其中m表示约束条件个数 假定有两个约束条件f(的=0和烈(B)=0。为求这两个约束条件下的对数似然函数(16)的 极大似然估计量,应按拉格朗日乘数法则建立如下函数, logL*=logL aifi(B)+12f2(B) 其中λ,A为拉格朗日乘数,求解约束极值问题应对所有的j都满足logL+房=0,即 aog+x1(+292( 由上式得 aog=.;,0f(B).,可2(B) (20) 当上式中的B用B,代替后,如果显著地不为零,则约束条件不成立。根据上式,只有当A,A2 不为零时,∂ogL/房才显著地不为零。所以判别规则是如果A1,a显著地不为零,则拒绝约 束条件。因为(20)式是agL/B,的函数,所以称其为拉格朗日乘数统计量 对于线性回归模型,通常并不是按(18)式,而是通过一个辅助回归式计算LM统计量的 值。LM统计量与辅助回归式的可决系数R2有直接联系,而辅助回归式的形式直接与被检验的 约束条件有关 LM检验的实际步骤如下: (1)确定LM辅助回归式的因变量。用OLS法估计约束模型,计算残差序列,并把, 作为LM辅助回归式的因变量 (2)确定LM辅助回归式的解释变量。例如非约束模型如下式, =尻+B1x+Bx2t+…+Bkxt+ 把上式改写成如下形式 l,=yr-Bo-Bl-..-Bkxkr 则LM辅助回归式中的解释变量按如下形式确定 j=0,1,…,k 对于非约束模型(5.70),LM辅助回归式中的解释变量是1,x1,x2,…,xkt。第一个解释变量1 表明常数项应包括在LM辅助回归式中 (3)建立LM辅助回归式如下 u, ao aI xlt+ a(+. .+ akxktt+ vr (23) 其中由第一步得到。 (4)用OLS法估计上式并计算可决系数R2。 (5)用第四步得到的R2计算LM统计量的值。 LM=TR2 其中T表示样本容量。由于上式计算的LM的值与(18)式定义的LM的值相等(证明略)。在 零假设成立前提下,TR2服从m个自由度的x(m)分布, LM=TR2-x(m) 其中m表示约束条件个数 例:( file: nonli12)对台湾制造业生产函数 Lmy2=84+0.67Lmx1+1.18Lmx2
11 其中 m 表示约束条件个数。 假定有两个约束条件 f1() = 0 和 f2() = 0。为求这两个约束条件下的对数似然函数（16）的 极大似然估计量，应按拉格朗日乘数法则建立如下函数， logL* = logL + 1 f1 () + 2 f2 () , (19) 其中1，2 为拉格朗日乘数，求解约束极值问题应对所有的 j 都满足 logL*/ j = 0, 即 j logL * = j logL + 1 j f ( ) 1 + 2 j f ( ) 2 = 0, j 由上式得 j logL = - 1 j f ( ) 1 - 2 j f ( ) 2 , j (20) 当上式中的j 用 j ~ 代替后，如果显著地不为零，则约束条件不成立。根据上式，只有当1, 2 不为零时，logL/j 才显著地不为零。所以判别规则是如果 1，2 显著地不为零，则拒绝约 束条件。因为（20）式是 logL/ j ~ 的函数，所以称其为拉格朗日乘数统计量。 对于线性回归模型，通常并不是按（18）式，而是通过一个辅助回归式计算 LM 统计量的 值。LM 统计量与辅助回归式的可决系数 R 2 有直接联系，而辅助回归式的形式直接与被检验的 约束条件有关。 LM 检验的实际步骤如下： (1) 确定 LM 辅助回归式的因变量 t u ˆ 。用 OLS 法估计约束模型，计算残差序列 t u ˆ ，并把 t u ˆ 作为 LM 辅助回归式的因变量。 (2) 确定 LM 辅助回归式的解释变量。例如非约束模型如下式, yt = 0 + 1 x1t + 2 x2 t +… + k xk t + ut . (21) 把上式改写成如下形式 ut = yt - 0 - 1 x1t - 2 x2 t -… - k xk t . (22) 则 LM 辅助回归式中的解释变量按如下形式确定。 - j t u , j = 0, 1, …, k. 对于非约束模型（5.70），LM 辅助回归式中的解释变量是 1, x1t , x2t , …, xk t 。第一个解释变量 1 表明常数项应包括在 LM 辅助回归式中。 (3) 建立 LM 辅助回归式如下 t u ˆ = + 1 x1t + 2 x2 t + … + k xk t + vt , (23) 其中 t u ˆ 由第一步得到。 (4) 用 OLS 法估计上式并计算可决系数 R 2。 (5) 用第四步得到的 R 2 计算 LM 统计量的值。 LM = T R 2 其中 T 表示样本容量。由于上式计算的 LM 的值与（18）式定义的 LM 的值相等（证明略）。在 零假设成立前提下，T R 2 服从 m 个自由度的 2 (m) 分布， LM = T R 2 2 (m) 其中 m 表示约束条件个数。 例：（file: nonli12）对台湾制造业生产函数 Lnyt = -8.4 + 0.67 Lnxt1 + 1.18 Lnxt2
