第二章总习题 1.填空题 (1)已知f(3)=2,则Im(3-x)-f(3) (2)设∫(x)=lnx,则f()=1,Df(1)=0 5 (3)设f(x)=lm(x+√1+x2),则y"=5=32 (4)f(x)在x处可导是∫(x)在x处连续的充分条件,是f(x)在x处可 微的_充要_条件 (5)设方程x=y确定y是x的函数,则dy= x(1+In y) (6)曲线y=x+sin2x在点,1+)处的切线方程是y=x+1 ()曲线=m2在点0D处的法线方程为2x+y=1=0 (8)设f(x)= 3,x≤0, lax+b, x>0 在定义域内处处可微,则a=2,b 解(1)m(3=3)-1(=im-13-x)-18)=-1r(3)=-1 ()r(=f(x-=-=1,Ur=0 (3)f(x) f"(x)=--(1+x2)
1 第二章总习题 1. 填空题 (1) 已知 f ′(3) 2 = , 则 0 (3 ) (3) lim x 2 f xf → x − − = −1 . (2) 设 f ( ) ln x x = , 则 f ′(1) 1 = , [ (1)] f ′ = 0 . (3) 设 2 f ( ) ln( 1 ) xx x = ++ , 则 x 3 y = ′′′ = 5 32 . (4) ( ) f x 在 0x 处可导是 f ( ) x 在 0x 处连续的 充分 条件, 是 f ( ) x 在 0x 处可 微的 充要 条件. (5) 设方程 y x = y 确定 y 是 x 的函数, 则dy = d (1 ln ) x x y + . (6) 曲线 2 yx x = + sin 在点 π π ( ,1 ) 2 2 + 处的切线方程是 y x = +1 . (7) 曲线 e sin 2 , e cos t t x t y t ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ = 在点(0,1) 处的法线方程为 2 10 x y + − = . (8) 设 2 2 3, 0, ( ) , 0, xx x f x ax b x ⎧⎪ ++ ≤ = ⎨ ⎪⎩ + > 在定义域内处处可微, 则 a = 2 , b = 3 . 解 (1) 0 0 (3 ) (3) 1 (3 ) (3) 1 lim lim (3) 1 x x 22 2 f xf f xf f → → x x −− −− = − =− =− ′ − . (2) 1 1 1 (1) ( ) 1 x x f fx x = = ′ ′ = = = , [ (1)] 0 f ′ = . (3) 1 2 2 2 22 1 21 ( ) (1 ) (1 ) 1 21 1 x fx x xx x x − ′ = + = =+ ++ + + , 3 3 2 2 2 2 1 ( ) (1 ) 2 (1 ) 2 fx x x x x − − ′′ =− + =− +
f"(x)=-(1+x2)2+1x(1+x2) (1+x2)2+3 3x2(1+x2) (4)根据有关概念可知 (5)对方程x=y=e两边求微分,得 dx=e/y(In y+l)dy x(In y+ l)dy, dy x(1+In y) (6)y=1+2 sinx cosx=l+sin2x,y1-x=1.故而曲线y=x+sin2x在点 ,1+2)处的切线方程是 即 (7)点01)对应的参数为/=0,= cOSt-esin|1 =,曲线 dx x=e sin 2t 在点(0,1)处的法线方程为 y-1=-2x,即2x+y-1=0 (8)由∫(x)在x=0处可微,可知 f(0+0)=b=f(0)=3 f(0)=lin f(x)-f(0) lim 2 f(0)= f(x)-f(o) ax+3-3 a x→0° f(0)=a=∫(0)=2 2.单项选择题 (1)函数f(x)在x=x的左导数与右导数存在且相等,是f(x)在x=x处连续 的(B) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
