总人口(x)及其位次 社会总产量(y)及其位次 位次差的平方 省(市、区) 人口数(万人)|位次R1总产值(亿元)位次R d2=(Rn-R2)2 天津 河北 5548 715.30 山西 内蒙 252.53 辽宁 79220 64 吉林 黑龙江 上海 江苏 6213 1536.66 浙江 869.26 安徽 5156 福建 江西 山东 1240.17 河南 7713 08833296 湖北 806.42 289u 湖南 5622 634.62 广东 l113.92 广西 3873 II 四 贵州 西藏 52四 陕西 343.05 甘肃 2041 74968 232.68 24 青海 宁夏 415 新疆 28 104532 17193.71 表2-4等级相关系数检验的临界值
总人口(x)及其位次 社会总产量(y)及其位次 省(市、区) 人口数(万人) 位次 R1 总产值(亿元) 位次 R2 位次差的平方 d R R i i i 2 1 2 2 = ( - ) 北京 960 25 482.10 14 121 天津 808 26 431.92 15 121 河北 5548 7 715.30 10 9 山西 2627 19 404.40 17 4 内蒙 2007 22 252.53 23 1 辽宁 3686 12 1076.53 4 64 吉林 2298 20 422.24 16 16 黑龙江 3311 15 629.79 12 9 上海 1217 24 1055.83 5 361 江苏 6213 5 1536.66 1 16 浙江 4032 10 869.26 7 9 安徽 5156 8 577.83 13 25 福建 2713 18 345.30 19 1 江西 3460 13 363.03 18 25 山东 7965 3 1240.17 2 1 河南 7713 2 815.51 8 36 湖北 4913 9 806.42 9 0 湖南 5622 6 634.62 11 25 广东 6253 4 1113.92 3 1 广西 3873 11 315.69 21 100 四川 10183 1 1046.11 6 25 贵州 2968 17 216.84 25 64 云南 3406 14 289.26 22 64 西藏 199 29 22.24 29 0 陕西 3002 16 343.05 20 16 甘肃 2041 21 232.68 24 9 青海 407 28 54.95 27 1 宁夏 415 27 51.45 28 1 新疆 1361 23 186.50 26 9 ∑ 104532 / 17193.71 / 1134 表 2-4 等级相关系数检验的临界值
显著水平a 0.05 0.01 0.0 0.01 68L99秒u 1.000 0.425 0.601 0.829 0.943 0.377 0.534 0.714 0.508 0.643 0.833 0.485 0.6 0.783 4680 0.465 10 0.564 0.746 0.317 0.448 12 0.506 0.712 0.306 0.432 0.456 0.645 平,表中的数值为临界值r。在上例中,n=29,表中没有给出相应的样 本数下的临界值r,但我们发现,在同一显著水平下,随着样本数的增大 临界值r。减少。在n=28时,查表可知:ro.05=0.317,ro01=0.448,由于 x=0.726>r0.01=0.448,故r′x在a=0.01的置信水平上是显著的 多要素间相关程度的测定 (一)偏相关系数的计算与检验 地理系统是一种多要素的复杂巨系统,其中一个要素的变化必然影响到 其它各要素的变化。在多要素所构成的地理系统中,当我们研究某一个要素 对另一个要素的影响或相关程度时,把其它要素的影响视为常数(保持不 变),即暂不考虑其它要素的影响,而单独研究那两个要素之间的相互关系的 密切程度时,则称为偏相关。用以度量偏相关程度的统计量,称为偏相关系 数 1.偏相关系数的计算 偏相关系数,可利用单相关系数来计算。假设有三个要素x1,x2,x3, 其两两间单相关系数矩阵为 R 因为相关系数矩阵是对称的,故在实际计算时,只要计算出r12,r13和r23 即可。在偏相关分析中,常称这些单相关系数为零级相关系数。对于上述三 个要素x1,x2,X3,它们之间的偏相关系数共有三个,即r12.3,r13.2,r23 (下标点后面的数字,代表在计算偏相关系数时,保持不变量,如r12.3即 表示x3保持不变),其计算公式分别如下
