13 解：以小球为研究对象，分析受力 正方向器牛餐第二定快，列出小球动方 小球的运动在竖直方向 小球的加速度 a= dv_mg-B-Ky 最大加速度为 a=mg-B m 极限速度为： 片=m8-B 运动方程变为 dv K(vr-v) 分离变量，积分得到： m .v=Yr(-e") 作出速度时间函数曲线 物体在气体或液体中的沉降都存在极限速度 0.632 t=m/K, v=-1-e)=0.632 m/K 例题25有一密度为D的细，长度为1，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的 液体表面。现悬线剪断 求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性 解：以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图 棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。 当棒的最下端距水面距离为时x,浮力大小为 B=o'xe 此时棒受到的合外力为 mg-pxg =g(pl-p'x) 利用牛顿第二定律建立运动方程： m=g-p 要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间 ph dv=g(pl-p'x)dx 积分得到 2pgl-p'gl phy'=2pel-p'gp v= 2.3动量动量守恒定律 前面我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状态的变化与它所受 合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时效应外，还必须研究力的累积效
13 13 解：以小球为研究对象，分析受力： 小球的运动在竖直方向，以向下为正方向，根据牛顿第二定律，列出小球运动方程： 小球的加速度 最大加速度为 极限速度为： 运动方程变为 分离变量，积分得到： 作出速度-时间函数曲线： 物体在气体或液体中的沉降都存在极限速度 例题 2-5 有一密度为 的细棒，长度为 l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为 的 液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。 解：以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图 棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。 当棒的最下端距水面距离为时 x，浮力大小为 此时棒受到的合外力为： 利用牛顿第二定律建立运动方程： 要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间 积分得到 2.3 动量 动量守恒定律 前面我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状态的变化与它所受 合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时效应外，还必须研究力的累积效 T 1 v = vT (1− e ) = 0.632v − mg − B − R = ma m B R g m m mg B Kv t v a − − = = d d K mg B v − T = m mg B a − = m K v v t v ( ) d d T − = t m K v v v v t d d 0 0 T = − t m K v v v = − T T ln (1 ) T t m K v v e − = − t →, T v = v t = m / K, o m/ K v T v T 0.632v t B = xg F = mg − xg = g(l − x) x l B g m x o ( ) d d g l x t v m = − t x v g l x t v m d d ( ) d d = − lv d v = g(l − x)d x 2 2 2 lv = 2gl − gl gl gl v − = 2
14 应，也就要研究运动的过程。而时得必在一定的空间和时间内讲行，因而力的积累效应分 为力的空间积累和时间积累两类效应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量 将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。 (1)力的空间累计效应：功、能： (2)力的时间紫计效应：冲量、动量： 一、质点的动量定理 1.(力的)冲量 由牛顿第二定律F=迎_d(m) .可得牛顿第二定律的微分形式Fdt=dp=d(v). 注意到低速宏观运动的范围内，m可视为不变，合外力F一般是时间的函数，则将上 式在t到的时间内积分得心FU)d1=P2-B=mm,-m 定义力在t1到的冲量为I=广F()d,注意冲量I是矢量，其方向与动量增量的方 向在不活喜 2. 动量定里 量的 )表述：即在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动 2)讨论 (a)动量的概念在上一章已经给出。其实 卡尔(RDE )于1644年入 它纯粹是描述物体机 道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量小的要难些：同样，要使质量相同的 商奔是在来合有先兴物机运动状态的变 (b)动量定理说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产生同 样的效果，即同样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力大时所需时间短些， 力小时所需时间长些 ,只要力的时间累积量即冲量一样，就能产生同样的动量增量。 动量定的章术 动过程中时刻政 镜皮物休的速度室定建法有镜使用程 向也可以占 (3)变质量物体的运动过程，用动量定理 技方便。 ● (4)只适用于惯性系，且与惯性系的选择 无关。 5)在国际单位制中，冲量的单位是： 4.冲力 常用 碰撞 作用时间很短的过程 过程中， 相互作用力往往很大而且随时间改变，即在极短： 时间 达到很大的量值，然后又急刷地下降为零，这种量值很大、变化很快、作用时间又很短的力 通常叫冲力。因为冲力是个变力，它随时间而变化的关系又比较难确定，所以冲力的瞬时值 很难测定，但过程的始末状态的动量却较易测定，如还能测定 碰撞所经历的时间，就可以估算冲力的平均值 图32平均冲力
