第四章机械振动 引言： 1.振动的概念 (1)机械振动 物体在一定的位置附近所作的来回往复的运动称为机械根动。如：摆、发声体等。 (2)广义振动概念 凡是描写运动状态的物理量，在某一数值附近作周期性的变化，都叫做振动。 例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。 2.本章内容 简谐振动、阻尼振动、受迫振动*、共振*等。 4.1简谐振动的动力学特征 4.1.1弹簧振子模型 1.简谐振动的概念 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫简诰 jmo 振动。 2.简谐振动及其表达式（运动学方程） 简谐振动的运动方程可写为： x=Acos+): 3.简谐振动物体的速度和加速度 对运动方程求导可得到任意时刻物体振动的速度和加速 度： (1)v==-a4sin@1+p)=.coso1+p+/2, 式中：=a4,a.=a2A,a=-0x 图141简诺振 4.1.2.微振动的简谐近似
第四章 机械振动 引言： 1．振动的概念 （1）机械振动 物体在一定的位置附近所作的来回往复的运动称为机械振动。如：摆、发声体等。 （2）广义振动概念 凡是描写运动状态的物理量，在某一数值附近作周期性的变化，都叫做振动。 例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等． 2．本章内容 简谐振动、阻尼振动、受迫振动*、共振*等。 4.1 简谐振动的动力学特征 4.1.1 弹簧振子模型 1．简谐振动的概念 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数（或正弦函数〕的规律随时间变化，这种运动就叫简谐 振动。 2．简谐振动及其表达式（运动学方程） 简谐振动的运动方程可写为： x = Acos( t +) ； 3．简谐振动物体的速度和加速度 对运动方程求导可得到任意时刻物体振动的速度和加速 度： （1） sin( ) cos( / 2) d d = = −A t + = v t + + t x v m ， （2） cos( ) cos( ) d d d d 2 2 = = = −A t + = a t + + t x t v a m ， 式中： vm = A， am A 2 = ， a x 2 = − ． 图 14-1 简谐振动 4.1.2．微振动的简谐近似 t x x O O
1、单摆 如图184所示，单摆在小角度摆动时，重力矩作为回复力矩，其大小为mgsn0=g8 由转动定律M=的，则地=-0，又J=m,则=-0，。=民， 【例3】重力加速度变化时，单摆的周期也变化，dTT与dgg之间的关系是 【分桥1T25,则2，g-g 图18-4 2、复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆 刚体的质心为C,对过0点的转轴的转动惯量为人O、C两点间距离的距离为1。 据转动定律，得 b 0i2g-= 若角度较小时 b Origm- 。0=68+g 1 即 fun 例152一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S,吃水深度为，如不计水的阻力 求此船在竖直方向的振动周期。 解：船静止时浮力与重力平衡， ohSg =mg 7☑片 船在任一位置时，以水面为坐标原点，竖直向下的坐标轴为y轴，船的位移用y表示 船的位移为y时船所受合力为： f=-(h+y)pSg+mg=-ypSg 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为： 鹰 T2=2% m .m=pSh, :.T=2K18
2 1、 单摆 如图 18-4 所示，单摆在小角度摆动时，重力矩作为回复力矩，其大小为 mglsin mgl ， 由转动定律 2 2 d d t M J = ，则 J mgl t J = − 2 2 d d ，又 2 J = ml ，则 l g t = − 2 2 d d ， l g = ． 【例 3】 重力加速度变化时，单摆的周期也变化，dT/T 与 dg/g 之间的关系是_． 【分析】 g l T = 2 ，则 g g g l T )d 2 1 d = 2 (− ， g g T T d ) 2 1 ( d = − ． 图 18-4 2、复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为 C, 对过 O 点的转轴的转动惯量为 J, O、C 两点间距离的距离为 h。 据转动定律，得 若 角度较小时 即 例 15-2 一质量为 m 的平底船，其平均水平截面积为 S，吃水深度为 h，如不计水的阻力， 求此船在竖直方向的振动周期。 解: 船静止时浮力与重力平衡， 船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为 y 轴，船的位移用 y 表示 船的位移为 y 时船所受合力为： 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为: sin d d 2 2 mgh t − = J mgh t − = J 2 2 d d J mgh 2 0 d 2 d 2 2 = + t mgh J T 2 2 = = g m C O hSg = mg O y P P y f = −(h + y)Sg + mg = −ySg m Sg = gS m T 2 2 = = m = Sh, g h T = 2
