问题3.4.13.4.23.4.33.4.4定理2（Cauchy中值定理的推广）设f(α)和g(aα)在[a,b]上有n阶导函数, 且对任意 α E (a,b) 有 g(n)(α) ≠ 0. 则在 ε E (a,b) 内, 使得f(6) - Zr= (b - a) _ fn(s)g(6) - (b - a) = g(e)证明构造两个函数f(k)(a)F(a) = f(a) -(-a)kk!k=0n-(k)(a)G(a) = g(a) -k!k=0则F（a）和G(a）在[a,b]上有n阶导函数，且F(a) = F(a) = ... = F(n-1)(a) = 0,G(a) = G'(a) =... = G(n-1)(a) = 0.返回全屏关闭退出二6/30
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K ½n 2 (Cauchy ¥½ní2) f(x) Ú g(x) 3 [a, b] þk n ¼ ê, é?¿ x ∈ (a, b) k g (n) (x) 6= 0. K3 ξ ∈ (a, b) S, ¦ f(b) − Pn−1 k=0 f (k) (a) k! (b − a) k g(b) − Pn−1 k=0 g (k) (a) k! (b − a) k = f (n) (ξ) g (n)(ξ) . y² Eü¼ê F(x) = f(x) − X n−1 k=0 f (k) (a) k! (x − a) k G(x) = g(x) − X n−1 k=0 g (k) (a) k! (x − a) k . K F(x) Ú G(x) 3 [a, b] þk n ¼ê, F(a) = F 0 (a) = · · · = F (n−1)(a) = 0, G(a) = G0 (a) = · · · = G(n−1)(a) = 0. 6/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
问题3.4.13.4.23.4.33.4.4由于g(n)(aα）≠0,反复应用Rolle定理可知G(k)(ac）(k=0,1,.,n）在(a，b）内无零点.再反复应用Cauchy中值定理，有F(b)F'($1)F(bF(aG(b)G'($1)G(b)G(a)F"(E2)F'(SIF'(a)G"($2)G'(E1)-G(a)F(n-1)(n-1) - F(n-1)(a)F(n)(E)G(n-1)(n-1) -G(n-1)(a)G(n)(E)f(n)(E)g(n)()其中a<E<En-1<...<E2<i<b.返回全屏关闭退出7/30
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K du g (n) (x) 6= 0, EA^ Rolle ½n G(k) (x) (k = 0, 1, · · · , n) 3 (a, b) SÃ":. 2EA^ Cauchy ¥½n, k F(b) G(b) = F(b) − F(a) G(b) − G(a) = F 0 (ξ1) G0(ξ1) = F 0 (ξ1) − F 0 (a) G0(ξ1) − G0(a) = F 00(ξ2) G00(ξ2) = · · · = F (n−1)(ξn−1) − F (n−1)(a) G(n−1)(ξn−1) − G(n−1)(a) = F (n) (ξ) G(n)(ξ) = f (n) (ξ) g (n)(ξ) Ù¥ a < ξ < ξn−1 < · · · < ξ2 < ξ1 < b. 7/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
问题3.4.13.4.33.4.23.4.4"型未定式3.4.2定理 3（型 L'Hospital 法则）设 f(α)和 g(c)在 co 附近可微,g(α)≠ 0,且满足lim f(c) = lim g(αc) = 0.C→T如果 lim =l,那么有 lim =l,这里 1 可以是一个有限实数,也可a-aog'(a)aog(a)以是 80.证明 由于 lim f(a) = lim g(α) = 0, 而且当 α → ao 时, 白的极限TTTOc与函数 f 和 g在 ao 的值无关,因此我们不妨假设 f(co)= g(aco)= 0,这样函数f和g在Co都连续设是区间（αo一,o＋)中的任意一点（≠o），在以和 o为端点的闭区间上，f和g满足 Cauchy中值定理的一切条件，于是存在介于 a返回全屏关闭退出8/30
