第三章自适应数字滤波器 3.2.2性能函数表示式及其几何意义 在自适应滤波器的分析研究中,性能函数是一个重要函数, 前面已推导出性能函数用(3.2.8)式表示,重写如下: 烈e2=Ed]-2RMW+WRW 下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。 均方误差是权系数的二次函数,当权系数取最佳值时,均 方误差取最小值,将(3.2.14)式代入(3.2.8)式,可以用最小均 方误差表示性能函数,推导如下: 为了表示方便,令5=E[e2],则 Smin +wrur-2rd-w+wr w
第三章 自适应数字滤波器 3.2.2 在自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数， 前面已推导出性能函数用(3.2.8)式表示，重写如下： E ej E d j RdxW W RxxW 2 2 T T [ ] = [ ]−2 + 下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。 均方误差是权系数的二次函数，当权系数取最佳值时， 均 方误差取最小值，将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均 方误差表示性能函数， 为了表示方便，令 ζ=E［e 2 j］, 则 W Rd x Rd xW W RxxW *T T T = min + − 2 +
第三章自适应数字滤波器 将(3212)式代入上式,得到 +诉R"一R一RW+MRW n Amin +w-w r w-w-w w =5min +w-wR -w) (32.15) V=W=[v1,V2,…,w]T (32.16) 称为偏差权向量,它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性 能函数可以表示得更简单 5=smin +vry (32.17)
第三章 自适应数字滤波器 将(3.2.12)式代入上式，得到 ( ) ( ) [ ] [ ] * T * min *T T * *T T min *T * *T T * T min W W R W W W W R W W W R W W R W W R W W R W W R W xx xx xx xx xx xx xx = + − − = + − − − = + − − + (3.2.15) 令 V=W-W* =［v1 , v2 , …, vN］T (3.2.16) V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性 能函数可以表示得更简单： V RxxV T = min + (3.2.17)
第三章自适应数字滤波器 因为R是对称的,正定或半正定的,利用它的特征值和特 征向量再进一步简化,假设R是MxM维,它的个特征值为 1,2,…,n将Rx进行分解,得到 RrQA0,A=oRr o (32.18) 通过调节使Q归一化,即 QQ=1,Q=Q (32.19) q1q12 qIN Q=[q12q2…,qN] 21 22 2N (32.20 aNI qN2
第三章 自适应数字滤波器 因为Rxx是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特 征向量再进一步简化，假设Rxx是N×N维，它的N个特征值为： λ1,λ2,…,λN，将Rxx进行分解，得到 Rxx =Q TΛQ,Λ=QTRxxQ (3.2.18) 通过调节使Q归一化，即 T T 1 , − Q Q = I Q = Q (3.2.19) = = N N NN N N N q q q q q q q q q Q q q q 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 [ , , , ] (3.2.20)
第三章自适应数字滤波器 式中,4称为正交矩阵或特征矩阵,q称为特征向量,满足下式 (32.21) 0i≠j Rq1=1q1t=1,2,…,N (3.2.22) A是由特征值组成的对角矩阵,用下式表示: ∧=Dag(1212…A) (3.2.23) 将(3218)式代入(32.17)式,得到 s=Smin +voV V=QW=[v1,v2,…v],v=Q(3224
第三章 自适应数字滤波器 式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式： R q q i N i j i j q q xx i i i j T i 1,2, , 0 1 = = = = (3.2.21) (3.2.22) Λ是由特征值组成的对角矩阵， 用下式表示： Diag ( , , , ) = 1 2 N (3.2.23) 将(3.2.18)式代入(3.2.17)式，得到 V Q Q V T T = min + 令 [ , , , ] , ' ' ' T 2 ' 1 ' T V = Q V = v v vN V = QV (3.2.24)
第三章自适应数字滤波器 则 =m+ min +∑4n2 (3225) 上式将性能函数变成了平方和的形式。再观察(3.2.24)式, 该式将V坐标中的R的特征向量变成了V坐标中的单位向量。 利用(3.2.24)式将特征向量q变成q1′,再利用(32.20)、 (32.21)式,可得 q=Qq=[q12q2…,q]q1=[0…,1,…0] (3226)
第三章 自适应数字滤波器 则 = = + = + N i i i v V ΛV 1 '2 min 'T min ' (3.2.25) 上式将性能函数变成了平方和的形式。再观察(3.2.24)式， 该式将V坐标中的Rxx的特征向量变成了V′坐标中的单位向量。 利用(3.2.24)式将特征向量qi变成qi ′ ，再利用(3.2.20)、 (3.2.21)式， 可得 T T 1 2 ' = = [ , , , ] = [0, ,1, ,0] i N i T qi Q q q q q q (3.2.26)