和coLc 图4-2 2.系统的根轨迹在复平面上的一部分是一个以有限零点-1为圆心,以有限零点到分 离点的距离为半径的圆,如T图4-3所示。 T图4-3 系统的闭环传递函数为 GB(s)= 10(s+1) 10(S+1)10(s+1) )+10(s+1)s2+7s+10(s+2)(s+5) 对于单位阶跃函数,系统的输出响应为 Y(s)= 10(s+1) s(S+2)(s+5) 其拉氏反变换为 y()=1+1.67e2-267e5 (t≥0) 单位阶跃响应曲线如T图4-4所示
·108· T 图 4－2 2. 系统的根轨迹在复平面上的一部分是一个以有限零点-1 为圆心，以有限零点到分 离点的距离为半径的圆，如 T 图 4-3 所示。 T 图 4－3 系统的闭环传递函数为 ( 3) 10( 1) 10( 1) ( ) s s s s G s B = 7 10 10( 1) 2 s s s = ( 2)( 5) 10( 1) s s s 对于单位阶跃函数，系统的输出响应为 ( 2)( 5) 10( 1) ( ) s s s s Y s 其拉氏反变换为 y(t)=1+1.67e－2t－2.67e－5t （t 0） 单位阶跃响应曲线如 T 图 4-4 所示
T图4-4 由图可见,当时间为04秒时,超调量为40%‰。系统随无振荡特性,但由于系统存在 s=-1零点,所以响应有超调现象 G(S)H(s) K(0.5:)K(s+2) s(0.25+1)(0.5s+1)s(S+2)(S+4) 式中, K=4K 渐近线与实轴的夹角为g=±90°,交点为on=2 根轨迹的分离点d=2。 根轨迹如T图4-5所示。 T图4-5 当ξ=0.707时,作等阻尼比线交根轨迹于A点,求得此时的闭环极点为 S12=-2±j2相应的K=2,K*=8 闭环传递函数为
·109· T 图 4－4 由图可见，当时间为 0.4 秒时，超调量为 40%。系统随无振荡特性，但由于系统存在 s=-1 零点，所以响应有超调现象。 3. (0.25 1)(0.5 1) (0.5 1) ( ) ( ) s s s K s G s H s = ( 2)( 4) ( 2) * s s s K s 式中， K*=4K 渐近线与实轴的夹角为 = 0 90 ，交点为 =-2。 根轨迹的分离点 d=-2。 根轨迹如 T 图 4-5 所示。 T 图 4－5 当 =0.707 时 ， 作 等 阻 尼 比 线 交 根 轨 迹 于 A 点 ， 求 得 此 时 的 闭 环 极 点 为 2 2 1.2 s j 相应的 K 2,K* 8 闭环传递函数为
2 s(0.25s+1)(0.5+1) 1+ 2(0.25s+1) (s+2(s+2+j2(s+2-j2) (0.25s+1)(0.5s+1) 系统阶跃响应的拉氏变换为 S C(s)=(s)R(s)= s+2 +4s+8 有拉氏反变换的阶跃响应 c(=1()-2c2-√2esin(2t-45°) 单位阶跃响应曲线如T图4-6所示 T图4-6 注意:当开环传递函数中有零点相消时,由此求出的根轨迹并不能反映系统所有的 闭环极点,消去的开环极点也是闭环极点,应该将其增加进去,因为在消去的开环极点 处,有一支根轨迹的起点与终点重合,且根轨迹的变化与K值无关 k(s-2 G(s) 式中 k=K/4 由分离点方程 +dd-0.5d-2 解得d=-0.182。 系统的特征方程 D(s)=(1+k)s2+(1.5-k)+4k-1=0 由劳斯判据,解得根轨迹与虚轴的交点s=0,sz≥=±0.603,相应地,k'=0.25,k2=1.5, 根轨迹如T图4-7所示