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K 3.4.2 0 0 .½ª ½n 3 ( 0 0 . L’Hospital {K) f(x) Ú g(x) 3 x0 NC, g 0 (x) 6= 0, ÷v lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0. XJ lim x→x0 f 0 (x) g 0(x) = l, @ok lim x→x0 f(x) g(x) = l, ùp l ±´k¢ê, ±´ ∞. y² du lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0, x → x0 , f(x) g(x) 4 ¼ê f Ú g 3 x0 Ã', Ïd·Øb f(x0) = g(x0) = 0, ù, ¼ê f Ú g 3 x0 ÑëY. x ´«m (x0 − δ, x0 + δ) ¥?¿:£x 6= x0¤, 3± x Ú x0 à:4«mþ, f Ú g ÷v Cauchy ¥½n^, u´30u x 8/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
问题3.4.13.4.33.4.43.4.2和之间的一点.使得f(α)f'()f(α) f(αo)g'(s)g(α)g(α) - g(co)因为 一 aol<[α- ol,所以当 →o时,→ o. 由定理的假设,即得到f(α)f'(E)limliml.ao g'(s)a→o g(α)注1：定理中的极限过程可改为单测极限（即α→o士0），此时结论同样成立,另一方面对于极限过程 →+α，→一或→时的型未定式,也有类似的L'Hospital法则以 a → αo 时为例, 如果 lim f(ac) = lim g(a) = 0, lim = I, 则→g(r)lim = 1.a-0 g(a)II返回全屏关闭退出9/30
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K Ú x0 m: ξ, ¦ f(x) g(x) = f(x) − f(x0) g(x) − g(x0) = f 0 (ξ) g 0(ξ) . Ï |ξ − x0| < |x − x0|, ¤± x → x0 , ξ → x0. d½nb, = lim x→x0 f(x) g(x) = lim ξ→x0 f 0 (ξ) g 0(ξ) = l. 51: ½n¥4L§Uüÿ4£=x → x0 ± 0¤, d(ØÓ ¤á, ,¡éu4L§ x → +∞, x → −∞ ½ x → ∞ 0 0 . ½ª, kaq L’Hospital {K. ± x → ∞ ~, XJ lim x→∞ f(x) = lim x→∞ g(x) = 0, lim x→∞ f 0 (x) g 0(x) = l, K lim x→∞ f(x) g(x) = l. 9/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
问题3.4.13.4.23.4.43.4.3证明的过程中只要设y=,则c→时,y→0,而且1()()f'f'(α)f(α)limlimlimlim1g()g(α)y-→0y-0g'(α)福T→09r-→f()注2在使用L'Hospital法则时，如果还是只型未定式，即不但福ga)lim f(α) = lim g(α) = 0, 而且 lim f'(α) = lim g(α) = 0, 则可以继T→TOT→TOT→TOT→TO续考虑二阶导数,如果 =1. 则 m,指 =1. 不管使用几次,前提条E-r0g(E)E→Co9件一是前者必须是型未定式，二是后者的极限一定存在，两者缺一不可注3:在使用LHospital法则之前，最好先用等价无穷小替换的方法将分子或分母换成简单的函数返回全屏退出关闭-10/30
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K y²L§¥ y = 1 x , K x → ∞ , y → 0, lim x→∞ f(x) g(x) = lim y→0 f 1 y g 1 y = lim y→0 1 y2f 0 1 y 1 y2g 0 1 y = lim x→∞ f 0 (x) g 0(x) = l. 52: 3¦^ L’Hospital {K, XJ f 0 (x) g 0(x) ´ 0 0 .½ª, =Ø lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0, lim x→x0 f 0 (x) = lim x→x0 g 0 (x) = 0, K±U YÄ ê, XJ lim ξ→x0 f 00(ξ) g 00(ξ) = l, K lim ξ→x0 f(ξ) g(ξ) = l. Ø+¦^Ag, cJ^ ´cö7L´ 0 0 .½ª, ´ö4½3, üö"Ø. 53: 3¦^ L’Hospital {Kc, Ðk^ dáO{ò© f½©1¤{ü¼ê. 10/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