2800 2400 Sample 1 100000 2000 1600 Maximum 171e05 0288633 newness 0.001811 Kurtosis 400. Jarque-Bera 6009.177 0.75 因为JB=6009>x200(2)=599,所以上述分布不是正态分布。 英 K Pearson提出的分布律检验适用性更广。 (5)似然比(LR)检验 下面介绍三种常用的检验方法,即似然比(LR)检验,沃尔德(W)检验和拉格朗日( lagrange) 乘数(LM)检验。这三种检验所用统计量都是利用极大似然估计法计算的。LR检验由内曼 皮尔逊( Neyman- Pearson1928)提出,只适用于对线性约束的检验。W检验和LM检验既适用 于对线性约束条件的检验,也适用于对非线性约束条件的检验。 首先介绍LR检验。LR检验的基本思路是如果约束条件成立则相应约束模型与非约束模型 的极大似然函数值应该是近似相等的。用 logL(B, a2)=--l0g 2o2- ∑n2 (3) 表示非约束模型的极大似然函数。其中B和a2分别是对B(参数集合),a2的极大似然估计。 用 logl(b,0) 表示约束模型的极大似然函数。其中B和2分别是对B和σ2的极大似然估计。定义似然比 (LR)统计量为 LR=-2[ log L(B, 02)-l0gL(B, 62) 中括号内是两个似然函数之比(似然比检验由此而得名)。在零假设约束条件成立条件下 LR-(m) 其中m表示约束条件个数。用样本计算LR统计量。 判别规则是,若LR<x2a(m),则接受零假设,约束条件成立 若LR>x2a(m),则拒绝零假设,约束条件不成立。 例:(fle:blc4)仍以中国国债发行总量(DEBT,亿元)模型为例。选择3个解释变量, 国内生产总值(百亿元),财政赤字额(亿元),年还本付息额(亿元),根据散点图建立中国国 债发行额(DEBT,亿元)模型如下:
6 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 Series: X Sample 1 100000 Observations 100000 Mean 0.499003 Median 0.499078 Maximum 0.999974 Minimum 1.71e-05 Std. Dev. 0.288633 Skewness 0.001811 Kurtosis 1.799088 Jarque-Bera 6009.177 Probability 0.000000 因为 JB = 6009 > 2 0.05 (2) = 5.99，所以上述分布不是正态分布。 英 K. Pearson 提出的分布律检验适用性更广。 （5）似然比（LR）检验 下面介绍三种常用的检验方法，即似然比（LR）检验，沃尔德（W）检验和拉格朗日（lagrange） 乘数（LM）检验。这三种检验所用统计量都是利用极大似然估计法计算的。LR 检验由内曼— 皮尔逊（Neyman-Pearson 1928）提出，只适用于对线性约束的检验。W 检验和 LM 检验既适用 于对线性约束条件的检验，也适用于对非线性约束条件的检验。 首先介绍 LR 检验。LR 检验的基本思路是如果约束条件成立则相应约束模型与非约束模型 的极大似然函数值应该是近似相等的。用 log L( ˆ , 2 ˆ ) = - 2 T log 2 2 ˆ - 2 2 2 ˆ ˆ t u (3) 表示非约束模型的极大似然函数。其中 ˆ 和 2 ˆ 分别是对 （参数集合）， 的极大似然估计。 用 log L( ~ , ~2 ) = - 2 T log 2 ~2 - 2 2 ~ 2 ~ t u (4) 表示约束模型的极大似然函数。其中 ~ 和 ~2 分别是对 和 2 的极大似然估计。定义似然比 （LR）统计量为 LR = - 2 [ log L( ~ , ~2 ) - log L( ˆ , 2 ˆ ) ] (5) 中括号内是两个似然函数之比（似然比检验由此而得名）。在零假设约束条件成立条件下 LR (m) (6) 其中 m 表示约束条件个数。用样本计算 LR 统计量。 判别规则是，若 LR < 2 (m) , 则接受零假设，约束条件成立。 若 LR > 2 (m) , 则拒绝零假设，约束条件不成立。 例：（file: b1c4）仍以中国国债发行总量（DEBTt，亿元）模型为例。选择 3 个解释变量， 国内生产总值（百亿元），财政赤字额（亿元），年还本付息额（亿元），根据散点图建立中国国 债发行额（DEBTt，亿元）模型如下：