2 35 3 5 2 2 2 22 22 2 2 3 ( ) (1 ) (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) 2 fx x x x x x x x −− − − ′′′ =− + + + =− + + + , 3 5 2 22 2 2 3 3 5 ( ) (1 ) 3 (1 ) 32 x x fx x x x − − = = ′′′ =− + + + = . (4) 根据有关概念可知. (5) 对方程 ln e y yy x y = = 两边求微分, 得 ln d d e (ln 1)d (ln 1)d , d (1 ln ) y y x x y yx y y y x y = += + = + . (6) π 2 1 2sin cos 1 sin 2 , 1. x y x x xy = ′ ′ =+ =+ = 故而曲线 2 yx x = + sin 在 点 π π ( ,1 ) 2 2 + 处的切线方程是 π π 1 2 2 y x −− = − , 即 y x = +1. (7) 点 (0,1) 对应的参数为 t = 0 , 0 0 d e cos e sin 1 d 2 e sin 2 2e cos 2 t t t t x t y tt x t t = = − = = + , 曲线 e sin 2 , e cos 2 t t x t y t ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ = 在点(0,1) 处的法线方程为 y x − =− 1 2 , 即 2 10 x y + − = . (8) 由 f ( ) x 在 x = 0 处可微, 可知 f bf (0 0) (0) 3 + == = , 2 0 0 ( ) (0) 2 (0) lim lim 2 x x fx f x x f x x − → → − − − + = == , 0 0 ( ) (0) 3 3 (0) lim lim x x f x f ax f a x x + → → + + − + − = == , f af (0) (0) 2 + − = = = . 2. 单项选择题 (1) 函数 f ( ) x 在 0 x = x 的左导数与右导数存在且相等, 是 f ( ) x 在 0 x = x 处连续 的( B ) . (A) 必要非充分条件; (B) 充分非必要条件;
(C)充分必要条件 (D)既非充分条件,又非必要条件 设∫(x)对于任意x的都有 f(x),且∫(-x)=-k,则 f(x0)=(B) 1 k (3)曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点是(C) (A)(0,0);(B)(1,2);(C)(-1,2);(D)(0,2) (4)设(x)为可导函数,且满足Im1(0)-1(=3)=-1,则曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线的斜率为(D) (A)2 (5)设函数f(x)在区间(-6,6)内有定义,若当x∈(-8,8)时,恒有|(x)≤x2 则x=0必是f(x)的(C) (A)间断点 (B)连续而不可导点 (C)可导,且f()=0; (D)可导点,且f(O)≠0 (6)设函数f(x) 则函数在x=1处(A) 1, (A)不连续 (B)连续但不可导 C)可导,但导函数不连续 (D)可导且导函数连续 (7)设f(x)= 且∫"(0)存在,则(C) ax2+bx+c,x≥0 ,b=c=1 (8)设f(x)在x=a的某邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条 件是(D) (A)mM八(0-f(l)在;)om(a+2h)-f(a+h) 存在 f(a+h)-f(a-h) 存在; D) lim f(a)-f(a-h) h 存在 h
3 (C) 充分必要条件; (D) 既非充分条件, 又非必要条件. (2) 设 f ( ) x 对于任意 x 的都有 f ( ) () −x fx = − , 且 0 f ′( ) −x k = − , 则 0 f x ′( ) (B) = . (A) k ; (B) −k ; (C) 1 k − ; (D) 1 k . (3) 曲线 3 yx x = − 3 上切线平行于 x 轴的点是( C ) . (A) (0,0) ; (B) (1,2) ; (C) ( 1,2) − ; (D) (0,2) . (4) 设 f ( ) x 为可导函数, 且满足 0 (1) (1 ) lim 1 x 2 f fx → x − − = − , 则曲线 y fx = ( ) 在点 (1, (1)) f 处的切线的斜率为( D ) . (A) 2 ; (B) 1− ; (C) 1 2 ; (D) 2− . (5) 设函数 f ( ) x 在区间( ,) −δ δ 内有定义, 若当 x∈( ,) −δ δ 时, 恒有 2 f ( ) x x ≤ , 则 x = 0 必是 f ( ) x 的( C ) . (A) 间断点; (B) 连续而不可导点; (C) 可导, 且 f ′(0) 0 = ; (D) 可导点, 且 f ′(0) 0 ≠ . (6) 