14 14 t t 1 t 2 F O F 图 3-2 平均冲力 应，也就要研究运动的过程。而过程必在一定的空间和时间内进行，因而力的积累效应分 为力的空间积累和时间积累两类效应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量 将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。 （1）力的空间累计效应：功、能； （2）力的时间累计效应：冲量、动量； 一、质点的动量定理 1．（力的）冲量 由牛顿第二定律 t m t d d( ) d dp v F = = . 可得牛顿第二定律的微分形式 Fdt = dp = d(mv) . 注意到低速宏观运动的范围内，m 可视为不变，合外力 F 一般是时间的函数，则将上 式在 t1 到 t2 的时间内积分得 2 1 2 1 1 F( )d p p v v 2 t t t m m t = − = − . 定义力在 t1 到 t2 的冲量为 = 2 t I F 1 ( )d t t t ，注意冲量 I 是矢量，其方向与动量增量的方 向相同，并不保证与 F 同向。 2．（单个）质点的动量定理 （1）表述：即在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动 量的增量。 （2）讨论 （a）动量的概念在上一章已经给出。其实，动量的概念早在牛顿定律建立之前，由笛 卡尔（R. Descartes）于 1644 年引入，它纯粹是描述物体机械运动的一个物理量。由经验知 道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量小的要难些；同样，要使质量相同的 两辆车停下来，速度大的就要比速度小的难些。由此可见，在研究物体机械运动状态的改变 时，必须同时考虑质量和速度这两个因素，为此而引入了动量的概念。 （b）动量定理说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产生同 样的效果，即同样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力大时所需时间短些， 力小时所需时间长些。只要力的时间累积量即冲量一样，就能产生同样的动量增量。 （c）注意：过程量，累积量；瞬时量；状态量。 3．动量定理的意义和应用时的注意事项 （1）动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来，而忽略细节变化；即尽管外力在运 动过程中时刻改变着，物体的速度方向也可以逐点不同，但动量定理却总是遵守着。 （2）对于碰撞或冲击过程，牛顿第二定律无法直接使用，可以用动量定理求解； （3）变质量物体的运动过程，用动量定理 较方便。 （4）只适用于惯性系，且与惯性系的选择 无关。 （5）在国际单位制中，冲量的单位是： 即 4．冲力 动量定理常用于碰撞过程。例子，处理方 法将在后面介绍（学功、能后）。碰撞一般泛指 物体间相互作用时间很短的过程。 图 3-1 冲量 在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，即在极短的时间内，作用力迅速 达到很大的量值，然后又急剧地下降为零，这种量值很大、变化很快、作用时间又很短的力 通常叫冲力。因为冲力是个变力，它随时间而变化的关系又比较难确定，所以冲力的瞬时值 很难测定，但过程的始末状态的动量却较易测定，如还能测定 碰 撞 所 经 历 的 时 间 ， 就 可 以 估 算 冲 力 的 平 均 值 t t(s) 1 t 2 O 2 3 4 1 5 球 f(t) 台秤
F-Irar mv2-my t、-t, t、-t, 现生活中人们堂常为利用冲力而增大冲力有时又为幕鱼冲力成损害而少冲力 如，利用冲床冲压钢板，由于冲头受到钢板给它的冲量的作用， 冲头的动量很快地减为零 相应的冲力很大，因此锅板所受的 反作用冲力也同样很大，所以钢板就被冲断了。 当人们用手去接对方抛来的篮球时，手要往后缩一缩，以延长作用时间从而缓冲篮球对 手的冲力。 【思考】冲量的方向是否与作用力的方向相同？ (1)如果F是一个方向不变，大小变的变力，那末冲量I方向与F方向相同，冲量I 大小由外力大小和外力持续作用时间决定。如右图所示，冲量大小等于图中曲线下的面积或 系于平均冲力F下的面积。I=Fd=F(t2-1) (2)如果F是一个方向和大小都变的变力，那末冲量1的大小和方向是由这段时间内所有 微分冲量Ft的矢量总和所决定， 5.动量定理的分量式：（直角坐标系中》 I,=[F,(t)dt mva mvi,I =[F (t)dt =mvzy -mvy, I:=[F:(t)dt mvz:-mvis. 、质点系的动量定理 物体m与质元 m在t时刻的速度以及在t+d时刻合并后的共同速度如图所示 把物体与质元作为系统考虑】 初始时刻m+dmi +d 对系统利用动量定理 (m+dm+d)-mv-dmu=Fdr mdv+dmd+dn Fdr 略去二阶小量，两端除止 d（m)-dmi=f 当dm取时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射 ”dm为尾气推力 di 例1： 长为1，密度均匀的柔软链条 其单位长 将其卷成 堆放在地面上 ：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系 t时刻，系统总动量 d山 dr =v+ax
15 15 2 1 2 1 2 1 2 1 d t t m m t t t t t − − = − = v v F F . 现实生活中人们常常为利用冲力而增大冲力，有时又为避免冲力造成损害而减少冲力。 如，利用冲床冲压钢板，由于冲头受到钢板给它的冲量的作用，冲头的动量很快地减为零， 相应的冲力很大，因此钢板所受的 反作用冲力也同样很大，所以钢板就被冲断了。 当人们用手去接对方抛来的篮球时，手要往后缩一缩，以延长作用时间从而缓冲篮球对 手的冲力。 【思考】 冲量的方向是否与作用力的方向相同？ （1）如果 F 是一个方向不变，大小变的变力，那末冲量 I 方向与 F 方向相同，冲量 I 大小由外力大小和外力持续作用时间决定。如右图所示，冲量大小等于图中曲线下的面积或 系于平均冲力 F 下的面积。 d ( ) 2 1 I = F t = F t −t . （2）如果 F 是一个方向和大小都变的变力，那末冲量 I 的大小和方向是由这段时间内所有 微分冲量 Fdt 的矢量总和所决定。 5．动量定理的分量式：（直角坐标系中） x x t t I x Fx t t mv mv 2 1 2 1 = ( )d = − ， y y t t I y Fy t t mv mv 2 1 2 1 = ( )d = − ， z z t t I z Fz t t mv mv 2 1 2 1 = ( )d = − . 