DEBT:=B0+BI GDP+B2 DEF+B3 REPAY,+ ur 其中GDP表示年国内生产总值(百亿元),DEF表示年财政赤字额(亿元), REPAY表示年还 本付息额(亿元)。用1980-2001年数据得输出结果如下 DEBT=431 +0.35 GDP, +0.99 DEF, +O 88 REPAY (0.2)(2 (31.5)(17.8) R2=0.999,DW=2.12,T=22,logl=-115888(1980-2001) DEBTGDP DEFREPAY 100000096775109452470944498 09677110000008696430.954508 0945247 0869543 1000000 0.78795 09444809545080.78795710000 有相关系数矩阵知,DEBT;和GDP的相关性最强。那么是否可以从模型中删掉DEF和 REPAy呢? 用LR统计量检验是否可以对上式施加约束DEF和REPY的系数房=B=0。给出约束模 型估计结果如下, DEBT1=-38840+449GDP (11.8) (-3.1)(17.2) R2=094,DW=0.25,7=2,logL=-161.0583,(1980-2001) LR=-2[logL(B,G2)-lgL(B,a2)]=-2(-161.0583+115.888=90.34 因为LR=90.34>x2(2)=59,所以推翻原假设,即不能从模型中删除变量DEF1和 REPAY, 附录 EViews操作(1):在(11.7)式窗口中点击vew,选 Coefficient Tests, Redundant Variables Likelihood Ratio功能(模型中是否存在多余的不重要解释变量),在随后弹出的对话框中填入 DEF和 REPAy。可得如下结果 Redundant Variables: DEF REPAY F-statistic 537 5060 Probabilit Log likelihood ratio 90.33906 Probability EViews操作(2):在(1.8)式窗口中点击Vew,选 Coefficient Tests, Omitted Variables Likelihood Ratio功能(模型中是否丢了重要的解释变量),在随后弹出的对话框中填入拟加入 的解释变量DEF和REPY。也可得到如上结果。 (6)W检验 W检验的优点是只需估计无约東模型。当约束模型的估计很困难时,此方法尤其适用。 检验由沃尔德(wald1943)提出,适用于线性与非线性约束条件的检验 W检验的原理是测量无约束估计量与约束估计量之间的距离。先举一个简单例子。比如对 如下模型 y=B1xIt+B2x2r+ B3x3t+vr 检验线性约束条件负=B是否成立。W检验只需对无约束模型(进行估计,因为对约束模型, 上式必变化为y=月xn+B(x2x+x)+,所以对约束估计量B2和B3来说,必然有B2-B3=0
7 DEBTt = 0 +1 GDPt +2 DEFt +3 REPAYt+ ut 其中 GDPt 表示年国内生产总值（百亿元），DEFt 表示年财政赤字额（亿元），REPAYt 表示年还 本付息额（亿元）。用 1980-2001 年数据得输出结果如下； DEBTt = 4.31 +0.35GDPt +0.99 DEFt +0.88REPAYt (11.7) (0.2) (2.2) (31.5) (17.8) R 2 = 0.9990, DW=2.12, T =22, logL= -115.8888, (1980-2001) 有相关系数矩阵知，DEBTt 和 GDPt 的相关性最强。那么是否可以从模型中删掉 DEFt 和 REPAYt 呢？ 用 LR 统计量检验是否可以对上式施加约束 DEFt 和 REPAYt 的系数3 = 4 = 0。给出约束模 型估计结果如下， DEBTt = -388.40 +4.49 GDPt (11.8) (-3.1) (17.2) R 2 = 0.94, DW=0.25, T =22, logL= -161.0583, (1980-2001) LR = - 2 [ log L( ~ , ~2 ) - log L( ˆ , 2 ˆ ) ]= -2 (-161.0583 +115.8888) = 90.34 因为 LR = 90.34 2 (2) = 5.99，所以推翻原假设，即不能从模型中删除变量 DEFt 和 REPAYt。 附录： EViews 操作（1）：在(11.7)式窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Redundant Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否存在多余的不重要解释变量），在随后弹出的对话框中填入 DEF 和 REPAY。可得如下结果。 