第三章自适应数字滤波器 将(326)、(32.7式代入(3,2.5)式,得到 Elej= eld; ]-2Rdw+w rw(3.2.8) R称为d与X的互相关矩阵,是一个A维列矩阵;R是输入信 号的自相关矩阵,特点如下 (1)是对称矩阵,即R=R; (2)是正定或半正定的,因为对于任意矢量满足下式 ITR=E[XX]=EX)2]≥0 自相关矩阵的主对角线是输入信号的均方值,交叉项是输入信 号的自相关值
第三章 自适应数字滤波器 将(3.2.6)、 (3.2.7)式代入(3.2.5)式， 得到 E ej E d j RdxW W RxxW 2 2 T T [ ] = [ ]−2 + (3.2.8) Rdx称为dj与Xj的互相关矩阵，是一个N维列矩阵；Rxx是输入信 号的自相关矩阵， (1)是对称矩阵，即 ; (2) 是正定或半正定的，因为对于任意矢量V满足下式： xx T Rxx = R [ ] [( ) ] 0 T T T 2 V R V = E V XX V = E X V T xx 自相关矩阵的主对角线是输入信号的均方值， 交叉项是输入信 号的自相关值
第三章自适应数字滤波器 (3.2.8)式表明,当输入信号和期望信号是平稳随机信号时, 均方误差信号E[e,;]是权系数的二次函数,即将(3.2.8)式展 开时,公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只 有一个权系数,则E[a2,是的口向上的抛物线;如果有两个 权系数听啊,则E[e2]是它们的口向上的抛物面;对于两个权系 数以上的情况,则属于超抛物面性质。 E[e2]在自适应信号处理中是一个重要的函数,经常称它 为性能函数。为选择权系数,使性能函数到达它的最小点, 些有用的自适应方法都是基于梯度法的,我们用V,表示E[e2] 的梯度向量,它是用E[e2]对每个权系数求微分而形成的一个 列向量,用公式表示如下:
第三章 自适应数字滤波器 (3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时， 均方误差信号E［e 2 j］是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展 开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只 有一个权系数w1,则E［e 2 j］是w1的口向上的抛物线；如果有两个 权系数w1w2,则E［ej 2］是它们的口向上的抛物面；对于两个权系 数以上的情况，则属于超抛物面性质。 E［ej 2］在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它 为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它的最小点， 一 些有用的自适应方法都是基于梯度法的，我们用 表示E［ej 2］ 的梯度向量，它是用E［ej 2］对每个权系数求微分而形成的一个 列向量， 用公式表示如下： j
第三章自适应数字滤波器 aEe aee ale l (32.9) O 2 按照(324)式,梯度推导如下: de e V=2Ee 0e -2EleX](32.10) 还可以用(3,28)式对W求导得到 Vi=2RNW-wrd (3.2.11) 令上式等于0,得到最佳权矢量W的表达式: W=R x (3.2.12)
第三章 自适应数字滤波器 T 2 2 2 1 2 [ ] , , [ ] , [ ] = N j j j j w E e w E e w E e (3.2.9) 按照(3.2.4)式, 梯度推导如下： 2 , , , 2 [ ] 1 2 j j T N j j j j j E e X w e w e w e E e = − = (3.2.10) 还可以用(3.2.8)式对W求导得到 j = 2RxxW −WRdx (3.2.11) 令上式等于0, 得到最佳权矢量W*的表达式： W Rxx Rdx * −1 = (3.2.12)
第三章自适应数字滤波器 对比第二章维纳滤波器的最佳解,结果是一样的。上式也 称为维纳权矢量。当自适应滤波器的权系数满足上式时,均方 误差将取最小值。将(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方误 差 Elelmin eld]-2Rd w+wR w eld: -2rdw (32.13) 或者将上式取转置,用下式表示: ELed min =eld]-wRa (32.14) 我们知道,在维纳滤波器中,当滤波器的单位脉冲响应取最佳值 时,其误差信号和输入信号是正交的;这里也有相同的结果, 当权矢量取最佳值时,梯度为0,按照(3,2.10)式: V=-2Ee,]=0
第三章 自适应数字滤波器 对比第二章维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。上式也 称为维纳权矢量。当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方 误差将取最小值。将(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方误 差： 2 * 2 * * * min 2 [ ] 2 [ ] [ ] 2 E d R W E e E d R W W R W T j d x xx T T j j d x = − = − + (3.2.13) 或者将上式取转置，用下式表示： dx T E ej E d j W R 2 * min 2 [ ] = [ ]− (3.2.14) 我们知道，在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值 时， 其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果， 当权矢量取最佳值时，梯度为0，按照(3.2.10)式： j = −2E[ej X j ] = 0
第三章自适应数字滤波器 例3.2.1—个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 3.2.4所示,图中输入信号与期望信号分别为 2兀 2丌 X sIn 2 cos 这两个信号都是周期性确定性信号,因为在何正弦函数积的期 望值,都可由这个积在一个或多个周期上作时间平均来计算, 可以推导出下面公式[6] 到x1=1∑ 2 2 2兀 sinj sin(j-n)=0.5cosn n=0, 1 N 2: 2 Eldxi-nl ∑cos2jsi( 2丌 n)=-sin、nn=0,1 2丌 0.5 0.5c0s R=EI 一1 0.5cos N
第三章 自适应数字滤波器 例 3.2.1 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 3.2.4所示，图中输入信号与期望信号分别为 = = j N j d N xj j 2π , 2cos 2π sin 这两个信号都是周期性确定性信号， 因为任何正弦函数积的期 望值，都可由这个积在一个或多个周期上作时间平均来计算， 可以推导出下面公式［6］: = = = − = − = − = = = − − − = − = − 0.5 2 0.5cos 2 0.5 0.5cos 0,1 2π ( ) sin 2π sin 2π cos 2 [ ] 0,1 2π ( ) 0.5cos 2π sin 2π sin 1 [ ] 2 1 1 1 2 1 1 N N x x x x x x R E n n N j n N j N N E d x n n N j n N j N N E x x j j j j j j xx N j j j n N j j j n