《大学物理》课程教学资源（教案讲义）ch1 运动的描述

第一章运动的描述 §1-1参照系坐标系物理模型 注当 (1)质点为一个理想模型：物理学中有很多模型（以后将会接触到），是实际情况的简化。 是对复杂问愿抽出主要矛盾，加以研究的有效方法： (2)能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质：例如：研究足球的运动，.· (3)在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。 二参照系和坐标系 (1)参考系（参照系 宇宙中的一切物体都 动 没有 对静止的物体， 这叫运动的绝对性 的选择可体的机 选另一个物体作参考物，被选作参考的物体称为参考 选取的参考系不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描 述的相对性。因此，描述运动必须指出参考系。 【注意】参考系不一定是静止的。【思考】一个点能否作为参考系？ (2)坐标系 只有参考系不能定量地描述物体的位置。所以要在参考系上固定一个坐标系。这样就可定 量描述物体的位置。常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。 三.空间和时间 空间：是一切不同位置的概括和抽象。 时间： 不 图1参考系 图12直角坐标系 图13位移示意图 整动位失随时间变化规院即为运动方起，已为 r=r()=xt)i+()j+z()k. (1)运动方程中包含了质点运动的全部信总。或者说知道了也就可以解决质点的运动问 题。 轨道机为00、0，是运动方程的分层式。 2)运动方程的分量式

第一章 运动的描述 §1-1 参照系 坐标系 物理模型 一．质点 在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小 和形状的理想的点，这样的物体可称为质点。 注意： （1）质点为一个理想模型；物理学中有很多模型（以后将会接触到），是实际情况的简化。 是对复杂问题抽出主要矛盾，加以研究的有效方法； （2）能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质；例如：研究足球的运动，. . （3）在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。 二．参照系和坐标系 （1）参考系（参照系） 宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫运动的绝对性。 为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作参考物，被选作参考的物体称为参考 系，参考系的选择可视问题性质而任意选定。 同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描 述的相对性。因此，描述运动必须指出参考系。 【注意】参考系不一定是静止的。【思考】一个点能否作为参考系？ （2）坐标系 只有参考系不能定量地描述物体的位置。所以要在参考系上固定一个坐标系。这样就可定 量描述物体的位置。常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。 三．空间和时间 空间：是一切不同位置的概括和抽象。 时间：是一切不同时刻的概括和抽象。 一个过程对应的时间间隔称时间，某一瞬时称时刻。 O x y z 火车站 O x y z r P(x, y, z) x y z r 1 r 2 r P1 (x, y, z) P2 (x, y, z) O 图 1-1 参考系 图 1-2 直角坐标系 图 1-3 位移示意图 四．运动方程 质点在空间运动时，位失随时间变化的规律即为运动方程，记为： r = r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k . （1）运动方程中包含了质点运动的全部信息。或者说知道了也就可以解决质点的运动问 题。 （2）运动方程的分量式 x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)，是运动方程的分量式。 （3）轨道（轨迹）方程

在运动方程的分量式中，消去时间1得低y-0,此方程称为质点的轨道方程：轨道是直 线的称为直线运动：轨道是曲线的称为曲线运动。5.运动方程 §1-2运动的描述 1.2.1运动的描述 1.位置矢量（位矢） 在坐标系中，质点的位置可以用从原点到质点所在位置的矢径来表示，即 r=x++k 2.位移 (1)概念。1时刻，质点在乃点，位矢为n:+△t时刻，质点在P2点，位矢为n,则 在△/这段时间内位矢的增量△y=r 一称为质点在△t时间内的位移。 【注意】1.位移为矢量，方向从初位置指向末位置。 2位移的大小记为△少H-小它是位移矢量的长度 3.位移和位矢的区别：位移是质点运动初末位置的位矢之差：位矢是坐标原点指向质点位 的一段有线段 4.路程△S与位移大州△|的区别：路程是△1内走过的轨道的长度，而位移大小是质点 实际移动的直线距离，位移和位矢均为矢量，但路程为标量，路程用△S表示。即使在 直线运动中，位移和路程也是截然不同的两个概念。5.当△一0时，1山卡△S. (2)直角坐标系中的数学表示r=xi+j+k,52=x,i+2j+2k, 山=,-xM+0,-i+-k=A+Ay+Ak 大小1w啡+a+c.方：csa=是cosB=是cos7-号 4。 >P3 +M) P 图14平均速度 图15速度 图16瞬时速度 3、速度 表示质点运动快慢的物理量。 A.平均速度 如图14和图15，我们定义质点从时刻1到时刻1至什△1的平均速度为： =5-5= A A 【注意】(1)平均速度的物理意义：质点在△1时间内运动的平均快慢程度。 (2)平均速度为矢量，方向就是位移△”的方向：大小为