4.2简谐振动运动学 4.2.1简谐振动的运动学方程 简诰振动一般可分为自由简诺振动和受迫简谐振动， 首先介绍自由简谐振动，这类振动是指物体仅受振动系统 内部的恢复力（如弹性力）的作用。当物体离开平衡位置 0x* 到达x位置处，它受的弹性恢复力为：F=-::k为弹簧 的倔强系数。 若设物体质量为m,它在时刻t的加速度，振子所受的摩擦阻力与弹簧的质量均忽略不 计，则由牛顿运动定律得： 令★=心为角频率可得： +=0, 这就是弹簧振子满足的动力学方程，其解为： x=AcosQπ+p) 图142，a-图 4.2.2简谐运动的三个重要参量 现在我们讨论简谐振动运动学方程中的A、。、a1+p的物理意义。 (一)、振幅A 1.平衡位置 任何机械振动的物体都始终徘徊在某一定位置的附近，这个位置称为平衡位置 2.振幅A -A≤x≤4，将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振动的振幅。 (二)、周期和频率 1,周期 每隔一个固定的时间，物体的运动状态就完全重复一次。这固定的时间T称为振动的周期。 2.频率
3 4.2 简谐振动运动学 4.2.1 简谐振动的运动学方程 简谐振动一般可分为自由简谐振动和受迫简谐振动， 首先介绍自由简谐振动，这类振动是指物体仅受振动系统 内部的恢复力（如弹性力）的作用。当物体离开平衡位置 到达 x 位置处，它受的弹性恢复力为： F = −k x ；k 为弹簧 的倔强系数。 若设物体质量为ｍ，它在时刻ｔ的加速度 a，振子所受的摩擦阻力与弹簧的质量均忽略不 计，则由牛顿运动定律得： F = −k x = ma ， 0 d d 2 2 + x = m k t x ， 令 2 = m k 为角频率可得： 0 d d 2 2 2 + x = t x ， 这就是弹簧振子满足的动力学方程，其解为： x = Acos(2t +) ． 图 14-2 x-t，v-t，a-t 图 4.2.2 简谐运动的三个重要参量 现在我们讨论简谐振动运动学方程中的 A、 、 t + 的物理意义。 （一）、振幅 A 1．平衡位置 任何机械振动的物体都始终徘徊在某一定位置的附近，这个位置称为平衡位置。 2．振幅 A −A x A ，将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振动的振幅。 （二）、周期和频率 １．周期 每隔一个固定的时间，物体的运动状态就完全重复一次。这固定的时间 T 称为振动的周期。 2．频率 Ep - A +A x Ek O Ep B E x
每秒内振动的次数称为频率，（出）. 3.四、T、v的关系 (1)a、T 注意到+T刀=x0，可得：Acos@t+aT+p)=Acos@1+p). 因此有：o1=2,T=语： 注意到。一，因此有：T限 (2)v、T v=7 (3)m、v 。=2江，。=2因为人。、为粗成简银动的系特征量所定 与外界无关，称为固有周期和固有频率。运动方程也可写为x=Acos2xW+p)或 x=AcosQu/T+). (三)、相位 1.相位p (@1+p)和A、0一起决定1时刻物体运动状态，即位移x,速度y和加速度a, 2。初相决定时刻物体运动状态，即初始位移，初始速度 (四)、由初始条件确定振幅和初相 如果已知初始条件1-0，x-,r-0,代入运动学方程有：名=4cosp,=-m4snp 因此：A=代+（合，p=arctan-点. 讨论：(1)相位的物理意义和现代物理学中地位： (2)运动学方程指数表示. 【例1】一轻弹簧的倔强系数为k,其下悬有一质量为m的盘子，现有一质量为M的物体 从离盘h高度外自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。 (1)此时的振动周期与空盘子振动时的周期有何不同？ (2)此时的振动振幅多大？ (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初相， 并写出物体与盘子的振动方程. 【分析】(1)M落到m之前，做自由落体运动，与m作完全非弹性碰撞前的最大速度为