显著水平 a 显著水平 a n 0.05 0.01 n 0.05 0.01 4 5 6 7 8 9 10 12 14 1.000 0.900 0.829 0.714 0.643 0.600 0.564 0.506 0.456 1.000 0.943 0.893 0.833 0.783 0.746 0.712 0.645 16 18 20 22 24 26 28 30 0.425 0.399 0.377 0.359 0.343 0.329 0.317 0.306 0.601 0.564 0.534 0.508 0.485 0.465 0.448 0.432 平，表中的数值为临界值 ra。在上例中，n=29，表中没有给出相应的样 本数下的临界值 ra，但我们发现，在同一显著水平下，随着样本数的增大， 临界值 ra 减少。在 n=28 时，查表可知：r0.05=0.317，r0.01=0.448，由于 r ′xy=0.726＞r0.01=0.448，故 r′xy在 a=0.01 的置信水平上是显著的。 二、多要素间相关程度的测定 （一)偏相关系数的计算与检验 地理系统是一种多要素的复杂巨系统，其中一个要素的变化必然影响到 其它各要素的变化。在多要素所构成的地理系统中，当我们研究某一个要素 对另一个要素的影响或相关程度时，把其它要素的影响视为常数（保持不 变)，即暂不考虑其它要素的影响，而单独研究那两个要素之间的相互关系的 密切程度时，则称为偏相关。用以度量偏相关程度的统计量，称为偏相关系 数。 1.偏相关系数的计算 偏相关系数，可利用单相关系数来计算。假设有三个要素 x1，x2，x3， 其两两间单相关系数矩阵为 R r r r r r r r r r r r r r r r = é ë ê ê ê ù û ú ú ú = é ë ê ê ê ù û ú ú ú 11 12 13 21 22 23 31 32 33 12 13 21 23 31 32 1 1 1 因为相关系数矩阵是对称的，故在实际计算时，只要计算出 r12，r13 和 r23 即可。在偏相关分析中，常称这些单相关系数为零级相关系数。对于上述三 个要素 x1，x2，x3，它们之间的偏相关系数共有三个，即 r12·3，r13·2，r23·1 （下标点后面的数字，代表在计算偏相关系数时，保持不变量，如 r12·3 即 表示 x3保持不变)，其计算公式分别如下：
√(-rXr-2) r 325-201- √(1-r21-r) 式(5)—(7)表示三个偏相关系数,称为一级偏相关系数。 若有四个要素X1,X2,X3,X4,则有六个偏相关系数,即r12:34,r13,24 r14.23,r23.14,r24.1,r34.12,它们称为二级偏相关系数,其计算公式分 别如下 「24.3) r14 √-r2.)-r )(1 Va- 4·13 (12) (1-r2.)(1-r2.,) 34·1-F2 r2 32·1142·1 r (13) 在式(8)中,r12.34表示在x3和x4保持不变的条件,x1和x2的偏相关 系数,其余式(9)-(13)依此类推。 应所考虑的要素多于四个时,则可以依次考虑,计算三级甚至更多级偏 相关系数。 假若,对于某四个地理要素X1,X2,X3,X4的23个样本数据,经过计算 得到了如下的单相关系数矩阵 0416 03460579 0.4161 0346 -0469 「4 0579 0950 为了说明偏相关系数的计算方法,现以(14)式中的单相关系数为例,来 计算一级和二级偏相关系数。为了计算二级偏相关系数,需要先计算一级偏 相关系数,由(5)式可求得
r r r r r r r r r r r r r 12 3 12 13 23 13 2 23 2 13 2 13 12 23 12 2 23 2 1 1 1 7 · · · = - - - = - - - ( )( ) ( ( )( ) ( ( ) 5) 6) r = r - r r (1- r )(1 - r ) 23 1 23 12 13 12 2 13 2 式（5)—（7)表示三个偏相关系数，称为一级偏相关系数。 若有四个要素 X1，X2，X3，X4，则有六个偏相关系数，即 r12·34，r13·24， r14·23，r23·14，r24·12，r34·12，它们称为二级偏相关系数，其计算公式分 别如下： r r r r r r r r r r r r 12 34 12 3 14 3 24 3 14 3 2 24 3 2 13 24 13 2 14 2 34 2 14 2 2 34 2 2 1 1 8 1 1 9 · · · · · · · · · · · · = - - - = - - - ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) r r r r r r r r r T r r 14 23 14 2 13 2 43 2 13 2 2 43 2 2 23 14 23 1 24 1 34 1 24 1 2 34 1 2 1 1 1 1 · · · · · · · · · · · · （ ） （ ） = - - - = - - - ( )( ) ( )( ) 10 11 r r r T r r r r r T r r 24 13 24 1 23 1 43 1 23 1 2 43 1 2 34 12 34 1 32 1 42 1 32 1 2 42 1 2 1 1 1 1 · · · · · · · · · · · · （ ） （ ） = - - - = - - - ( )( ) ( )( ) 12 13 在式（8)中，r12·34表示在 x3和 x4 保持不变的条件，x1 和 x2 的偏相关 系数，其余式（9)—（13)依此类推。 应所考虑的要素多于四个时，则可以依次考虑，计算三级甚至更多级偏 相关系数。 