2 2 在运动方程的分量式中，消去时间 t 得 f(x, y, z)=0，此方程称为质点的轨道方程；轨道是直 线的称为直线运动；轨道是曲线的称为曲线运动。5．运动方程 §1-2 运动的描述 1.2.1 运动的描述 1．位置矢量（位矢） 在坐标系中，质点的位置可以用从原点到质点所在位置的矢径来表示，即 r = xi + yj + zk . 2．位移 （1）概念。t 时刻，质点在 P1 点，位矢为 r1 ；t+Δt 时刻，质点在 P2 点，位矢为 r2 ，则 在Δt 这段时间内位矢的增量 2 1 r = r −r 称为质点在Δt 时间内的位移。 【注意】1. 位移为矢量，方向从初位置指向末位置。 2. 位移的大小记为 | | | 2 1 r |= r −r ，它是位移矢量的长度。 3. 位移和位矢的区别：位移是质点运动初末位置的位矢之差；位矢是坐标原点指向质点位 置的一段有向线段。 4. 路程ΔS 与位移大小 | r | 的区别：路程是Δt 内走过的轨道的长度，而位移大小是质点 实际移动的直线距离，位移和位矢均为矢量，但路程为标量，路程用ΔS 表示。即使在 直线运动中，位移和路程也是截然不同的两个概念。5. 当Δt→0 时， | r |= S . （2）直角坐标系中的数学表示 r1 = x1 i + y1 j + z1k ， r2 = x2 i + y2 j + z2 k ， r = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 ) j + (z2 − z1 )k = xi + yj + zk . 大小： 2 2 2 | r |= (x) + (y) + (z) . 方向： r x   cos = , r y   cos  = , r z   cos  = . x y z r 1 r 2 r P1 (x, y, z) P2 (x, y, z) O P1 P2 v r v x y z r(t) P1 P2 O v1 v2 r(t +t) 图 1-4 平均速度 图 1-5 速度 图 1-6 瞬时速度 3、速度 表示质点运动快慢的物理量。 A．平均速度 如图 1-4 和图 1-5，我们定义质点从时刻 t 到时刻 t 至 t+Δt 的平均速度为： t t  =  − = r r r v 2 1 ， 【注意】（1）平均速度的物理意义：质点在Δt 时间内运动的平均快慢程度。 （2）平均速度为矢量，方向就是位移 r 的方向；大小为

3 △ 单位m·s (3)平均速率的概念定义：下-二，和平均速度的区别。 (4)在直角坐标系中的分解 B.(瞬时)速度 定义：如图1-6所示，令△1→0，则质点在1时刻的瞬时速度为 典出 德度是天量。速度的大小际为为速率，面且速率H密出产出：方有为 元位移d山的方向，刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向：单位m·s. (2)在直角坐标系中质点的速度表示为： 大小vv经++， 方向cosa=兰.c0sB=上，c0s7=兰 (3)速度的相对性和瞬时性：(4)v与v的区别： (5)v与v的区别。 4、加速度 描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变化 的快慢)， A.平均加速度 在△1时间内，速度增量为△v=y2-y1,定义平均加速度： 图17平均加速度 与速度增量△y方向相同。 ，Av dyd2r B.瞬时加速度a=d.大小 aaH业长d,方向：→0时速度增量的极限 方向，在曲线运动 总是指向曲线的四侧。单位：m·s2(S制) C.直角坐标系中加速度 的数学表示 3