EViews 操作（2）：在(11.8)式窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Omitted Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否丢了重要的解释变量），在随后弹出的对话框中填入拟加入 的解释变量 DEF 和 REPAY。也可得到如上结果。 （6）W 检验 W 检验的优点是只需估计无约束模型。当约束模型的估计很困难时，此方法尤其适用。W 检验由沃尔德（Wald 1943）提出，适用于线性与非线性约束条件的检验。 W 检验的原理是测量无约束估计量与约束估计量之间的距离。先举一个简单例子。比如对 如下模型 yt = 1 x 1t + 2 x2 t + 3 x3 t + vt (7) 检验线性约束条件2 = 3 是否成立。W 检验只需对无约束模型(7)进行估计，因为对约束模型， 上式必变化为 yt = 1 x 1t + 2 (x2t + x3t) + vt ，所以对约束估计量 2 ~ 和 3 ~ 来说，必然有 2 ~ - 3 ~ = 0
如果约束条件成立,则无约束估计量2-B3应该近似为零。如果约束条件不成立,则无约束估 计量B2B3应该显著地不为零。关键是要找到一个准则,从而判断什么是显著地不为零。 首先需要知道(B2-B3)的抽样分布。依据经典回归的假定条件,(B2-B3)服从均值为 (B-B),方差为Ma(B2-B3)的正态分布。通常W(B2-B3)是未知的,使用的是wa(2-B3) 的样本估计量,定义W统计量为, 2-/√m(A2-)~NO,D) 在约束条件成立条件下,W渐进服从N(0,1)分布 下面讨论多个约束条件的情形。假定若干约束条件是以联合检验的形式给出 fB)=0 其中∫表示由约束条件组成的列向量。用B表示施加约束条件后对参数集合{B,B,…,B} 的估计。若把B代入上式,则上式一定成立。当把无约束估计值β代入上式时,通常上式不 会成立。W统计量定义如下, w=f()(xm)ar((p))(mxm)f()(mxl) 其中∫B)是用B代替B后的fB)表达式,VarB)是爪B)的估计的方差协方差矩阵。计算公 式如下 Arff(B) vartAn kxk) (10) 其中可()/B表示AB用无约束估计量B代替后的偏导数矩阵,其中第i行第j列位置上的 元素表示第i个约束条对第j个无约束估计量的偏导数值。Ⅴar(B)是B的估计的方差协方差矩 阵 在约束条件成立条件下,W=fBy[var(fB)]fB)渐近服从x2m)分布。 W=f(B(wmyn(fB)mxm)f(B(m)~-xom) 其中m表示被检验的约束条件的个数 举一个非线性约束的例子如下。假定对模型 y=B1xn+A2xn+B3 x13+ ur 检验约束条件BB=B是否成立。用B1,B2和B3分别表示,鱼和房的非约束估计量。B1 B2和B3既可以是极大似然估计量,也可以是最小二乘估计量。因为对于本例几B)只含有 个约束条件,所以改用fB)表示,有 f(B)=B B2-B3 (B=(9y(B)=(2B1-1
8 如果约束条件成立，则无约束估计量 2 ˆ - 3 ˆ 应该近似为零。如果约束条件不成立，则无约束估 计量 2 ˆ - 3 ˆ 应该显著地不为零。关键是要找到一个准则，从而判断什么是显著地不为零。 首先需要知道（ 2 ˆ - 3 ˆ ）的抽样分布。依据经典回归的假定条件，（ 2 ˆ - 3 ˆ ）服从均值为 （2-3），方差为 Var( 2 ˆ - 3 ˆ ) 的正态分布。通常 Var( 2 ˆ - 3 ˆ ) 是未知的，使用的是 Var( 2 ˆ - 3 ˆ ) 的样本估计量，定义 W 统计量为， W = ) ˆ ˆ ) Var( ˆ ˆ (2 − 3 2 − 3 N(0, 1) 在约束条件成立条件下，W 渐进服从 N(0, 1) 分布。 下面讨论多个约束条件的情形。假定若干约束条件是以联合检验的形式给出， f( ) = 0, (8) 其中 f() 表示由约束条件组成的列向量。用 ~ 表示施加约束条件后对参数集合 {1, 2, …, k } 的估计。若把 ~ 代入上式，则上式一定成立。当把无约束估计值 ˆ 代入上式时，通常上式不 会成立。W 统计量定义如下， ( 1) 1 ( ) ' (1 ) ) ˆ )) ( ˆ ) ( ( ˆ ( − = W m m m m f Var f f (9) 其中 f( ˆ )是用 ˆ 代替 后的 f( )表达式，Var(f( ˆ )) 是 f( ˆ )的估计的方差协方差矩阵。计算公 式如下： ' ( ) ( ) ( ) ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( )) ˆ ( ( k m k k m k = f Var f Var f (10) 其中 ˆ ) ˆ f ( 表示 f() 用无约束估计量 ˆ 代替后的偏导数矩阵，其中第 i 行第 j 列位置上的 元素表示第 i 个约束条对第 j 个无约束估计量的偏导数值。