设函数 2 1 , 1, ( ) 1 2, 1, x x f x x x ⎧ − ⎪ ≠ = ⎨ − ⎪ ⎩ = 则函数在 x =1处( A ) . (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导, 但导函数不连续; (D) 可导且导函数连续. (7) 设 2 e , 0, ( ) , 0, x x f x ax bx c x ⎪ ⎧ < = ⎨ ⎪⎩ ++ ≥ 且 f ′′(0)存在, 则( C ) . (A) 1 , 1, 1 2 a bc = = =− ; (B) 1 , 1 2 a bc = − == ; (C) 1 , 1 2 a bc = == ; (D) 1 , 1, 1 2 a bc = − =− = . (8) 设 f ( ) x 在 x = a 的某邻域内有定义, 则 f ( ) x 在 x = a 处可导的一个充分条 件是( D ) . (A) 1 lim [ ( ) ( )] x hf a fa →+∞ h + − 存在; (B) 0 ( 2) ( ) lim h f a h fa h → h + − + 存在; (C) 0 ( )( ) lim h 2 f a h fa h → h +− − 存在; (D) 0 () ( ) lim h f a fa h → h − − 存在
解(1)根据有关概念与定理,应选B (2)方程f(-x)=-f(x)两边对x求导,得 f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x) 所以f(x0)=f(-x)=-k,故应选B (3)由题意知,在切点处y=3x2-3=0,从而x=±1,切点为(1,-2)或(-1,2), 故应选C (4)f=lmm-x)-f02m2)-/-x)=2,故应选D 2. (5)0≤|(x)≤x2,所以f(O)=0,由夹逼准则知,lmf(x)=0,故而f(x)在 x=0处连续.由于 0s(x)-f0 由夹逼准则知,f(O)=m(x)-f0)=0,故应选C 60m+0=lmx2-1=2, x→1x-1 所以f(x)在x=1处不连续,故应选A (7)由题意知,f(x)在x=0处连续,有 c=f(0)=f(0-0)=1 ∫(0)=linf(x)-1(0)1c-1=s f(O= lim f(x)-f(o)= lim+bx+1-=b 由于∫"0)存在,所以∫(O)=(0),从而b=1 f(x)= 2ax+1,x>0 2ax+1-1 A(0)=lim
4 解 (1) 根据有关概念与定理, 应选 B. (2) 方程 f ( ) () − =− x fx 两边对 x 求导, 得 − − =− f ′ ′ ( ) () x fx , 即 f ′( ) () −x fx = ′ , 所以 0 0 f ′ ′ () ( ) x fx k = − =− , 故应选 B. (3) 由题意知, 在切点处 2 y x ′ = 3 30 − = , 从而 x = ±1 , 切点为(1, 2) − 或( 1, 2) − , 故应选 C. (4) 0 0 (1 ) (1) (1) (1 ) (1) lim 2 lim 2 x x 2 f xf f f x f → → x x −− − − ′ = = =− − , 故应选 D. (5) 2 0 () ≤ ≤ f x x , 所以 f (0) 0 = , 由夹逼准则知, 0 lim ( ) 0 x f x → = , 故而 f ( ) x 在 x = 0 处连续. 由于 2 ( ) (0) ( ) 0 0 fx f fx x x x xx − ≤ = ≤= − , 由夹逼准则知, 0 ( ) (0) (0) lim 0 x 0 fx f f → x − ′ = = − , 故应选 C. (6) 2 1 1 (1 0) lim 2 x 1 x f x → + − += = − , 2 1 ( 1) (1 0) lim 2 x 1 x f x → − − − − = =− − , 所以 f ( ) x 在 x =1处不连续, 故应选 A. (7) 由题意知, ( ) f x 在 x = 0 处连续, 有 cf f = (0) (0 0) 1 = −= , 0 00 ( ) (0) e 1 (0) lim lim lim 1 0 x x xx fx f x f x xx − → →→ − −− − − ′ = = == − , 2 0 0 ( ) (0) 1 1 (0) lim lim x x 0 f x f ax bx f b x x + → → + + − + +− ′ == = − , 由于 f ′′(0)存在, 所以 f f (0) (0) + − ′ ′ = , 从而b =1 . e , 0, ( ) 2 1, 0, x x f x ax x ⎧⎪ ≤ ′ = ⎨ ⎪⎩ + > 0 0 e 1 (0) lim lim 1 x x x x f x x − → → − − − ′′ = = = , 0 2 11 (0) lim 2 x ax f a x + → + + − ′′ = =