3 3 t t  =  − = | | | | | | 2 1 r r r v ， 单位 m·s -1 . （3）平均速率的概念定义： t S v   = ，和平均速度的区别。 （4）在直角坐标系中的分解 i j k i j k r v x y z v v v t z t y t x t = + +   +   +   =   = ， B．（瞬时）速度 定义：如图 1-6 所示，令 t →0 ，则质点在 t 时刻的瞬时速度为 t t t d d lim 0 r r v =   =  → . （1）速度是矢量，速度的大小称为为速率， 而且速率 t r t S t v d d d d | d d =| |=| =  r v ；方向为 元位移 dr 的方向，刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向；单位 m·s -1 . （2）在直角坐标系中质点的速度表示为： i j k i j k r v x y z v v x t z t y t x t = = + + = + + d d d d d d d d . 大小 2 2 2 | | x y z v = v = v + v + v ， 方向 v vx cos = , v v y cos  = , v vz cos  = . （3）速度的相对性和瞬时性；（4） | v | 与 v 的区别； （5） v 与 v 的区别。 4、加速度 描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变化 的快慢）. A．平均加速度 在Δt 时间内，速度增量为 2 1 v = v −v ，定义平均加速度： t  = v a ， 图 1-7 平均加速度 与速度增量 v 方向相同。 B．瞬时加速度 2 2 0 d d d d lim t t t t v v r a = =   =  → . 大小： t t a d d | | | d d | | | v v = a =  ，方向： t → 0 时速度增量的极限 方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。单位： m · s -2 （ SI 制 ） C．直角坐标系中加速度的数学表示 i j k i j k i j k v a x y z x y z a a a t z t y t x t v t v t v t = = + + = + + = + + d d d d d d d d d d d d d d 2 2 2 . P1 v 1 v 2 v

4 dt 方向：aa作Va+a+a,cosa=g,c0sB=2cosy= a a 【注意】加速度的相对性和瞬时性。 例1-一1已知质点作匀加速直线运动，加速度为a,求该质点的运动方程。 解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法： 五= dv=adt 对于作直线运动的质点，采用标量形式 dv=adt 两稀积分可得到速因 [dv=[adt v=vo+at 根据速度的定义式： 晋-=+ 两端积分得到运动方程 fdx-[(v+an)d+a 消去时间，得到 v2=+2a(x-x) 1.2曲线运动的描述 12.1圆周运动 本质 一种特殊的平面曲线运动。下面我们先研究一般的平面曲线运动 运动的 周运 1自然坐标系 自然坐标系的原点为质点运动轨道上的一点。，沿轨道法线，指向轨道的曲率中心，称为法向 单位矢量：，沿轨道切向，指向质点的前进方向，称为切向单位矢量。 2圆周运动的角量描述 对圆周运动，我们使用平面极坐标系可得，r=cost.因此，圆周运动的质点的速度为： y=vx,沿圆周的切线方向。大小为矢径r乘于质点的矢径与极轴之间的夹角0对随时间的微 商，即仅仅决定于角坐标()随时间的变化。 (1)角速度 角坐标随时间的变化率) d0称为角速度。单位：d.s小， 将宁【注意】在这里我们将角速度定义为标量，第四章我们将进一步 (2)角加速度

4 4 大小 i j k i j k i j k v a x y z x y z a a a t z t y t x t v t v t v t = = + + = + + = + + d d d d d d d d d d d d d d 2 2 2 . 方向： 2 2 2 | | a = a = ax + ay + az ， a ax cos = , a ay cos  = , a az cos  = . 【注意】加速度的相对性和瞬时性。 例 1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为 a，求该质点的运动方程。 解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法： 对于作直线运动的质点，采用标量形式 两端积分可得到速度 根据速度的定义式： 两端积分得到运动方程 消去时间，得到 1.2 曲线运动的描述 1.2.1 圆周运动 引言：圆周运动的本质，一种特殊的平面曲线运动。下面我们先研究一般的平面曲线运动， 然后才将结论运用到圆周运动上 一、圆周运动的描述 1 自然坐标系 自然坐标系的原点为质点运动轨道上的一点。 n e 沿轨道法线，指向轨道的曲率中心，称为法向 单位矢量；  e 沿轨道切向，指向质点的前进方向，称为切向单位矢量。 2 圆周运动的角量描述 对圆周运动，我们使用平面极坐标系可得，r=const . 因此，圆周运动的质点的速度为： v = v ，沿圆周的切线方向。大小为矢径 r 乘于质点的矢径与极轴之间的夹角  对随时间的微 商，即仅仅决定于角坐标  (t) 随时间的变化。 （1）角速度 角坐标随时间的变化率 dt d  = 称为角速度。单位：rad﹒s -1 . 【注意】在这里我们将角速度定义为标量，第四章我们将进一步 将它定义为矢量。 （2）角加速度 O S et en d t d v a   = d v adt   = dv = adt   = v t v v a t 0 d d 0 v = v + at 0 v v at t x = = 0 + d d x v at t x t x d ( )d 0 0 0   = + 2 0 0 2 1 x = x + v t + at 2 ( ) 0 2 0 2 v = v + a x − x