·110· (s)= (0.25 1)(0.5 1) 2(0.25 1) 1 (0.25 1)(0.5 1) 2 s s s s s s s = ( 2)( 2 2)( 2 2) 16 s s j s j 系统阶跃响应的拉氏变换为 C(s)= (s)R(s)= 2 4 8 1 2 2 s s s s s 有拉氏反变换的阶跃响应 c(t)=1(t)－2e－2t－ 2 e－2tsin（2t－45 ） 单位阶跃响应曲线如 T 图 4-6 所示。 T 图 4-6 注意：当开环传递函数中有零点相消时，由此求出的根轨迹并不能反映系统所有的 闭环极点，消去的开环极点也是闭环极点，应该将其增加进去，因为在消去的开环极点 处，有一支根轨迹的起点与终点重合，且根轨迹的变化与 K 值无关。 4. （1） ( 2)( 0.5) ( 2) ( ) * 2 s s k s G s 式中 k *=K/4 由分离点方程 2 2 0.5 1 2 1 d d d ，解得 d=－0.182。 系统的特征方程 D(s)=(1+k *)s 2+(1.5－k *)s+4k *－1=0 由劳斯判据，解得根轨迹与虚轴的交点 s1=0，s2= 0.603，相应地，k1 *=0.25，k2 *=1.5， 根轨迹如 T 图 4-7 所示
T图4-7 (2)由根轨迹知,若系统稳定,则0.25(k*〈1.5,即1《K(6。 (3)系统的静态位置误差系数 Kp=linG(s)=-K 在系统稳定的范围内, 0.2 1+K 1-K1-6 5.系统的开环传递函数为 G(SH(S) K(TS +1) s(s+3) 系统的特征方程为 D(s)=s2+(3+K7)s+K 令D(s)=(s-2-/√10Xs-2+j10)=s2-4+14,比较系数得K=14,7=05 将7=-0.5代入开环传递函数中有 G(SH(S K(-0.5s+1)-0.5K(s-2) s(s+ S(s+3) 当K从零到无穷变化时应按0°根轨迹规则画图 由根轨迹的分离点方程 解得 d-2 d2=5.16 根轨迹与虚轴的交点为s=j√6,k=6根轨迹如T图4-8所示。由图可知,系统稳定
·111· T 图 4－7 （2）由根轨迹知，若系统稳定，则 0.25〈k *〈1.5，即 1〈K〈6。 （3）系统的静态位置误差系数 K G s K s P lim ( ) 0 在系统稳定的范围内， 0.2 1 6 1 1 1 1 1 max min max K K e p ss 5. 系统的开环传递函数为 ( 3) ( 1) ( ) ( ) s s K Ts G s H s 系统的特征方程为 D(s)=s 2+(3+KT)s+K 令 ( ) ( 2 10)( 2 10) 4 14 2 D s s j s j s s ,比较系数,得K=14,T=-0.5 将 T=-0.5 代入开环传递函数中,有 ( 3) 0.5 ( 2) ( 3) ( 0.5 1) ( ) ( ) s s K s s s K s G s H s 当 K 从零到无穷变化时,应按 0 根轨迹规则画图。 由根轨迹的分离点方程 2 1 3 1 1 d d d ，解得 d1=－1.16, d2=5.16 根轨迹与虚轴的交点为 s j 6 , K=6,根轨迹如 T 图 4-8 所示。由图可知，系统稳定
的K值范围是0<K<6 T图4-8 6.(1)开环极点p=14,p2=1+,p3=-1-j 渐近线与实轴的夹角a= (2k+1)x=180° 3 渐近线与实轴的交点an=-16/3=-53 出射角 n1=180°-180°+ arctan-90°=856 2=180°-180°- arctan,+90|=-856 求根轨迹与虚轴的交点: 系统特征的方程为 (s+14)s2+2+2 根据劳斯判据可得 S3 1628+k 452-k 令k=452,由辅助方程16s2+28+k'=0,解得s=±5.48
·112· 的 K 值范围是 0<K<6. T 图 4－8 6. (1)开环极点 p1=-14，p2=-1+j， p3=-1-j 渐近线与实轴的夹角 60 180 60 3 2 1 （ k ） 渐近线与实轴的交点 16 /3 5.3 a 出射角 P1=180 － 90 13 1 180 arctan =85.6 p2 =180 － 90 13 1 180 arctan =－85.6 求根轨迹与虚轴的交点： 系统特征的方程为 (s+14)(s 2+2s+2)+k *=0 根据劳斯判据可得 s 3 1 30 s 2 16 28+k * s 1 16 452 * k s 0 28+k * 令 k *=452，由辅助方程 16s 2+28+k *=0，解得 s= j5.48