 二石一 一 ’ ， ， ， ， 。 、 ‘ ’ 一 ’ 吕 二 ‘ 今 少 。 ， ‘ 。 一 白弓卜 叫卜 叮吕、 一 合 ， “ 、 一一 ，不丁一一一 峥 ， ， 一 甲 中 ‘ 之 叫卜 · ， ’ ， 叫卜 川 二 甲 互 叫卜 一 ‘ 丢 申一令 一 今净一刹

其中K,K是砂轮的二个主曲率，g,名：是砂轮的二个主方向矢，心，是一次包络 时的相对角速度矢和线速度矢，K,G是在砂轮母面上沿方向的法曲率和短程挠 曲率。 K(s1) :12=pi可（Aco8p,+Bain:)产， 1 (31)1 G:(Ac+Bain:)(-Asin+Boop) 上式中的co8p:=(g1二 ），8inp:=(g1+ —·n)y 1v12 |v12| 产力 /A=Kgv31)+g201) B=K,(g2·v81)-(g·031), K)=Kco+Kin G(K-K)i K-K-KG0-G-G52 ￥12 712 12 12 123 d,n)、 v 1 2 五1)、·=-K’·y-G2(n1×), ds 12 v12 |v121 a)=2×au-71dn") ds）立 Ψ国=Φ)+(a倒1)， K)=(a().a(m) “a四)/四四， 0()=sin-( a() V12 (6) |a()|v12 其中，：为二次包络时的相对角速度矢和线速度关，K,K,G,G 2分 别为蜗杆齿面和原始砂轮母面上的任一啮合点沿V1方向上的法曲率和短程挠曲率，a) 为在二次啮合点的公切面上二次接触线的法线方向矢。 以上就是我们所推导出的对于正交轴两次包络蜗杆传动的求解基本公式。 二、《圆环面两次包络孤面蜗杆传动》的啮合性能的理论研究。 有了上面的正交轴两次包络蜗杆传动的基本公式，再选取最有一般性的有规则曲面一环 面作为砂轮母面，它的几何形状通过参数P和R。来决定（图3）。 其中砂轮母面上任意一点的位置由二个位置参数μ，B角来表示，σu(Ou一X。Y,Z。) 是给砂轮本身所设置的标架。可见，砂轮母面上任一点的二个主曲率分别为 Ko:mm inμ (7) 至于一次包络时，砂轮在“假想齿轮”标架σ3中的安装位置由参数L,R,Y角来决 定，参见示意图4。 67

其 中 ， 。 是砂 轮的 二个主 曲率 ， ， 时 的相 对角速 度矢和线速度矢 ， 手 ， 曲率 。 曹是 砂轮的二个 主方 向矢 ， 补 ，， 冬 是一 次包络 丢是在砂轮母面 上沿扣方向的 法 曲 率和 短程挠 二 ’ ‘ ’ 二 “ ‘ ’ 二 万粉件 、 “ 、 么 ， 一奋补 ， 、 ‘ 甲 甲 今 上式 中的 甲 俨 一卜 、 一确二一一 ’ 以 甲 ‘ 于 份 。 里 、 ‘ 叫卜 叫卜 — ， ‘ “ ’ 卜 ﹃李今 帅奋今 ’ ， 一 咖 名印 “ 甲 ， 于 一 ’ 甲 “ ’ 甲 ‘ ’ 二 ’ 二 ’ 》 一 甲 于 奋 一 于 ’ ， ， 漪 竺与导 一 三 ’ 么 目一卜 争 ‘ “ 一 手 言 “ ， 一争 互皿 。 ’ 砚‘ 一 ’ 钊一卜 ‘ 旦二虹巴 ， 二 ’ ’ “ 甲 中 皿 ‘ ” 皿 · 一净今 。 ， 尸 甲 “ 二 一 产 一川国 尤兰 其 中 。 补今 分 ’ “ ‘ “ 为二次 包络 时的 相 对 角速 度 矢和线 速 度 矢 ， 叫卜 母飞 ， 奋 ， 于 ， 别 为蜗杆 齿面 和 原 始砂 轮 母面 上 的 任 一 啮 合点 沿 ‘ “ 方 向 上的 法 曲率 和 短 程挠 曲率 ， 为在二 次啮 合点 的 公 切面 上二次 接触线 的 法线 方 向矢 。 以 上就 是我们 所 推导 出的 对于正 交 轴两 次包 络蜗杆传 动的 求解基 本 公 式 。 二 、 《 圆环 面两次 包络孤 面拐杆传 动 》 的啮合性能 的理 论研 究 。 有 了 上面 的 正 交 轴两 次 包络 蜗杆传 动的 基 本公 式 ， 再选取 最 有一 般性 的 有规 则 曲面一环 面 作为砂轮母面 ， 它 的 几何形状 通过 参数 和 来 决 定 图 。 其 中砂轮母面 上任 意 一点 的 位 置 由二个位 置 参数 协， 日角来 表示 ， 。 。 一 。 。 是 给砂轮本身所设 置 的标 架 。 可 见 ， 砂 轮母面 上任一点 的 二个主 曲率 分别 为 一七 ， 成 卜 至 于一 次包 络 时 ， 砂轮在 “ 假想 齿轮 ” 定 ， 参见 示 意 图 。 苗 协 标 架 中的 安装 位 置 由参数 。 ， 。 ， 丫 角来决

Yu On Xu 图3砂轮几何参数和位置参数的设置 Zu LR RB 图4一次包络砂轮安装示意图 因此当砂轮的形状已知，及其在标架¤3中的安装位置确定后，那么就可以得到确定的原 始母面方程式()=？)（仙，B),具体表达如下： ()=X:is+y:ja+Zak31 其中 ?X3=co8B(p·ainμ+Rd)+L5 y3=-sinv…sinB(p8inμ+Ra）-co8v(p.cosu-La)-RB 、zs=-cosv·inB.(p.sinu+Rd)+8inv(pcosμ-La) (8) 一次包络后，所得到的蜗杆齿面方程式如下： 7)=F3)(μ，)， 中1)=中)（μ，B,p3)=0;(其中的p3为一系列的数值时）具体表达如下： 68

一 ， 沐抓 子耳 ’ 热 宜 厂 一 ’ 裂 、 曰 习 匕 冲 ‘ ’ 图 砂 轮 几 何参数和 位 置 参数 的设 置 因此 当砂轮 的形状 已知 ， 始母而 方 程 式 昌 ， ‘ 卜 卜 月 》 图 一 次包络砂轮 安装示 意图 及其 在标架 中的 安装位 置确定后 ， 那 么就可 以得 到确定的原 ， 日 ， 具体表达如下 《 。 孔 、 。 孔 。 ， 其 中 日 · · 卜 一 一 苗 日 · 颐 协 一 · 一 一 。 、 。 一 · 日 一 · 终 。 · 叨 卜 一 一 次 包 络后 ， 所得 到的 蜗杆 齿面 方程式如下 弓卜 林， 日 中 川 中 ’ 件 ， 日 ， 其 中的 甲 为一 系 歹 的数值 时 具 体表 达如 下