我们定义角速度对时间的变化率为角加速度，记为： a=do-o dt dr2 【注意】这里我们将角加速度定义为标量，在第四章中我们将定义它为 矢量。 【讨论】一般（变速）圆周运动的加速度的方向 图113切向加速度和法向加速度 3、匀速圆周运动和匀变速圆周运动 0=o+a,2-2=2a0-)0-0,=o1+52 (1).匀变速率圆周运动 角加速度&-常量，而加速度为a=a,+an=rae,+ro2en,加速度的值为 a=√a+aG,其方向并非指向圆心 (2).匀速率圆周运动 即质点的速率v和角速度o都为常量，则角加速度a=0,因此a=an=roen, 0=0。+o. 3、角加速度 1,平面曲线运动的自然坐标系描述 2)运动方程 在自然坐标 质点某一时刻的位置由质点与原点间的轨道长度S来确定。 质点在坐标系中运动时，有S=S,这就是运动方程。 (3)速度 自然坐标中质点运动的路程可表示为S=S1什△)小S) △SdS 速度为"=，式中v=公一出为速度v的值，即为速率。 (4)加速度 如图1-12所示，质点运动的加速度为： a=业+,+=a,+a, dtdt 可见加速度由两个相互垂直的分矢量a,和an合成，a,称为切向加速度，an称为法向加速度。 之圆眉运动的切血加速度和法的如速度极华标系和自然华标系，可见 如果质点作圆周运动， en=-e,e:=-eo. 注1a出出，+告=a,+a de. 加速度。响加速度大小水风上出方向：切向质点 前进的方向

5 5  an a O r  a 图 1-13 切向加速度和法向加速度 我 们 定 义 角 速 度 对 时 间 的 变 化 率 dt d 为 角 加 速 度 ， 记 为 ： 2 2 d d d d t t    = = . 【注意】这里我们将角加速度定义为标量，在第四章中我们将定义它为 矢量。 【讨论】一般（变速）圆周运动的加速度的方向 3、匀速圆周运动和匀变速圆周运动  = +t 0 ， 2 ( ) 0 2 0 2  − =   − ， 2 0 0 2 1  − =  t + t . （1）．匀变速率圆周运动 角 加 速 度  = 常 量 ， 而 加 速 度 为 n n a a a r e r e 2 =  + =   +  ， 加 速 度 的 值 为 2 2 a = an + a ，其方向并非指向圆心。 （2）．匀速率圆周运动 即质点的速率 v 和角速度  都为常量，则角加速度  = 0 ，因此 n n a a r e 2 = =  ，  =  +t 0 . 3、角加速度 1．平面曲线运动的自然坐标系描述 （2）运动方程 在自然坐标中，质点某一时刻的位置由质点与原点间的轨道长度 S 来确定。 质点在坐标系中运动时，有 S=S(t)，这就是运动方程。 （3）速度 自然坐标中质点运动的路程可表示为 S =S(t+Δt)-S(t) 速度为  v = ve ，式中 t S t S v t d d lim 0 =   =  → 为速度 v 的值，即为速率。 （4）加速度 如图 1-12 所示，质点运动的加速度为： n t v t v t a a e e v a = + + =  +   d d d d d d ， 可见加速度由两个相互垂直的分矢量  a 和 n a 合成，  a 称为切向加速度， n a 称为法向加速度。 2．圆周运动的切向加速度和法向加速度 如果质点作圆周运动，比较一下平面极坐标系和自然坐标系，可见： n r e = −e ，   e = −e . 【注意】 n n t v t v t a a e e v a = = + =  +   d d d d d d . （1）切向加速度。切向加速度的大小： t r t v ac c d d d d | |  = a = = ，方向：沿圆周切向质点 前进的方向