假若，对于某四个地理要素 X1，X2，X3，X4的 23 个样本数据，经过计算 得到了如下的单相关系数矩阵： R r r r r r r r r r r r r r r r r = é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú = - - - - - é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 1 0 416 0 346 0 579 0 416 1 0 592 0 950 0 346 0 592 1 0 469 0 579 0 950 0 469 1 . . . . . . . . . . . . 为了说明偏相关系数的计算方法，现以（14)式中的单相关系数为例，来 计算一级和二级偏相关系数。为了计算二级偏相关系数，需要先计算一级偏 相关系数，由（5)式可求得
0416-0346×(-0592) 23√-)1-r)√1-0346 ==0821 62)(1-0592) 同理,依次可以计算出其它各一级偏相关系数,见表2-5。 表2-5一级偏相关系数 r12·3 13·2 24·1 0.821|0.880.6470.895-0.8630.9560.945 0.875 0.37 在一级偏相关系数求出以后,便可代入公式计算二级偏相关系数,如由 (8)式计算可得 r 14.324 0821-0895×0945 0170 (1-08952)1-094 同理,依次可计算出其它各二级偏相关系数,见表2-6 表2-6二级偏相关系数 rI r13·2 r14 r24·13 r 0.170 0.802 0.635 -0.187 0.82 0.337 容易看出,偏相关系数具有下述性质: (1)偏相关系数分布的范围在-1到1之间,譬如,固定X3,则X1与Ⅹ2 间的偏相关系数满足-1≤r123≤1。当r12.3为正值时,表示在X3固定时 X1与X2之间为正相关;当r12.3为负值时,表示在X3固定时,X1与X2之间为 负相关。 (2)偏相关系数的绝对值越大,表示其偏相关程度越大。例如,|r123 1,则表示当X3固定时,X1与X2之间完全相关;当|r12.3|=0时,表示当 3固定时,X1与X2之间完全无关。 (3)偏相关系数的绝对值必小于或最多等于由同一系列资料所求得的复 相关系数(详见后述),即R1,23≥|r12.3|。 2.偏相关系数的显著性检验 偏相关系数的显著性检验,一般采用t-检验法。其统计量计算公式为 12·3…m 1=-2, n-m一 (15) 在(15)式中,r12.34-m为.偏相关系数,n为样本数,m为自变量个数。 譬如,对于前述计算得到的偏相关系数r24.13=0.821,由于n=23,m=3, 故
r r r r r r 12 3 12 13 23 13 2 23 2 2 2 1 1 0 416 0346 0592 1 0346 1 0592 0821 · × = - - - = - - - - = ( )( ) . . ( . ) ( . )( . ) . 同理，依次可以计算出其它各一级偏相关系数，见表 2-5。 表 2-5 一级偏相关系数 r12 · 3 r13 · 2 r14 · 2 r14 · 3 r23 · 1 r24 · 1 r24 · 3 r34 · 1 r34 · 0.821 0.808 0.647 0.895 -0.863 0.956 0.945 -0.875 0.371 在一级偏相关系数求出以后，便可代入公式计算二级偏相关系数，如由 （8)式计算可得 r r r r r r 12 34 12 3 14 3 24 3 14 3 2 24 3 2 2 2 1 1 0821 0895 0945 1 0895 1 0945 · 0170 · · · · · × = - - - = - - - = ( )( ) . . . ( . )( . ) . 同理，依次可计算出其它各二级偏相关系数，见表 2-6。 表 2-6 二级偏相关系数 r12 · 34 r13 · 24 r14 · 23 r23 · 14 r24 · 13 r34 · 12 -0.170 0.802 0.635 -0.187 0.821 -0.337 容易看出，偏相关系数具有下述性质： （1)偏相关系数分布的范围在-1 到 1 之间，譬如，固定 X3，则 X1 与 X2 间的偏相关系数满足-1≤r12·3≤1。当 r12·3为正值时，表示在 X3 固定时， X1与 X2之间为正相关；当 r12·3为负值时，表示在 X3固定时，X1与 X2之间为 负相关。 （2)偏相关系数的绝对值越大，表示其偏相关程度越大。例如，｜r12·3｜ =1，则表示当 X3固定时，X1与 X2之间完全相关；当｜r12·3｜=0 时，表示当 X3固定时，X1与 X2之间完全无关。 （3)偏相关系数的绝对值必小于或最多等于由同一系列资料所求得的复 相关系数（详见后述)，即 R1·23≥｜r12·3｜。 2.偏相关系数的显著性检验 偏相关系数的显著性检验，一般采用 t-检验法。其统计量计算公式为 t r r n m m m = - - - 12 34 12 34 2 1 1 · … · … （15） 在（15)式中，r12·34…m为偏相关系数，n 为样本数，m 为自变量个数。 譬如，对于前述计算得到的偏相关系数 r24·13=0.821，由于 n=23，m=3， 故
