分布函数1.2以伽尔顿板实验为例说明设一定量的分子总数为NdN(x)表示分布在某区间x~x +dx内的分子数dN(x)/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）。dN(x)/N是x的函数，在不同区间附近取相等的间隔，此比率一般不相等当区间（间隔）足够小时（宏观小，微观大）dN（x）/N还应与区间的大小成正比
6 dN(x)表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。 以伽尔顿板实验为例说明。 设一定量的分子总数为N 当区间（间隔）足够小时（宏观小，微观大）， dN (x) /N还应与区间的大小成正比。 dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的间 隔，此比率一般不相等。 1.2 分布函数
因此有分布函数或物理意义：分子在x附近，单位区间的分子数占总分子数的比率，称为概率密度归一化条件归一化系数
7 因此有 dN(𝑥) 𝑁 = 𝑓(𝑥)dx 物理意义：分子在x 附近，单位区间的分子 数占总分子数的比率，称为概率密度。 分布函数 න dN(𝑥) 𝑁 = න 𝑓(𝑥)dx = 1 归一化条件 𝑓(𝑥) = dN(𝑥) 或 𝑁 ⋅ dx 若 dN(𝑥) 𝑁 = CF(𝑥)dx 𝐶 = 1 dx 𝐹(𝑥) 归一化系数
推广到三维的情况分布函数或物理意义：分子在x、V、z附近，单位区间的分子数占总分子数的比率，即概率密度归一化条件分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有麦克斯韦速度分布函数
8 推广到三维的情况 dN(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)dxdydz 物理意义：分子在x、y、z附近，单位区间 的分子数占总分子数的比率，即概率密度。 分布函数 න dN(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁 = න 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) dxdydz = 1 归一化条件 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = dN 或 𝑁 ⋅ dxdydz 分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数
力学量的平均值伽耳顿板演示结果表示，小球在槽中分布左右对称，在x=0处最多，当x→±oo时，f(x)一→0.由此我们可求出分布函数f(x)
9 න 𝑓(𝑥)dx = 1 𝑥LJ = xdN 𝑁 = න xf(𝑥)dx 𝑔(𝑥) = dN 𝑔(𝑥) 𝑁 = න 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)dx 伽耳顿板演示结果表示,小球在槽中分布左右对称，在x＝0处 最多，当x → ±时，f(x)→0.由此我们可求出分布函数f(x) xf(𝑥)|−∞ +∞ − න xf′(𝑥)dx = 1 ∴ − න xf′(𝑥)dx = 1 ∵ 𝑥LJ = 0 令 𝑥 2 = 𝜎 ∴ න [ 𝑥 2 𝜎 𝑓(𝑥) + xf′(𝑥)]dx = 0 ∴ 𝑓′(𝑥) = − 𝑥 𝜎 𝑓(𝑥) *力学量的平均值
1高斯分布高斯积分公式10
10 ∴ df(𝑥) dx = − 𝑥 𝜎 𝑓(𝑥) ∴ df(𝑥) 𝑓(𝑥) = − 𝑥 𝜎 dx ∴ 𝑓(𝑥) = Ce−𝑥 Τ 2 2𝜎 𝐶 = 1 �� −𝑥2Τ2𝜎dx = 1 2πσ ∴ 𝑓(𝑥) = 1 2πσ 𝑒 −𝑥 Τ 2 2𝜎 高斯分布 高斯积分公式 න 𝑒 −bx2 𝑥 2𝑀 dx = 1 2 𝜋 𝑏 , 𝑀 = 0