Var( ˆ ) 是 ˆ 的估计的方差协方差矩 阵。 在约束条件成立条件下，W = f( ˆ )' [Var( f( ˆ ) ) ] –1 f( ˆ ) 渐近服从 (m) 分布。 ( 1) 1 ( ) ' (1 ) ) ˆ )) ( ˆ ) ( ( ˆ ( − = W m m m m f Var f f (m) 其中 m 表示被检验的约束条件的个数， 举一个非线性约束的例子如下。假定对模型 yt = 1 xt1 +2 xt2 +3 xt3 + ut （11） 检验约束条件 1 2 = 3 是否成立。用 , ˆ 1 2 ˆ 和 3 ˆ 分别表示 ， 和 的非约束估计量。 1 ˆ ， 2 ˆ 和 3 ˆ 既可以是极大似然估计量，也可以是最小二乘估计量。因为对于本例 f( ˆ ) 只含有一 个约束条件，所以改用 f( ˆ ) 表示，有 f ( ˆ ) = 1 ˆ 2 ˆ - 3 ˆ (12) ˆ ) ˆ ( f = ( 1 ˆ ) ˆ ( f 2 ˆ ) ˆ ( f 3 ˆ ) ˆ ( f ) = ( 2 ˆ 1 ˆ -1 ), (13)
Var() Cov(Bi B2)Cov B,B3) Var( B)=Cov(B1B2) Var(B2)Cov(B2B,) Cov(B,B3)Cov(B2 B3) Var(B3) AI Var(B)=(B2 B-1)Var(B)B 根据(9)式,W统计量的具体表达式是 W=-(P1B2-B3) 「B2 (B2 B-1)Var(P)Pl 在零假设BB=B成立条件下,W统计量近似服从x2(1)分布 例:( file: nonoil2)对台湾制造业生产函数,检验/B=0.5是否成立。 Lny=-8.4010+0.6731Lnxn+1.1816Lnx (15) (-3.1)(4.4) R2=0.98,F=3358,DW=1.3,T=15,(1958-1972) 检验B/B=0.5是否成立。 变换约束条件为 B2-0.56=0 因为只有一个约束条件,则 八B)=f(B)=B2-0.56 (B)=9()9902)=(0105) Coefficient Covariance Matrix OG(X1)L LOG C 73859620377604081578 LoG(X1)03776040023453004378 LoG(X2)081567800438780091226 在(15式窗口中点击Vew,选 Coefficient Covariance功能。 738600.3776-0.8157 Var(B)=037760.0235-00439 0.8157-0.04390.0912 Varve)=(g(B) 可f(B) )(var(B))() B
9 Var( ˆ ) = ) ˆ ) Var( ˆ ˆ ) Cov( ˆ ˆ Cov( ) ˆ ˆ ) Cov( ˆ ) Var( ˆ ˆ Cov( ) Cov ˆ ˆ ) ˆ ˆ ) Cov( ˆ Var( 1 3 2 3 3 1 2 2 2 3 1 1 2 1 3 (14) 和 Var(f( ˆ )) = ( 2 ˆ 1 ˆ -1) Var( ) ˆ −1 ˆ ˆ 1 2 , 根据（9）式，W 统计量的具体表达式是， W = − − − 1 ˆ ˆ ) ˆ 1) ( ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( 1 2 2 1 2 1 2 3 Var 在零假设 1 2 = 3 成立条件下，W 统计量近似服从 (1) 分布。 例：（file: nonli12）对台湾制造业生产函数，检验1/2 = 0.5 是否成立。 Lnyt = -8.4010 + 0.6731 Lnxt1 + 1.1816 Lnxt2 (15) (-3.1) (4.4) (3.9) R 2 = 0.98, F = 335.8, DW=1.3, T=15, (19581972) 检验2/3 = 0.5 是否成立。 变换约束条件为 2 - 0.53 = 0 因为只有一个约束条件，则 f( ˆ ) = f ( ˆ ) = 2 - 0.53 ˆ ) ˆ ( f = ( 1 ˆ ) ˆ ( f 2 ˆ ) ˆ ( f 3 ˆ ) ˆ ( f ) = (0 1 -0.5 ) 在(15)式窗口中点击 View，选 Coefficient Covariance 功能。 Var( ˆ ) = − − − − 0.8157 0.0439 0.0912 0.3776 0.0235 0.0439 7.3860 0.3776 0.8157 Var(f( ˆ )) = ( ˆ ) ˆ ( f ) (Var( ˆ ) ) ( ˆ ) ˆ ( f )