二、 质点系的动量定理 物体 m 与质元 dm 在 t 时刻的速度以及在 t+dt 时刻合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为： 初始时刻 末时刻 对系统利用动量定理 略去二阶小量，两端除 dt 值得注意的是，dm 可正可负，当 dm 取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射 问题， 为尾气推力 例 1：一长为 l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为 ，将其卷成一堆放在地面上， 如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度 a 从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高 度为 x 时，求手提力的大小。 解：以链条为系统，向上为 X 正向，地面为原点建立坐标系 t 时刻，系统总动量 v u m +dm ( d )(v d v) m + m + m dm v u t t +dt m+dm v v +d F m m m m Fdt ( + d )(v + d v) − v − d u = m m m Fdt d v + d d v + d v = v u F − = t m m t d d ( ) d d u t m d d P = xv t xv t P d d( ) d d = t v x t x v d d d d = + = v + ax 2 F g (l − x) a O x X g x N
系统动量时间的变化率为： =2r+1r=3r F-ixg+N-(l-x)g=F-ixg F-g=dP」 dr =3ar 钢2列车得上装板列牛空时质鼠为类以造来川整直流入车每形清入 质量为α。假设列车与轨道间的摩擦系数为山，列车相对于地面的运动速度v2保持不变，求机 车的牵引力。 解：车和煤为系统向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。 tt+d时刻，dm=dt P(t)=(m+aa+adt.P(t+dt)=(m+aa+adt dP=P(t+dr)-P()=(V2-V )odr F+i+N+(m,+au馆=， =2-01 竖直 V> (mp+ad)g-N=-av N=av+(mo+at)g 水平F-f=a .F=av2+f =avz+L H(mo+ad)g+a(v2+L) 三、质点系的动量守恒定律 1.表达式： 当F=0,p=∑m,”=恒矢量 2.表述：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将 保持不变。 3.在直角坐标系中，其分量式为 p=∑m,a(F=0) P,=∑m,yw(F“=0) P:=∑m,ye(E“=0) 四、应用动量守恒定律的注意问题 1,在动量守恒定律中，系统的总动量不变，是指系统内各物体动量的矢量和不变，而 不是指其中 是合外力为零。但在外力比内力小得多的情况下，外力对质点 总动量变化影响其小来这时可以认为近似满足守恒条件 因为参与碰撞的物体的相互作用时间很短，相互作用内力很大，而一般的外力（如空气阻力、 摩擦力或重力)与内力比较可忽略不计，所以可认为物体系统的总动量守恒。 3.如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，那么， 系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的这对处理某些问题是很有用的， 4.动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛顿运动定律导出 6
16 16 O y m1 m2 y 图 3-5 系统动量对时间的变化率为： t 时刻，系统受合外力 根据动量定理，得到 例 2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为 m0,煤炭以速率 v1 竖直流入车厢,每秒流入 质量为 。假设列车与轨道间的摩擦系数为 ,列车相对于地面的运动速度 v2 保持不变,求机 车的牵引力。 解：车和煤为系统,向下为 Y 正向，向左为 X 正向，建立坐标系。 t→t+dt 时刻，dm = dt 竖直 水平 三、质点系的动量守恒定律 1．表达式： 当 = 0 ex F ， = = = n i mi i 1 p v 恒矢量。 2．表述：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将 保持不变。 3．在直角坐标系中，其分量式为 = = = = = = ( 0) ( 0) ( 0) ex z i iz z ex y i iy y ex x i ix x p m v F p m v F p m v F 其中 C1、C2 和 C3 均为恒量。 这个定律的重要性体现在实际应用上。 四、应用动量守恒定律的注意问题 1．在动量守恒定律中，系统的总动量不变，是指系统内各物体动量的矢量和不变，而 不是指其中某一个物体的动量不变。 2．系统动量守恒的条件是合外力为零。但在外力比内力小得多的情况下，外力对质点 系的总动量变化影响甚小，这时可以认为近似满足守恒条件。如碰撞、打击、爆炸等问题， 因为参与碰撞的物体的相互作用时间很短，相互作用内力很大，而一般的外力（如空气阻力、 摩擦力或重力）与内力比较可忽略不计，所以可认为物体系统的总动量守恒。 3．如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，那么， 系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的。这对处理某些问题是很有用的。 4．动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛顿运动定律导出 ax ax ax t P 2 3 d d = + = F − xg + N − (l − x)g = F − xg t P F xg d d − = = 3ax F = xg + 3xa 0 2 d 1 P( ) ( )v v t = m +t + t 0 2 P( d ) ( d )v t + t = m +t + t dP P(t dt) P(t) = + − ( ) dt v2 v1 = − F f N g ( ) 0 + + + m +t d 1 d t P = v2 v1 = − 0 1 (m +t)g − N = −v N =v1 + (m0 +t)g 2 F − f =v F = v + f 2 =v2 + N ( ) ( ) 0 2 1 = m +t g + v + v v1 v2 X Y g ( ) 0 m +t F f N
