习题解答 习题一 111△1与山少有无不同和有无不同和出有无不同其不同在哪里 drdr drdt 试举例说明. 解：(1)△是位移的模，△r是位矢的模的增量，即A=5-小，少=-： 告只是地度在格向上的分配 式中出线是速度径向上的分量。 做部普不意国新不 0 题1-1图 回留表不如速度的品，即闭岛出是加建度在切响上的分程 :有v=v(行表轨道节线方向单位矢)，所以 drdr 式中密就是加速度的切向分量 1-2设质点的运动方程为x=x(1),y=y(1),在计算质点的速度和加速度时，有人先求 d 二2+少，然后根据v,及口而求得结果：又有人先计算速度和加速 的分量，再合成求得结果，即 + 你认为两种方法哪一种
习题解答 习题一 1-1 ｜ r ｜与 r 有无不同? d t dr 和 d t dr 有无不同? d t dv 和 d t dv 有无不同?其不同在哪里? 试举例说明． 解：（1） r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 r 2 1 = r −r ， 2 1 r r r = − ； （2） d t dr 是速度的模，即 d t dr = v = t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有 r = rr ˆ （式中 r ˆ 叫做单位矢），则 t ˆ ˆ r t r t d d d d d d r r r = + 式中 t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与 r 不同如题 1-1 图所示. 题 1-1 图 (3) d t dv 表示加速度的模，即 t v a d d = ， t v d d 是加速度 a 在切向上的分量. ∵有 v = v ( 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d = + 式中 dt dv 就是加速度的切向分量. ( t t r d d ˆ d dˆ 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为 x = x ( t )， y = y ( t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出r＝ 2 2 x + y ，然后根据 v = t r d d ，及 a ＝ 2 2 d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度 的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2 d d d d + t y t x 及 a = 2 2 2 2 2 2 d d d d + t y t x 你认为两种方法哪一种
正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有下=x+月， 岛曾贵 故它们的模即为 =医-倍 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 其二，可能是将货与普误作速度与加选度的膜，在门短中已设阴告不是速度的顺。 而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模它只是加度在径向分量中 dt 整留 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢F在径向（即 量值)方面随时间的变化率，而没有考虑位矢F及速度下的方向随间的变化率对速度、加速 度的贡献。 1-3一质点在xOy平面上运动，运动方程为 x=31+5,y=51产431-4. 式中1以s计，x,y以m计.()以时间1为变量，写出质点位置矢量的表示式：（②）求出 5时刻和1=2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移：（③）计算1=0s时刻到1=4s 时刻内的平均速度：(4)求出质点速度矢量表示式，计算1=4s时质点的速度：（⑤）计算1= 0s到1=4s内质点的平均加速度：(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算1=4s时质点 的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成 直角坐标系中的矢量式) 解：(1) F=(31+5)i+(52+31-4)jm (2)将1=1,1=2代入上式即有 万=8-0.5jm
正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 r xi yj = + ， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d = = + = = + 故它们的模即为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d + = + = + = + = t y t x a a a t y t x v v v x y x y 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2 2 d d d d t r a t r v = = 其二，可能是将 2 2 d d d d t r t r 与 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 t r d d 不是速度的模， 而只是速度在径向上的分量，同样， 2 2 d d t r 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中 的一部分 = − 2 2 2 d d d d t r t r a 径 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即 量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随间的变化率对速度、加速 度的贡献。 1-3 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为 x =3 t +5, y = 2 1 t 2 +3 t -4. 式中 t 以 s计， x , y 以m计．(1)以时间 t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出 t =1 s 时刻和 t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算 t ＝0 s时刻到 t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算 t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算 t ＝ 0s 到 t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t ＝4s 时质点 的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成 直角坐标系中的矢量式)． 解：（1） r t i t t j 3 4) 2 1 (3 5) ( 2 = + + + − m (2)将 t =1, t = 2 代入上式即有 r i j 1 = 8 − 0.5 m