738600.3776-0.815710 =p1-05]037760023500911-00903 0.8157-0.04390.0912 fB)=f(B)=B2-0.56=(0.6731-0.5×1.1816)=0.0823 w=f B)[Var(B))]fB) =0.0823( 0093)0.0823≈0823)2 0.0750 0.0903 因为W=0075<2(1)=3.8,所以,约束条件B=B1=0被接受,成立 在(15)式窗口中点击view,选 Coefficient Tests,Wad- Coefficient Restrictions功能得 m Equation: EQ01 Workfile: HONLI12 JO View Procs objects Print Name Freeze Estimate Forecastst Wald Test Equation: EQ01 Null Hypothesis: C(2)/C(=0.5 F-statistic 0.065787 Probability 0801917 Chi-square 0.065787 Probability 0.797573 概率大于0.05,说明统计量落在了零假设的接收域。结论是接受原假设(约束条件成立)。 (7)LM乘数检验 与W检验不同的是拉格朗日( Lagrange)乘数(LM)检验只需估计约束模型。所以当施 加约束条件后模型形式变得简单时,更适用于这种检验。LM检验是由艾奇逊一西尔维 ( Aitchison- Silvey1960)提出的。LM检验另一种表达式是由拉奥(Rao1948)提出的,称为得 分检验。 首先给出非约束模型的对数似然函数 B L(B, 0) 对于非约束极大似然估计量B必然有 gL 0.b (17) aB 若约束条件成立,则施加约束条件下房的极大似然估计量B,应与不施加约束条件下房的极大 似然估计量B非常接近。也就是说aogL/B,应近似为零。LM检验的原理是如果 alogL/aB 显著地不为零,则约束条件不成立。LM统计量定义为 aB)((B)-1(logL (18) 其中( alogL/aB)是以( voglI)为元素组成的列向量,同时用β,替换了B。B)称为信 息矩阵,其逆矩阵是B,的方差协方差矩阵。在约束条件成立条件下,LM近似服从x2m)分布。 LM-X(m)
10 = 0 1 − 0.5 − − − − 0.8157 0.0439 0.0912 0.3776 0.0235 0.0439 7.3860 0.3776 0.8157 − 0.5 1 0 = 0.0903 f( ˆ ) = f ( ˆ ) = 2 - 0.53 = (0.6731-0.51.1816) = 0.0823 W = f( ˆ )' [Var( f( ˆ ) ) ]-1 f( ˆ ) = 0.0823 ( 0.0903 1 ) 0.0823 = 0.0903 (0.0823) 2 = 0.0750 因为 W = 0.075 < (1) = 3.8，所以，约束条件0 = 1 = 0 被接受，成立。 在(15)式窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Wald-Coefficient Restrictions 功能得 概率大于 0.05，说明统计量落在了零假设的接收域。结论是接受原假设（约束条件成立）。 （7）LM 乘数检验。 与 W 检验不同的是拉格朗日（Lagrange）乘数（LM）检验只需估计约束模型。所以当施 加约束条件后模型形式变得简单时，更适用于这种检验。LM 检验是由艾奇逊—西尔维 （Aitchison-Silvey 1960）提出的。LM 检验另一种表达式是由拉奥（Rao 1948）提出的，称为得 分检验。 首先给出非约束模型的对数似然函数 logL( , ) (16) 对于非约束极大似然估计量 ˆ j 必然有 j logL ˆ = 0, j (17) 若约束条件成立，则施加约束条件下 j 的极大似然估计量 j ~ 应与不施加约束条件下j 的极大 似然估计量 ˆ j 非常接近。也就是说 logL/ j ~ 应近似为零。LM 检验的原理是如果 logL/ j ~ 显著地不为零，则约束条件不成立。LM 统计量定义为 LM = ( ~ logL )' (I( 1 )) ~ − ( ~ ) logL (18) 其中（logL/ ~ ）是以（logL/j）为元素组成的列向量，同时用 j ~ 替换了j 。I( ~ ) 称为信 息矩阵，其逆矩阵是 j ~ 的方差协方差矩阵。在约束条件成立条件下，LM 近似服从 2 (m) 分布。 LM 2 (m)