由于f()存在,因而∫0)=/0),得a1,故应选C (8)由于f(a)=lim f(a-h)-f(a) f(a)-f(a 故应选D 3.设f(x)和g(x)是在(-∞,+∞)上有定义的函数,且具有如下性质 (1) f(x+y=f(x)(y)+f()g(x) (2)f(x)和g(x)在点x=0处可导,且已知f(0)=0,g(0)=1 证明:f(x)在(-∞,+∞)上可导 证对于任意的x∈(-∞,+∞), f(x)slim f(x+h)-f()== lim(x)g(h)+/(h)g(x)-f(r) h f(x[g(h)-g(0)]+/(h)g(x)-f(0)8(x) imf(x)g'(0)+g(x)f(0) 所以f(x)在(-∞,+∞)上可导 4.设f(x) 求∫(x 解(1)x>a时,f(x)=(2x-a)= (2)x<a时,f(x)=(2a-)=-2ln2 x=a ∫(a)=lim +(x-a)ln2-1 =In 2 x→ax-ax→ax-a ∫(a)=l 所以f(x)在x=a处不可导 5.求下列函数的导数 解(1)y
5 由于 f ′′(0)存在, 因而 f f (0) (0) + − ′′ ′′ = , 得 1 2 a = , 故应选 C. (8) 由于 0 0 ( ) () () ( ) ( ) lim lim h h f a h fa fa fa h f a → → h h −− − − ′ = = − , 故应选 D. 3. 设 f ( ) x 和 g( ) x 是在(,) −∞ +∞ 上有定义的函数, 且具有如下性质: (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f xgy f ygx += + ; (2) ( ) f x 和 g( ) x 在点 x = 0 处可导, 且已知 f g (0) 0, (0) 1 = = . 证明: ( ) f x 在(,) −∞ +∞ 上可导. 证 对于任意的 x∈ −∞ +∞ (,) , 0 0 ( ) () ()() ()() () ( ) lim lim h h f x h f x f xgh f hgx f x f x → → h h +− + − ′ = = [ ] 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) lim h f x gh g f hgx f gx → h −+ − = 0 lim ( ) (0) ( ) (0) h f xg gx f → = + ′ ′ . 所以 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 上可导. 4. 设 () 2a x f x − = , 求 f ′( ) x . 解 (1) x > a 时, ( ) (2 ) 2 ln 2 xa xa f x − − ′ ′ = = . (2) x < a 时, ( ) (2 ) 2 ln 2 ax ax f x − − ′ ′ = =− . (3) x = a 时, ( )ln 2 2 1 1 1 ( )ln 2 1 ( ) lim lim lim ln 2 xa xa xa xa xa e xa f a xa xa xa ++ + − − + →→ → − − +− − ′ == = = −− − , ( )ln 2 2 1 1 1 ( )ln 2 1 ( ) lim lim lim ln 2 ax ax xa xa xa e ax f a xa xa xa −− − − − − →→ → − − +− − ′ = = = =− −− − . 所以 f ( ) x 在 x = a 处不可导. 5. 求下列函数的导数: (1) 1 tan 1 e sin x y x = ; (2) 2 ln(e 1 e ) x x y = ++ ; (3) 1 2 3 1 5 2 ( 5) ( 4) ( 2) ( 4) x x y x x + − = + + ; (4) 2 3 cos (1 ) x y x = + ; 解 (1) 1 1 tan tan 2 2 2 11 1 11 e sec ( )sin e cos ( ) x x y xx x x x ′ = −+ −