4 每秒内振动的次数称为频率 （HZ）． 3． 、T、 的关系 （1） 、T 注意到 x(t +T) = x(t) ，可得： Acos( t +T +) = Acos( t +) ． 因此有： T = 2 ， = 2 T ； 注意到 m k = ，因此有： k m T = 2 ． （2) 、T T 1 = （3） 、 T = 2 ， = 2 ， m k = 2 1 因为 T、 、 为组成简谐振动的系统特征量所决定， 与外界无关，称为固有周期和固有频率。运动方程也可写为 x = Acos(2t +) 或 x = Acos(2t/T +)． （三）、相位 1．相位 (t +) 和 A、 一起决定 t 时刻物体运动状态，即位移 x，速度 v 和加速度 a.． 2．初相决定时刻物体运动状态，即初始位移，初始速度． （四）、由初始条件确定振幅和初相 如果已知初始条件 t=０ , x=x0 ,v=v0，代入运动学方程有： x0 = Acos ，v0 = −Asin . 因此： 2 0 2 0 ( ) v A = x + , arctan( ) 0 0 x v = − ． 讨论：（1）相位的物理意义和现代物理学中地位； （2）运动学方程指数表示． 【例 1】一轻弹簧的倔强系数为 k，其下悬有一质量为 m 的盘子，现有一质量为 M 的物体 从离盘 h 高度外自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动． （1）此时的振动周期与空盘子振动时的周期有何不同？ （2）此时的振动振幅多大？ （3）取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初相， 并写出物体与盘子的振动方程． 【分析】（1）M 落到 m 之前，做自由落体运动，与 m 作完全非弹性碰撞前的最大速度为
=2g动：(2)M与m之间的碰撞是完全非弹性碰撞，因此碰后的速度为，=牛mgh,一 即为开始计时的初速度：(3)由于M落到盘中后，新的平衡位置下移了△x-修，以新的平 衡位置为坐标原点，向下向正方向，所以，=-竖，可解得振动方程 ,神4-受学票，。 k ，r<p<π 4.2.3简谐振动的旋转矢量图示法 (一)、旋转矢量 简谐振动的方程x=4cos@1+p),根据几何学原理可以把 它看作一旋转着的矢A在x轴上的投影。振幅矢量转动一周， 相当于振动一个周期。 【例2】一物体沿x轴作简谐振动，振幅为4，其表达式 用余弦函数表示。若10时，物体的运动状态分别为 (1)x=-A:(2)过平衡位置向x轴正方向运动：(3) 过，=A/2处向x轴负方向运动： 图183 (4)过x=4/2处向x轴正方向运动：试用矢量图示法确定相应的初相。 (二人、相位差 在比较两个或两个以上的简谐振动时，相位的概念很重要。 例如两个振动：为=4cos@1+g),x2=4c0s@1+) 相位差Ap=(o1+)-(o1+0)=- 在同频率的情况下，两个振动的周相差就是它们的初相差。 %>%振动(2)比振动(1)超前或振动(1)比振动(2)落后 ,<%振动(1)比振动(2)超前或振动(2)比振动(1)落后： %=?称这两个振动为同相或同步： 马-g=元称这两个振动为反相。 4.3、简谐振动的能量 动能6=m密=m0 Psn(+-p),势能E==k.fco(ew+pl,又k=mo,所 以，(+5，=，弹簧振子作简谐运动的总能量与振幅的二次方成正比，由于在简谐振动中
5 v = 2gh ；（2）M 与 m 之间的碰撞是完全非弹性碰撞，因此碰后的速度为 gh M m M v0 2 + = ， 即为开始计时的初速度；（3）由于 M 落到盘中后，新的平衡位置下移了 k Mg x = ，以新的平 衡位置为坐标原点，向下向正方向，所以， k Mg x0 = − ，可解得振动方程 x = Acos(t +) ，式中 ) 2 ( M m Mh k Mg k Mg A + = + ， M m k + = ， M m g kh ( ) 2 tan 1 + = − ， 2 3 ． 4.2.3 简谐振动的旋转矢量图示法 （一）、旋转矢量 简谐振动的方程 x = Acos( t +) ，根据几何学原理可以把 它看作一旋转着的矢 A 在 x 轴上的投影。振幅矢量转动一周， 相当于振动一个周期。 【例 2】 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 A，其表达式 用余弦函数表示。若 t=0 时，物体的运动状态分别为 （1） x0 = −A ；（2）过平衡位置向 x 轴正方向运动；（3） 过 x0 = A/ 2 处向 x 轴负方向运动； 图 18-3 （4）过 x0 = A/ 2 处向 x 轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相。 (二)、相位差 在比较两个或两个以上的简谐振动时，相位的概念很重要。 例如两个振动： cos( ) 1 = 1 +1 x A t ， cos( ) 2 = 2 +2 x A t 相位差 2 1 2 1 = ( t + ) − ( t + ) = − 在同频率的情况下，两个振动的周相差就是它们的初相差。 2 1 振动（2）比振动（1）超前或振动（1）比振动（2）落后； 2 1 振动（1）比振动（2）超前或振动（2）比振动（1）落后； 2 = 1 称这两个振动为同相或同步； 2 −1 = 称这两个振动为反相。 4.3、 简谐振动的能量 动能 sin ( ) 2 1 ) d d ( 2 1 2 2 2 2 = = m A t + t x Ek m ，势能 cos ( ) 2 1 2 1 2 2 2 Ep = k x = k A t + ，又 2 k = m ，所 以， 2 2 1 Ek + Ep = kA ，弹簧振子作简谐运动的总能量与振幅的二次方成正比．由于在简谐振动中， x x0 O x A M(t) t v