5=11j+4jm =万-万=3j+4.5jm (3) 6=57-47,万=177+16j =-2-5-12i+201=30+5jms △t4-0 4 国-告-+043ims 4=37+7jms (5) %=37+3j,4=37+7万 ag-订m 4 ( d-d-17m.s 这说明该点只有y方向的加速度，且为量。 14在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示.当人以 y。(血·s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 次 图1-4 解：设人到船之间绳的长度为1，此时绳与水面成角，由图可知 将上式对时间1求导，得 22 题1-4图
r j j 2 =11 + 4 m r r r j j = 2 − 1 = 3 + 4.5 m (3)∵ r j j r i j 0 = 5 − 4 , 4 =17 +16 ∴ 4 0 1 3 5 m s 4 12 20 4 0 − = + + = − − = = i j r r i j t r v (4) 1 3 ( 3) m s d d − = = i + t + j t r v 则 v i j 4 = 3 + 7 1 m s − (5)∵ v i j v i j 0 = 3 + 3 , 4 = 3 + 7 4 0 2 1 m s 4 4 4 − = = − = = j v v t v a (6) 2 1 m s d d − = = j t v a 这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以 0 v (m· −1 s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小． 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成 角，由图可知 2 2 2 l = h + s 将上式对时间 t 求导，得 t s s t l l d d 2 d d 2 = 题 1-4 图
根据速度的定义，并注意到1,5是随1减少的， d= d 、1dl_1 或 %-你+s 将Y翻再对1求导，即得船的加速度 是出 d s2 52 1-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a=2+6x2,，a的单位为ms2,x的单位 为m,质点在x=0处，速度为10ms1,试求质点在任何坐标处的速度值. 解： 分离变量： udv=adx=(2+6x2)dx 两边积分得 02=2x+2+c 由题知，x=0时，%=10,∴c=50 v=2vx+x+25 m.s- 1-6已知一质点作直线运动，其加速度为a=4+31m·s2,开始运动时，x=5m,v =0,求该质点在1=10s时的速度和位置. 解： a盘=4+3 分离变量，得 dv=(4+3)d 积分，得 + 由题知，1=0，v。=0,∴G1=0
根据速度的定义，并注意到 l , s 是随 t 减少的， ∴ t s v v t l v d d , d d 绳 = − = 0 船 = − 即 d cos d d d 0 0 v v s l t l s l t s v船 = − = − = = 或 s h s v s lv v 0 2 2 1/ 2 0 ( + ) 船 = = 将 v船 再对 t 求导，即得船的加速度 3 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 2 0 ( ) d d d d d d s h v s v s l s v s v s lv v s t s l t l s t v a = − + = − + = − = = 船 船 1-5 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+6 2 x ，a 的单位为 2 m s − ，x 的单位 为 m. 质点在 x ＝0处，速度为10 1 m s − ,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ x v v t x x v t v a d d d d d d d d = = = 分离变量： d adx (2 6x )dx 2 = = + 两边积分得 v = x + x + c 2 3 2 2 2 1 由题知， x = 0 时， v0 = 10 ,∴ c = 50 ∴ 3 1 2 25 m s − v = x + x + 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3 t 2 m s − ，开始运动时， x ＝5 m， v =0，求该质点在 t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t v a 4 3 d d = = + 分离变量，得 dv = (4 + 3t)dt 积分，得 1 2 2 3 v = 4t + t + c 由题知， t = 0, v0 = 0 ,∴ c1 = 0
=+ 又因为 分离变量，d=(+d 积分得 x=22++0 由题知t=0,x0=5,六c2=5 x=22+22+5 所以1=10s时 w=4×10+2x102=190ms x0=2×102+2×103+5=705 m 1-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为日=2+31，日式中以弧度计，1以秒计， 求：(1)1=2s时，质点的切向和法向加速度：（②）当加速度的方向和半径成45°角时， 其角位移是多少？ 解： a=d0=9r,B=de=18 dt dt (1)1=2s时， a,=RB=1x18×2=36ms2 an=Ro2=1×(9×22)2=1296ms2 (2)当加速度方向与半径成45°角时，有 an45°=0=1 a. 即 Ro2=RB 亦即 (9r2)2=181 则解得 号 于是角位移为 0=2+3x=2+3x号=2676d
故 2 2 3 v = 4t + t 又因为 2 2 3 4 d d t t t x v = = + 分离变量， x t t )dt 2 3 d (4 2 = + 积分得 2 2 3 2 1 x = 2t + t + c 由题知 t = 0, x0 = 5 ,∴ c2 = 5 故 5 2 1 2 2 3 x = t + t + 所以 t = 10 s 时 10 5 705 m 2 1 2 10 10 190 m s 2 3 4 10 2 3 10 2 1 10 = + + = = + = − x v 1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 3 t ， 式中以弧度计， t 以秒计， 求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时， 其角位移是多少? 解： t t t t 18 d d 9 , d d 2 = = = = (1) t = 2 s 时， 2 1 18 2 36 m s − = = = a R 2 2 2 2 1 (9 2 ) 1296 m s − a = R = = n (2)当加速度方向与半径成 ο 45 角时，有 tan 45 = = 1 an a 即 R = R 2 亦即 (9t ) 18t 2 2 = 则解得 9 3 2 t = 于是角位移为 2.67 rad 9 2 2 3 2 3 3 = + t = + =