动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系 虽然动量守恒定律是由牛顿运动定律导出的，但它并不依靠牛顿运动定律。动量的概念 不仅适用于以速度运动的质点或粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量不再 能用这样的形式表示。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过 程，动量守恒定律成立：而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的 系统所发生的过程，如光子和电子的碰撞，光子转化为电子，电子转化为光子等等过程，只 要系统不受外界影响，它们的动量都是守恒的。所以动量守恒定律是物理学中最基本的普适 原理 如图所示，设炮 ,炮车和炮弹的质量分别为M和m, 在发射过程中 前系统在 重力和地面 。系统所受的 经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度u,按 速度变换定理为uv+V 它的水平分量为 u,=vcos0-V MV。根据动量守恒定理有 -MN+m(vcos8-V）=0 由此炮车的反冲流度为 V= m+cos0 例题3-9一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30ms沿相互垂直 的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向】 解物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可 认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即 a-180°-8 所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小 相等方向相反，如图所示 因为v和2相互垂直所以 .a=1350 m,=m2=m,m3=2m 所以 =+2=302+30=212m1s a=180°-0 1g0=业=10=45 ·.=1359 即和可及，都成135且三者都在同一平面内 例题3-10质量为m,和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静 止，相距为1。问他们将在何处相遇？ 解，把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。 建立如 坐标系。以两个小孩的中 为原点，向右为x轴为正方向。设开始时质量为 m1的小孩坐标为xo,质量为m2的小孩坐标为x0,他们在任意时刻的速度分别v为v2,相应
17 17 v m M m3v3 m2v2 m1v1 动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系。 虽然动量守恒定律是由牛顿运动定律导出的，但它并不依靠牛顿运动定律。动量的概念 不仅适用于以速度 运动的质点或粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量不再 能用这样的形式表示。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过 程，动量守恒定律成立；而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的 系统所发生的过程，如光子和电子的碰撞，光子转化为电子，电子转化为光子等等过程，只 要系统不受外界影响，它们的动量都是守恒的。所以动量守恒定律是物理学中最基本的普适 原理之一。 例题 3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为 M 和 m， 炮弹的出口速度为 v，求炮车的反冲速度 V。炮车与地面间的摩擦力不计。 解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持 力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的 外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。 经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 u ，按 速度变换定理为 u=v+V 它的水平分量为 于是，炮弹在水平方向的动量为 m(vcos -V)，而炮车在水平方向的动量为 -MV。根据动量守恒定理有 由此得炮车的反冲速度为 例题 3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度 30m/s 沿相互垂直 的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向） 解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可 认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即 所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小 相等方向相反，如图所示。因为 v1 和 v2 相互垂直所以 所以 即 和 及 都成 且三者都在同一平面内 例题 3-10 质量为 m1 和 m2 的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静 止，相距为 l。问他们将在何处相遇？ 解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为 x 轴为正方向。设开始时质量为 m1 的小孩坐标为 x10,质量为 m2 的小孩坐标为 x20，他们在任意时刻的速度分别 v1为 v2,相应 G = −N G = −N ux = vcos −V − MV + m(vcos −V) = 0 v cos m M m V + = = − 0 180 0 =135 m1 = m2 = m,m3 = 2m v v v 30 30 21.2m /s 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 = 1 + = + = = − 0 180 1, 45 , 0 1 2 = = = v v tg 0 = 135 0 v2 135 3 v 1 v