(4.4) (3.9) R2=0.89,F=4845,DW=13,7=15 用LM统计量检验Lnxa的系数,B3=0是否成立。 (1)用OLS法估计约束模型,计算残差序列, Lmy2=2.16+1.24Lnx1+ R2=0.96,F=312 并把,作为LM辅助回归式的因变量。 (2)确定LM辅助回归式的解释变量。例如非约束模型如下式, Lnmy=B1+ B2Lnxir t Bs Lnx2r+ up (29) 把上式改写成如下形式 Lmy- B1-B2 Lnxir-B3 Lnx2 则LM辅助回归式中的解释变量按如下形式确定。 j=1,2, 对于非约束模型(30),LM辅助回归式中的解释变量是1,Lnx1n,Lmx。第一个解释变量1表明 常数项应包括在LM辅助回归式中。 3)建立LM辅助回归式如下 ii.= ao a Ln xu+ a Ln Vt 其中,由第一步得到。 (4)用OLS法估计上式并计算可决系数R2。 l1.=-10.67-0.67Lnxn+1.18Lnx (23) (-3.9)(-3.7) (3.9) R2=0.89.F=4845.DW=1.3 (5)用第四步得到的R2计算LM统计量的值 LM=TR2=0.89×15=1335>x2(1)=3.8 原假设B=0不成立 例:自相关BG检验属于LM检验 以2元线性回归模型,检验是否存在1阶自相关为例,约東模型和非约束模型分别是 Di=B0+B1 xir+ B2x2+ur (约束模型,p=0) (33) yr=B0+B1xIr+ B2x2/+ pur-1+vt (34) ⅵ=B+B1x1t+Bx+pM1+ (非约束模型) (35) 用OLS法估计(33)式,得到1作为LM辅助回归式的因变量。由非约束模型(35)知LM 助回归式的解释变量是1,x1,x2r,-,所以LM辅助回归式是 u, =ao+ a1 XIr a2x21+ a u,-1+vr 上式正是自相关BG检验式。从中提取R2计算统计量。 对LR,W和LM检验方法的选择应以做实际计算时的难易程度而定。一般来说W和LM检 验应优于LR检验,因为W和LM检验只需要估计一个模型即可,而LR检验需估计约束与非约 束两个模型。对W和LM检验方法的选择应以约束模型与非约束模型哪个更容易估计而定。应 该注意,即使三种检验方法都可使用,它们的计算结果通常也是不相同的。因为三个统计量只 是渐近相同,对于线性回归模型,在小样本条件下有如下关系成立 12
12 (4.4) (3.9) R 2 = 0.89, F = 48.45, DW=1.3, T=15 用 LM 统计量检验 Lnxt2 的系数，3 = 0 是否成立。 (1) 用 OLS 法估计约束模型，计算残差序列 t u ˆ ， Lnyt = 2.16 + 1.24 Lnxt1 + t u ˆ (4.9) (17.6) R 2 = 0.96, F = 312 并把 t u ˆ 作为 LM 辅助回归式的因变量。 (2) 确定 LM 辅助回归式的解释变量。例如非约束模型如下式, Lnyt = 1 + 2 Ln x1t + 3 Lnx2 t + ut (29) 把上式改写成如下形式 ut = Lnyt - 1 - 2 Lnx1t - 3 Lnx2 t (30) 则 LM 辅助回归式中的解释变量按如下形式确定。 - j t u , j = 1, 2, 3 对于非约束模型（30），LM 辅助回归式中的解释变量是 1, Lnx1t , Lnx2t。第一个解释变量 1 表明 常数项应包括在 LM 辅助回归式中。 (3) 建立 LM 辅助回归式如下 t u ˆ = + 1 Ln x1t + 2 Ln x2 t + vt , (23) 其中 t u ˆ 由第一步得到。 (4) 用 OLS 法估计上式并计算可决系数 R 2。 t u ˆ = -10.67 - 0.67 Lnxt1 + 1.18 Lnxt2 (23) (-3.9) (-3.7) (3.9) R 2 = 0.89, F = 48.45, DW=1.3 (5) 用第四步得到的 R 2 计算 LM 统计量的值。 LM = T R 2 = 0.8915 = 13.35 > 2 (1) = 3.8 原假设3 = 0 不成立。 例：自相关 BG 检验属于 LM 检验。 