0.821 1=6268 -0821 查t分布表,可得出不同显著水平上的临界值t,若t>t。则表示偏相关显 著;反之,t<ta,则偏相关不显著。在自由度为23-3-1=19时,查表得 to.003.883,所以t>ta,这表明在置信度水平a=0.001上,偏相关系数r243 是显著的 (二)复相关系数的计算与检验 严格来说,以上的分析都是揭示两个要素(变量)间的相关关系,或者是 在其它要素(变量)固定的情况下来研究两要素间的相关关系的。但实际上 一个要素的变化往往受多种要素的综合作用和影响,而单相关或偏相关分析 的方法都不能反映各要素的综合影响。要解决这一问题,就必须采用研究几 个要素同时与某一个要素之间的相关关系的复相关分析法。几个要素与某 个要素之间的复相关程度,可用复相关系数来测定。 1.复相关系数的计算 复相关系数,可以利用单相关系数和偏相关系数求得。 设Y为因变量,X1,X2,…,X为自变量,则将Y与X1,X2,…,X之 间的复相关系数记为R12…。其计算公式如下 当有两个自变量时, R ryt (16) 当有三个自变量时, 小-(1-)X1-t2X1- (17) 一般地,当有k个自变量时, 1-(1-)(1-r2.) (18) 以(14)式所描述的四个地理要素之间的相互关系为例,若以X4为因变 量,X1,X2,X3为自变量,则可以按下式计算X4与X1,X2,X3之间的复相关 系数 R4,13=√1-(1-r)(1-r2.X-r3.n) 1-(057921-09562)-(-0337)]=0974 关于复相关系数的性质,可以概括为如下几点 (1)复相关系数介于0到1之间,即 0≤R.12…k≤1 (1)复相关系数越大,则表明要素(变量)之间的相关程度越密切。复相 关系数为1,表示完全相关;复相关系数为0,表示完全无关。 (3)复相关系数必大于或至少等于单相关系数的绝对值。 2.复相关系数的显著性检验 对复相关系数的显著性检验,一般采用F-检验法。其统计量计算公式为 F I-R (19) k
t = - - - = 0 821 1 0 821 23 3 1 6 268 2 . . . 查 t 分布表，可得出不同显著水平上的临界值 ta，若 t＞t。则表示偏相关显 著；反之，t＜ta，则偏相关不显著。在自由度为 23-3-1=19 时，查表得 t0.001=3.883，所以 t＞ta，这表明在置信度水平 a=0.001 上，偏相关系数 r24·13 是显著的。 （二)复相关系数的计算与检验 严格来说，以上的分析都是揭示两个要素（变量)间的相关关系，或者是 在其它要素（变量)固定的情况下来研究两要素间的相关关系的。但实际上， 一个要素的变化往往受多种要素的综合作用和影响，而单相关或偏相关分析 的方法都不能反映各要素的综合影响。要解决这一问题，就必须采用研究几 个要素同时与某一个要素之间的相关关系的复相关分析法。几个要素与某一 个要素之间的复相关程度，可用复相关系数来测定。 1.复相关系数的计算 复相关系数，可以利用单相关系数和偏相关系数求得。 设 Y 为因变量，X1，X2，…，Xk为自变量，则将 Y 与 X1，X2，…，Xk 之 间的复相关系数记为 Ry·12…k。其计算公式如下 当有两个自变量时， R r r y·12 y1 y · 2 2 1 2 = 1- (1- )(1- ) (16) 当有三个自变量时， R r r r y·123 y1 y · y · 2 2 1 2 3 12 2 = 1- (1- )(1- )(1- ) (17) 一般地，当有 k 个自变量时， R r r r y·12-k = 1- (1- y 2 1 )(1- y 2 2·1 )…[1- yk 2 ·12…(k -1) ] （18） 以（14)式所描述的四个地理要素之间的相互关系为例，若以 X4 为因变 量，X1，X2，X3为自变量，则可以按下式计算 X4与 X1，X2，X3之间的复相关 系数 R r r r 4 123 41 2 42 1 2 43 12 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 579 1 0 956 1 0 337 0 974 · · · = - - - - = - - - - = ( )( )( ) ( . )( . )[ ( . ) ] . 关于复相关系数的性质，可以概括为如下几点： （1)复相关系数介于 0 到 1 之间，即 0≤Ry·12…k≤1 （1)复相关系数越大，则表明要素（变量)之间的相关程度越密切。复相 关系数为 1，表示完全相关；复相关系数为 0，表示完全无关。 （3)复相关系数必大于或至少等于单相关系数的绝对值。 2.复相关系数的显著性检验 对复相关系数的显著性检验，一般采用 F-检验法。其统计量计算公式为 F R R n k k y k y k = - · … - - · … × 12 2 12 2 1 (19)