3信号在正交函数空间的分解 傅里叶级数表明,满足狄里赫利条件的任意周期信号可以 用一系列正、余弦函数或虚指数函数的线性组合来表示。 本节试图探讨是否还可以用其他函数的线性组合来表示 个任意函数 把信号分解为某种基本信号的叠加是分析信号和系统的基 本思想。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢 量的概念相似。本节首先回顾矢量的正交分解,然后引入 函数正交的概念,最后讨论任意信号分解为正交信号之和。 321矢量的正交与分解 322正交函数 矢量正交的概念可以推广到函数或信号
3.2 信号在正交函数空间的分解 傅里叶级数表明，满足狄里赫利条件的任意周期信号可以 用一系列正、余弦函数或虚指数函数的线性组合来表示。 本节试图探讨是否还可以用其他函数的线性组合来表示一 个任意函数。 把信号分解为某种基本信号的叠加是分析信号和系统的基 本思想。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢 量的概念相似。本节首先回顾矢量的正交分解，然后引入 函数正交的概念，最后讨论任意信号分解为正交信号之和。 3.2.1 矢量的正交与分解 3.2.2 正交函数 矢量正交的概念可以推广到函数或信号
323用正交函数表示信号 由n个正交矢量构成一个n维矢量空间,该矢量空间中的任意矢 量均可按式(3,2-4)进行分解。这同样可以推广到函数空间 对于某给定信号,可以选择各种可能的完备正交函数集来表示 但三角函数集和虚指数函数集是最重要、最方便的,这是因为 它们具有一些显著的优点。 (1)三角函数和指数函数是自然界中最常见、最基本的函 数。 (2)三角函数和虚指数函数是简谐函数,用它们表示信号, 就自然建立了时间和频率这两个基本物理量之间的联系。很多 系统(例如滤波器、信息传输信道等)的特性主要是由频域特 性来描述的
3.2.3 用正交函数表示信号 由n个正交矢量构成一个n维矢量空间，该矢量空间中的任意矢 量均可按式(3.2-4)进行分解。这同样可以推广到函数空间。 对于某给定信号，可以选择各种可能的完备正交函数集来表示。 但三角函数集和虚指数函数集是最重要、最方便的，这是因为 它们具有一些显著的优点。 （1）三角函数和指数函数是自然界中最常见、最基本的函 数。 （2）三角函数和虚指数函数是简谐函数，用它们表示信号， 就自然建立了时间和频率这两个基本物理量之间的联系。很多 系统（例如滤波器、信息传输信道等）的特性主要是由频域特 性来描述的
(3)简谐信号容易产生、传输和处理。 (4)三角函数(或指数函数)信号通过线性时不变系统后, 仍为三角函数(或指数函数)信号,其重复频率不变,只是 幅度和相位发生变化,给计算带来方便。 (5)三角函数和指数函数的加、减、乘、微分和积分运算 后仍然是三角函数和指数函数 (6)以后我们会看到,时域中的卷积运算在频域中会转变 为乘积运算,从而找到了计算积分的一种新的简便方法
（3）简谐信号容易产生、传输和处理。 （4）三角函数（或指数函数）信号通过线性时不变系统后， 仍为三角函数（或指数函数）信号，其重复频率不变，只是 幅度和相位发生变化，给计算带来方便。 （5）三角函数和指数函数的加、减、乘、微分和积分运算 后仍然是三角函数和指数函数。 （6）以后我们会看到，时域中的卷积运算在频域中会转变 为乘积运算，从而找到了计算积分的一种新的简便方法
33周期信号的频谱 式(3.1-4)和式(3.1-10)说明,周期信号可分解为各 次谐波频率分量的叠加,而傅里叶系数A,或F反映了不 同谐波分量的幅度,φn或b,反映了不同谐波分量的相位 将它们沿频率nOo(或O)轴分布的图形画出来,就称 为周期信号的频谱( Spectrum)图 这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性,从频域角度 反映了该信号携带的全部信息。 3.3.1周期信号的单边频谱和双边频谱 周期信号的三角型傅里叶级数中,分量的形式 A coS((nOt+pn) n>0为整数,故把A随nC变化的图形A~nO0称为单 边幅度频谱,把￠n~no随变化的图形称为单边相位频 谱,两图合在一起称为的单边频谱
3.3 周期信号的频谱 式（3.1-4）和式（3.1-10）说明，周期信号可分解为各 次谐波频率分量的叠加，而傅里叶系数 或 反映了不 同谐波分量的幅度， 或 反映了不同谐波分量的相位。 将它们沿频率 （或 ）轴分布的图形画出来，就称 为周期信号的频谱（Spectrum）图。 这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度 反映了该信号携带的全部信息。 3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱 周期信号的三角型傅里叶级数中，分量的形式 , 为整数，故把 随 变化的图形 称为单 边幅度频谱，把 随变化的图形称为单边相位频 谱，两图合在一起称为的单边频谱。 n0 An Fn n n cos( ) n 0 n A n t + n 0 An n0 An ~ n 0 n ~ n 0
类此,周期信号的指数型傅里叶级数中, 把F随n变化的图形F~nOo称为双边幅度频谱,把 0n随n0变化的图形n~n称为双边相位频谱。两 图合在一起称为的双边频谱。 画频谱图时必须注意下面几点 但当n≠0时,F= 2 (2)三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示; (3)由于A表示振幅,故An≥0; 4)当)是实信号时,双边幅度频谱|F~nOo是的 偶函数,双边相位频谱b.~nO的奇函数; 5)为了使图形清晰,采用竖线代替点的办法来表示相应 幅度或相位的数值,称为谱线,谱线只在基波的整倍数处出 现
类此，周期信号的指数型傅里叶级数中， 把 随 变化的图形 称为双边幅度频谱，把 随 变化的图形 称为双边相位频谱。两 图合在一起称为的双边频谱。 画频谱图时必须注意下面几点： （1） , 但当 时， ; （2）三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示； （3）由于 表示振幅，故 ； （4）当 f(t) 是实信号时，双边幅度频谱 是的 偶函数，双边相位频谱 的奇函数； （5）为了使图形清晰，采用竖线代替点的办法来表示相应 幅度或相位的数值，称为谱线，谱线只在基波的整倍数处出 现。 Fn n0 n0 n F n n ~ 0 n ~ n 0 An An 0 F0 = A0 2 n n A n 0 F = F n n ~ 0 n ~ n 0