以 2 元线性回归模型，检验是否存在 1 阶自相关为例，约束模型和非约束模型分别是 yt = 0 +1 x1t + 2 x2 t + ut （约束模型， = 0） (33) yt = 0 +1 x1t + 2 x2 t + ut, ut = ut-1 + vt (34) 即 yt = 0 +1 x1t + 2 x2 t + ut-1 + vt （非约束模型） (35) 用 OLS 法估计（33）式，得到 t u ˆ 作为 LM 辅助回归式的因变量。由非约束模型（35）知 LM 辅 助回归式的解释变量是 1，x1t，x2t，ut-1，所以 LM 辅助回归式是 t u ˆ = + 1 x1t + 2 x2 t + 3 t u ˆ -1 + vt (5.72) 上式正是自相关 BG 检验式。从中提取 R 2 计算统计量。 对 LR，W 和 LM 检验方法的选择应以做实际计算时的难易程度而定。一般来说 W 和 LM 检 验应优于 LR 检验，因为 W 和 LM 检验只需要估计一个模型即可，而 LR 检验需估计约束与非约 束两个模型。对 W 和 LM 检验方法的选择应以约束模型与非约束模型哪个更容易估计而定。应 该注意，即使三种检验方法都可使用，它们的计算结果通常也是不相同的。因为三个统计量只 是渐近相同，对于线性回归模型，在小样本条件下有如下关系成立
LM<LR≤W 上式说明只有当LM检验的结果为拒绝零假设(约束条件不成立)或者W检验的结果为接受零 假设(约束条件成立)时,三种检验的结论才是一致的。所以实际中,三种检验方法有可能得 出相互不一致的结论。另外只有当用参数的样本估计值计算的约束条件完全成立时,即把参数 估计值代入约束条件能准确成立时,(29)式中的三个统计量才有完全相等的关系。 当对数似然函数中只含有一个参数B时,LMLR和W三种检验的关系可用图51表示。B 和分别表示无约束和约束估计量。R检验是对纵向距离9g(B)-l0gLB)的测量,W检 验则是对水平距离(B-B)的测量,而LM检验计算的是当B=B时,对数似然函数的斜率 因为这三个统计量都是渐近地服从z(m)分布,所以当样本比较小且约束条件为线性时,用F检 验要比用上述三种检验更可靠 olla g(8) 对数似然函数 g() 图5.1LR,W和LM检验 (8)邹突变点检验( Chow Breakpoint Tests) 突变点检验由邹至庄1960年提出。当研究同一问题,在不同时段得到两个子样本时,需要 考察两个不同时段的回归系数是否相同,即回归系数在不同时段是否稳定。当然这一检验也适 用于两个截面样本的情形 0 图5.2一个解释变量情形 两个样本容量分别用n1和n2表示,并定义T=m+n2。假定所建立的多元回归模型形式为, =b+6hx1+…+1xk1+ 以T,n1和n2为样本分别对上述模型进行估计,所得结果用以下符号表示 样本容量残差平方和相应自由度 回归系数 T SSe G,j=1,…,k-1 SSEr 13
13 LM LR W (29) 上式说明只有当 LM 检验的结果为拒绝零假设（约束条件不成立）或者 W 检验的结果为接受零 假设（约束条件成立）时，三种检验的结论才是一致的。所以实际中，三种检验方法有可能得 出相互不一致的结论。另外只有当用参数的样本估计值计算的约束条件完全成立时，即把参数 估计值代入约束条件能准确成立时，（29）式中的三个统计量才有完全相等的关系。 当对数似然函数中只含有一个参数 时，LM, LR 和 W 三种检验的关系可用图 5.1 表示。 ˆ 和 ~ 分别表示无约束和约束估计量。LR 检验是对纵向距离 log L( ) ˆ - log L( ) ~ 的测量，W 检 验则是对水平距离 ( ~ ˆ − ) 的测量，而 LM 检验计算的是当 ˆ = ~ 时，对数似然函数的斜率。 因为这三个统计量都是渐近地服从 ２ (m) 分布，所以当样本比较小且约束条件为线性时，用 F 检 验要比用上述三种检验更可靠。 图 5.1 LR, W 和 LM 检验 （8）邹突变点检验（Chow Breakpoint Tests） 突变点检验由邹至庄 1960 年提出。当研究同一问题，在不同时段得到两个子样本时，需要 考察两个不同时段的回归系数是否相同，即回归系数在不同时段是否稳定。当然这一检验也适 用于两个截面样本的情形。 图 5.2 一个解释变量情形 两个样本容量分别用 n1 和 n2 表示，并定义 T = n1 + n2。假定所建立的多元回归模型形式为， yt = 0 + 1xt 1 + … + k-1 xt k-1 + ut 以 T，n1 和 n2 为样本分别对上述模型进行估计，所得结果用以下符号表示。 样本容量 残差平方和 相应自由度 回归系数 1 T SSET T- k j, j = 1, …, k-1 2 n1 SSE1 n1 - k j, j = 1, …, k-1 对数似然函数